MATLAB的简介和主要功能

1、MATLAB的简介和主要功能MATLAB词足MairixLaboratory從阵实验室）的缩写*20世纪70年代后期，时任芙国新墨曲哥大学计律机科学系丰任的CleveMoler教援为减轻学生编程负担*为学生设讣了组调用UNPACK和EISPACX库程序的44通俗易用”的接口，此即用Fortran編写的萌芽状态的MATLAB,经过不断地完善.在进入20世纪90年代的时候，MATLAB己经成为国际控制界公认的标准计算软竹。桃学术界,MATLAB也已被确认为准确、可靠地科学计算标准软件"在许多国际T蓝学术刊物上.尤艮是信息科学刊物*都可以看JiJMATLAB的应用“MATLAB数值分折*坯

2、阵运隸、信号处理、阳形功能和系统仿貞触为一休，使用户庄易学易懂的环境中求解问题，如同朽写数学处式一样，避免了传统的夏杂专业编程.MathWorks公司对MATLAB优点的描述是杯i十扒可视化及编程一体化在设计研究甲位和工业部门'MATLAB被认为是迸f亍高效研究、开发的首选软件工具。2J.2特点MATLAB语言不同于JI他高级语言的特点，它被称为第四代计第机谱言.正如第三代计舁机语言便人们摆脱了对计算机砚件的操作一样，MAT1.AB谥肓使人们从繁琐的程序代码中解脱出来。它的丰富的函数使开快者无需重复编程.只要简单地调用和适用就可以了，其突出的特点就是简"和直接.1. 绘国功能

3、比较强大MATLAB绘制图形比较简单易存，只需要调用相应的命令就可以绘制。它有一系列绘图函数,可以貝接调用.不用再定义.所以它的绘图是比较方便的.例如对数坐标，线性坐标，极坐标只需调用不同得到绘图曲数=2. 編程效率髙方便用户使用MATLAB是一种高级涪言形式，它足面向科学与工程计算的.它叩以采用数学形式的语言編制程序，可以排列公式（S写在纸匕那样编写程序，比较容易学会，所以求解问题方便。MATLAB语占灵活方便，调用速度快*能在同-画面按作.并能迅速丼除书写的错谋，加快了用户编写、修改和调试的速度.3. 对矩阵和数组的计算方便像其他语言一样规定了矩阵的各种关系运算符，例如：关系运算符、条件运

4、算符、逻辑运算符、飒值运算符、尊数运算符.它们都可以运用到数组和向呈间的运算，它不需定义数组的维数，并给岀了矩阵函数、特殊矩阵等专门的库函数,使之在建模，控制，优化等领域的问鬆时，显的大为方便、简捷、高效.2.2连续化原理和能量变分原理连续化原理连续化原理"中即是将杆系结构化为连续体结构。在崗层结构计算中，将框筒的四周框架模拟为四块等效的匀质正交板，将圆筒的周边框架模拟为等效的風柱売：在空间结构计算中，将网架模拟为等效的夹层板，将网壳模拟为等效的夹层壳；在高耸结构计算中.将钢塔架模拟为等效的剪弯悬臂杆縮.以框筒结构为例。由连续化原理可导紂框简的等效连续体的折算庁度/和折算剪切模SG-

5、取等效单元如图2-所示，图中力为层高，$为柱问距，人和4分别为梁及柱的截面惯性矩.图2-1-1筒计算单元图2-1-2框筒计算模盘图2J権筒的等效计算模型图2J権筒的等效计算模型由框架柱的紬向刚度等于拟板的竖向劲度.则AEstE.故t=A/S由框架柱的紬向刚度等于拟板的竖向劲度.则AEstE.故t=A/S(21)式中：/(及E分别为柱的截而面枳及材料弹性模量由框架的剪切刚度等拟板的剪切刚度，用图乘法不雅求得V=郢匕丫丄+?匸型住丄312丿叭3I2)Elh(2-2)将在层高方范围内产生-单位剪变(即扫)所需之剪力定义为抗剪刚度m则GA=/t/A故式中：sjhG二仏SE($"d、=s、_h

6、j2及d2=h2-5j/2(2-3)(2-4)能量变分解不从微分方程出发.而足託接从能母泛函的驻值条件來求得待定函数的近似值，这就是下文将要介绍的能址泛因的变分近似解，简称为能蚩变分解创试求-个函数w使其满足边界条件在x=0及X二/处：dx=minU并使(2()为了求近似解假定位移函数为(2-7)-IC,为待定常数，必为函数基并满足了式(2-5)的边界条件。这样，把原来在相当大的范围内寻找w的问题，简化为在由式(2-6)规定的小范田寻找w。将式(2-7)帯入式(2-6)算出枳分，泛函U就变成C.的函数，即(2-8a)(2-8a)其中(28b)原来足求w使"取驻值，现在简化为*C；使S

7、取驻值。这样，得到一组代数方程i=12X加(29)即：£心勺-必=021,2,3,耐(2-10)/«从这一组联立方程可解出C.,将它带回式(27)便得到w的一个近似解，2.3哈密顿原理基本理论2.3拉格朗日方程对丁完整系统来说.不再有非完整约束，因此可以简单地写岀动力学方程鶴卜签吆心(2-11)动能卩是的函数，其中厂q皿，,qj，是向业的写法。还应当考虑广义外力0。广义外力按其成因可以区分为有势外力与般的外力。将-般的外力仍旧记为0,而有势外力则为0胪=-字，口=口(4，"(2-12)其中口为聘能函数，引入拉格朗日函数L(f)=r-n(2-13)则动力学方程(21

8、1)成为辎嚼洛m”(2-14)该方程成为拉格朗日方程，亦称欧拉-拉格朗日方程.这是对于完整系统导出的。拉格朗日函数是动能减去势能.推导的方程包含了惯性力与有势力，却并不包含阻尼力。为了将阻尼力也包含在拉格朗日方程之中，瑞利提出一个阻尼函数R=5l2必乞Cp,阻尼力Q=dR/dg,(2-15)izl/«f这样，方程(214)又成为却參卜签-笥=0y=IA"36)阻尼力总是消耗能蛍，因此阻尼系数阵C足正定的，至少也是非负的。但是还应当考电非完整系统时的动力学方程，此时还有另外力个非完整约束工巧+心=0,厂=12诃(2-17)虚位移切还应满足条件牙疵=0,尸=】2,，刃(2-18

9、)因此方程(2J6)中的g山“门并不完全独立。对此可以釆用拉格朗日乘子的方法.引入未定集子将心乘上非完整变分条件(217)再相加，加入到(216)式中有(2-19)在上式中变分冇(n-m)个是独立的，设为轨十歟。于是选择心使前加个括号内之项为零，而后n-m项则因这些独立变分的虚位移也必定为零.从而有(2-20)这些方程称为罗斯(Routh)方程.其中待定的函数有gQ=hv)以及拉格朗日参数心(ml,m)共”+加个；对应的方程为(2-11)以及约束方程(2-17)共n+加个方程，正相合哈密顿原理在动力学（211中，当外力全为有势力时，就有0=0,从而(2-21)这是微分方程的形式.这套方程是可以

10、由变分式导出的，此即哈密顿原理阪如其中“为开始时间，°为结束时间，均为给定时刻在这两个时刻的位移弘及的认为足给定的，其变分为零。Z称为拉格朗日函数，其构成的形式为动能减去势能.由/。时刻的广义位移直岀发有许多条轨道可以通到终点，但一般来说只有一条满足方程（222）的轨道通到°时刻的广义位移幻，可以称Z为正轨。哈密顿原理表明，沿正轨的枳分将使这个泛函S取驻值.所谓取驻值当然有与相邻轨道比较Z意，这个相邻轨道并不要求满足动力方程（2-11）,而只要求不违反约束条件就行.引入作用量(2-23)梵变分为零即哈密顿原理。变量S是函数的函数而g“）本身也是曲数，于是S就成为函数的函数，

11、称为泛曲.作用鬃S是广义位移g的泛函.由于是完整系统,q«）的每一个分话都是可以任意变分的.将真解（即正轨记为g（",在正轨附近取一个轨道g（",也可计算一个S,它将不同于真实的S.,其差别即为变分心S(y)-S(g.)dL(2-24)dL这里采用向屋的椎导。一个纯量对向量作微商，得到的是列向S,K几何意义是梯度，因此0丙是向量等.上式第二行是取-次变分而得，第三行作了分部积分，第四行是因为在两端的广义位移变分为零Z故.由尸在时间区间内切是独立变分的，故方括号内的项为零。由此即得动力学方程（225）,不过是向量形式称为欧拉一拉格朗日方程.以上给出了哈密顿原理.它定

12、义了作用量S,表明真解将使作用量取驻值。由于这-篇足分析力学，它表明其拉格朗日函数Z,=T-n.为动能减去势能。但变分法.哈密顿原理并不只是用于动力学，它在电动力学，在蜀F力学，弹性力学,结构力学，最优控制中都有相应的应用。在各种不同的应用中，虽然有拉格朗日函数却并不一定是动能减去势能的形式。对所有这些应用，（224）式的变分式却总是有的。因此为一般起见，对拉格朗H函数£扣）的构成可以放得很宽，它只要是？/丿的函数就行。哈密顿原理也并不限制广义位移g（r）（口变函数）的个数n,因此这一原理不但能用于离散系统，也能用于连续系统，当然也可用于离散、连续混合系统.这对于弹性力学.复杂结构，

13、电磁场，波导理论是很有利的.2.4本文所用方法计算步骤简述哈密顿体系是一类数学框架，它的引入是从传统的欧几里得儿何形态进入了辛几何的形态之中，突破了传统观念，使辛对偶的混合变量进入应用力学的广大领域.且避免了求解高阶微分方程的繁琐，具有物理概念清晰等优点。考虑到本文斜交建筑结构的边界条件为两瑞弹性支掉的边值条件，故在此简单介绍两端边值问题的楕细积分法求解步驟。由干两端边值问题不能赵接用精细枳分法求解，需要引进混合能的概念，建立两端边值的£1接关系，求出端部的未知駅，再逐步求出空间各点和相空间向最.进而求出系统的各相关量.计算步骤写岀问题的拉格朗EI函数表达式qq）=-jqK,.q+q

14、7K,q+qTKllq-gTq即确定相应的矩阵Kp、心和K“（2）确定哈密顿函数H（q,P）=pTAq*TBq+*TDp+h：p-b：q也就是A=-Kj；K2IB=K（,-KI：K'K,D=Km*选择步长，取N=2Q,厂佃，计算细分巾后，小区段的混合能矩阵F,G.Q具体步骤为：1、由A,B,D计算儿和0,(i=4)F：G二g+叩5+<Xr5)2、计算G；(r)=y)T+y2r2+y,r5+y4r4+o(r5)Q；(r)=(r+ftr2+<94r4+o(f5)(4) 计算歩长为7的基本区段的混合能矩阵不考虑外在的作用。for(iter一0;itcr<N,iter+)F=

15、FG=Gc,Q=QtF；X(F一GQ/2XI+GQ)1+(I+GQ)'(F-GQ/2)+Fr(I+GQ)1FG严G*(】P,G1+Q)l+FVQ<=Q+(I*Fy(Q,+G)*(I+F)endF严l+F：G.=GtQ,=Q<求出星本区段的混合能矩阵后，相应的=L+FlfMrw=(5) 计算整个结构的混合能矩阵(考虑外在的作用).具体做法是由左向右逐i合并区段，最后求出整个结构的混合能矩阵，注竟要保存中间的计算结果。具体步骤如下：时話，G即*以fori=2:nFF,(I+G»,QJF3Q厂Qs+F二(Q：+G“Fg叩=味+F二(I+Q,G(-Q,邨+j)亡+r；几e

16、nd计算两瑞状态向量，由边界条件及整个结构的混合能矩阵可导出边界上其他未知的广义力或广义位移份量.具体方法由计算公式q”i"4令G”.+岀p产+凸由给定的边界条件算出其他未知的广义力或者广义-分量，对于左端固定，右端自由的情形,已知q(=0,pM4)=Ot则：q.厂叩Pi=于是求得了两端所有广义位移利广义力分iRqpP1及q,“p”r(6) 计算各节点的状态向堡，有了两竭的广义位移和广义力分£qpP)及q*心就可以按照下面的步嫁求出各节点的状态向盘fori=m:2q,=(1+G",Qy(也-皿+g“£pgP严(I+Qey-QF。,+F：p刑7>沽+j)end弹性端边界条件的处理在z=0时端部有一个弹性支撑.其条件为：PA=-Szq,(2-26a)(226b)(2-27)其中S/为nxn对称非负矩阵.弹性支撑的刚度矩阵.式中的符号式由于p是内力，一个弹性支撑也相当于一个“区段”，因为是支掉，其作用只是对T-z<