#等差、等比数列的公式与方法

1、第13讲等差、等比数列的公式与方法(一)知识归纳：1 .概念与公式：等差数列：1°.定义：若数列an满足an1-an=d(常数),贝Uan称等差数列；2通项公式：an=a1(n-1)d=ak(n-k)d；3°.前n项和公式：公式：SnJ(a1an)=na1n(n)d.22等比数列：1°.定义若数列an满足空二q(常数)，则an称等比数列；2°.通an项公式：a.二玄心二akqn“；3°.前n项和公式：Sn二勺葺=ai(1_q)g=“当1 -q1-qq=1时Sn=na1.2 .简单性质：首尾项性质：设数列an:a1,a2,a3,an,1°

2、;若an是等差数列，则a1an=a2an4=a3an/二；2°.若an是等比数列，则a10n=a2£n4二a3£n/二. 中项及性质：1°.设a,A,b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2。.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gh'ab. 设p、q、r、s为正整数，且prs,1°.若an是等差数列，则ap-aar-a$;2°.若an是等比数列，则apaq二aQs； 顺次n项和性质：n2n3n1°.若an是公差为d的等差数列，则'二ak,'二ak,'二ak组成公差为n2d的等

3、差数kk#十k三n中列;n2n3n2°.若an是公差为q的等比数列，则Vak,vak,vak组成公差为qn的等比数kkm-Hk/n卑列(注意：当q=1,n为偶数时这个结论不成立) 若an是等比数列，n2则顺次n项的乘积：a1a'an,an1ana2n,a2n1a2na3n组成公比这q的等比数列 若an是公差为d的等差数列，1°若n为奇数，则Sn二na中且S奇-$禺=a中(注：a中指中项，即aand,而S奇、"2"S偶指所有奇数项、所有偶数项的和)；2°.若n为偶数，则S偶-S奇二(二)学习要点：1 学习等差、等比数列，首先要正确理解与运

4、用基本公式，注意公差d工0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;公差d丰0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;公比q丰1的等比数列的前n项公式可以写成"Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的2 解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题3 巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m(或a-m,a,a+m)”三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或,a,aq)”q四数成等差数列，可设四

5、数为“a,am,a2m,a-3m(或a-3m,m,am,a3m);”四数成等比数列，可设四数为“四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq2,aq3(或£,?,aq,aq3),”等等；类似的经qq验还很多，应在学习中总结经验.例1解答下述问题：111(I)已知一，成等差数列，求证:abcb+c(1)a"、b(2)a-b+c(1)a"、b(2)a-,成等差数列;bc,c-一成等比数列.22caab解析该问题应该选择“中项”的知识解决,=2二2ac二b(ac),acb2222/八b+ca+bbc+c+a+abb(a+c)+a+c(1)acacac_2(ac)22(ac

6、)b(ac)b.上a,ab成等差数列；abc(2)(a_(c_=ac(a+c)+牛=(-|)2,W-2成等比数列.(n)设数列an的前n项和为Sn,且满足a2=1,2sn=n(an-1),(1) 求证：an是等差数列；(2) 若数列bn满足:b13b25b3(2n1)bn=2n6求证：bn是等比数列解析（1）解析（1）2Sn=n(an-1)L2Sn十=(n+1)(an4f一0得2an=(n1)an1-n-=(n-1)an1=n1,令n=1得a1=-1,a2=1,令n=2得直=3,猜想an=2n-3,用数学归纳法证明：1)当n=1时,a1=-1=21-3,a2=1=22-3,结论正确；2）假设n

7、二k（k_2）时结论正确，即ak=2k-3,.当n=k1时,(k-1)ak1=kak1=k(2k_3)1=2k2_3k1=(2k1)(k1)k-2,ak2kT二2(k1)-3,结论正确.由1)、2)知，当neN用时,a.=2n3,.an1-an=(2n-1)-(2n-3)-2,即an是公差为2的等差数列；(2)设Tn=2n1an-2n1(2n-3)6,.当n_2时(2n1)g二一=2n1(2n3)-2n(2n-5)=(2n-1)2n,bn=2n(n2),而bi=4(-1)6=2,也适合,当nN时bn=2n,丛=2,即bn是公比为2的等比数列.bn评析判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方

8、法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明例2解答下述问题：Qp(I)等差数列的前n项和为Sn,若Sp=Q,Sq=(P=Q),PQ求Spq(用P,Q表示).2解析选择公式"Sn二anbn"做比较好，但也可以考虑用性质完成Q=aP2+bP2P解法一设Sn=an-bn,.=aQ2bQQ得：Q=(P-Q)a(PQ)b,P=Q,PQP+QP=Q,.a(PQ)b,PQ(P+Q)-Spq=(PQ)a(PQ)bPQQP解法二不妨设PQ,6fSQfiaQ2aP(P-Q)(aQiap)P-Q_PQSpQ2(PQ)PQ(n)等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为1

9、024,所有偶数项的乘积为128-.2，求项数n.a1a3aian解析设公比为q,-a?a4a._1024128“2(1)35=2-5=22,将(1)代入得(22)n=1024128、23535123'2q(n-1)=2235=2T,ai=(a1q2)5n35得i,得n=7.22(川)等差数列an中，公差d丰0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:3刘2,，ak,恰为等比数列，其中k1,k5,k3=17,求数列心的前n项和.2解析1月5,印7成等比数列，a5二a1£仃,二佝4d)2=a1佝16d)二d(6-2d)=0d=0,.a1=2d,.数列ak的公比qa13n4ai二ak

10、n=a3=2d而akn1(kn-1)d=2d(kn-1)d由，得kn=2-3n4-1,n“kn的前n项和Sn=2-丄-n=3n3T评析例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.例3解答下述问题：(I)三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项一n-1.(PQ)(a1aPq)P-Q。=SPQ减去4,又成等比数列，求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为ad,a,a+d,则有f2(a_d)(a+d+32)=an*/a-4)2=(a-d)(a+d)f2(a_d)(a+d+32)=an*/

11、a-4)2=(a-d)(a+d)Z2d32d-32a=08a=16d2=3d2-32d64=0,.d=8或d=8,得a=10或26,39.原三数为2,10,50或2,2699(n)有四个正整数成等差数列,求此四数.3389.公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,解析设此四数为a-15,a-5,a5,a15(a15),.(a-152)(a_5)2(a5)2(a15)2二(2m)2(mN)22一二4a500=4m二(m-a)(ma)=12乜125=1125=525,m-a与m-a均为正整数,且m-a:ma,ma=1m+a=125解得a=62或a=12(不合),.所求四数为47,57,67

12、,77评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法训练题、选择题:1.三个数丄,1,丄成等差数列,又m2,1,n2成等比数列,则mnC.1或33或一12.2.在等比数列an中,a7刁11=6且a14=5,则电0a10B.一2或一2C.-5或3.等比数列an前n项乘积记为Mn,若M10=20,M20=10,则M30A1000B40C.2541D.-84.已知等差数列5,8,11,与3,7,11,都有100项，则它们相同项的个数()A25B26C.33D.345.已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180,又所有项的和为3

13、60,则此数列的项数为()A12项B13项C.14项D.15项6若两个等差数列an,bn的前n项和分别为An和Bn,且满足如7n1(n.)Bn4n+27则a11的值是734A.B.C.423、填空题：则a11的值是734A.B.C.423、填空题：78717.在等比数列an中，a5-a4=108,a2-a4,则a-i-a2-a3a4a5的值为ac&若a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c成等差数列，则一'xy9数列an是公差不为零的等差数列，它的第4,8，17项恰是另一等比数列bn的第6,8,10项，则bn的公比是10在等差数列an中,ap二q,aq二p,则ap

14、.q=.在各项为正的等比数列an中，amn=p,am=q,则am二.三、解答题：11 设等差数列an的前n项和为Sn,已知S6=36,Sn£=144(n6),Sn=324,求an的值.设等比数列的各项为正数，前n项的和为2，这n项后面的2n项的和为12,求上述3n项后面的3n项之和.13已知等差数列a.,a1：0,且S6二S4,(I)当n为何值时，Sn最小？(H)当n为何值时，Sn=0?Sn0?Sn<0?(川)若a?a$=72,问a.中有多少项满足-9乞a*乞260205,而它们的倒数205,而它们的倒数14. 有五个整数成等比数列，且第一个数为正数，若这五个整数的和为205之

15、和为205，求此五数.256数列an的前n项和为Sn,对任意的正整数n,an=0,若Sn1Sn-kani(|k|1),问数列a.是否为等比数列？说明理由答案与解析一、1.B2.A3.D4.A5.A6.C,二、7.2428.2,9.10.0,.pq3飞,+得6(a1%)=2162 +a2+a6=3611.=gn+an丄+an_5=Sn-Sn_6=1806+a2十+a6=36,两式相减得6124=144二d=2,a13a'a18-180代入(1)得a1=1,an=a18=35.12.(1)当q=1时,Sn=a(qn-1),a(qn-1)=2；a(q3n-1)=14,得qn=2,代入得a=2

16、,S6n=a(q6n-1)=126,Sen-S3n=112;(2)当q=1时，有na1=2及2na1=12，矛盾；综上，所求前3n项后面的3n项的和为112.n2n6n(另解)设公比为q,且ak,W2='ak,，W6二'ak,k=1kh十k¥n勺.W,W2,，W6成公比qn的等比数列，.W1-2W1=2no-丄丄q2W2W3=12W(qnq2n)=12-，所求和s=W4W5W二W(q3nq4nq5n)=112.913.(i)S6=S4=a1d：0=d0,2plplSn=n2-5nd=#(n5)2-25,.当n=5时Sn最小；(n)Sn-dn(n-10),当n=10时&

17、amp;=0；当n.10时&0;当仁n:10Sn:0.2pl(川)a7a8=72,.S1772,而S二一144,得d=18,2an=18n-99,.-9_18n-99_260=5_n_19,共有15项满足条件.aa214.设五数为,a,aq,aq,qq；首项为正数，且第一，三，五项同号，a-0且a，N,'112由条件得a(p+_+q+q2)=205qq1211205-(qq2)=aqq256得a2=256,a0,.a=16,代入得q22q1=空=q2q161221厂q1617J412(q一)(qq113令qx,得16x216x-221=0二x或x二q4若x13,则4q2-13q*4=0,方程无有理解，不合；4171(1) 若x,则4q217q4=0=q或q=-4,41q二一