等腰三角形试题北师大版

1、等腰三角形训练重点：三角形的有关概念、特殊三角形的有关性质和判定方法难点：等腰三角形的判定和性质，以及三角形和四边形的综合问题等腰三角形（1）等腰三角形的性质：两底角相等；顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等边三角形的各角都相等，并且都等于60（2）判定等腰三角形的条件：等角对等边；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 直角三角形（1）直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；典例例1. 已知：如图所示，延长ABC的各边，使BFA

2、C，AECDAB，顺次连接D、E、F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形证明：（1）BFAC，ABAE，FAECDEF是等边三角形，EFDE又AECD，AEFCDE（2）由（1）知AEFCDE，FEAEDCBCAEDCDECFEADECDEF，DEF是等边三角形，DEF60，BCA60同理可证BAC60ABC是等边三角形评析：解答此类题目一定要结合图形认真分析题意，选择适当的方法进行证明例2. 如图所示，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点

3、P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值解：（1）不变化理由：AOB90，P为AB的中点，OPAB（2）设OAx，OBy，x2y2（2a）24a2，又SAOBxy，且x2y22xy，即xy，xya2，xya时AOB的面积最大为a2评析：本题考查直角三角形斜边上的中线与面积两个知识点，能够熟练掌握直角三角形的性质并构建直角三角形模型是解题的关键；问题（1）考虑不到斜边上的中线为斜边的一半，易认为变化问题（2）容易想到当OAOB时面积最大，但说理时易错，不知道运用当（xy）20时，可以看作x2y22xy，即xy

4、来说明理由例3. 已知：在ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1）如图所示，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形（2）若E、F分别为AB、AC延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论分析：要证明DEF为等腰直角三角形，需要证DEDF，连接AD，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的方法证明：（1）如图所示，连接ADABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDADBDAC45又BEAF，BDEADF（SAS）EDFD，BDEADF，EDFEDAADFEDABDEBDA90DEF为等腰直

5、角三角形（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示，连接ADABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBD，ADBCDACABD45DAFDBE135又AFBE，DAFDBE（SAS）FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90DEF仍为等腰直角三角形评析：构造全等三角形证明线段相等，是本题的突破口，而AD则是本题的生命线大家可以观察图形具有的特点和辅助线，理解之所以这样做的原因才能提高解题能力例4. 某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC上找一点D，连接

6、AD作为分割线；方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；方法三：在腰AB上找一点D，作DEBC，交AC于点E，DE作为分割线；方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线这些分割方法中分割线最短的是哪一个？解：方法一中的分割线AD50（米）；方法二中，要想将原三角形分成面积相等的两部分，D应为AC的中点，则分割线BD50（米）；方法三中，如果所分得的三角形与等腰梯形的面积相等，则所分割的小等腰直角三角形与原等腰直角三角形的面积之比为12，两三角形的相似比是1，故DE100（米）；方法四中，当扇形的面积等于原直角三角形的面积的一半时，AD2AB2，

7、求得半径AD100，故弧DE的长为2AD50（米）分割线最短的是方法一评析：在求图中分割线的长度时，主要的已知条件就是分割成的两部分的面积相等，也就是得到的一个规则图形的面积是原等腰直角三角形的面积的一半，求解分割线的长度时，应结合图形用较简便的方法求值综合训练1. 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于（ ）A. B. C. D. 解. C【连接AM，由等腰三角形三线合一知AMBCMCBC3在RtAMC中，AC5，AM4，SAMCAMMCACMN，MN】2. 如图所示，在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP

8、，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8解. C【此题属探索性问题，难度较大当点D恰好落在BC上时，OPODAC60，因为POD60，所以AOPCDO，故AOPCDO，所以APCO6，选C】3. 如图所示，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CMCN；ACDN其中，结论正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个解. B【DCAC，ACEDCB，ECBC，ACEDCB，则AECDBC，又ECBC，ECBDCE，MCENCB，则MCNC，而由已知不能

9、得出ACND，故选B】4. 如图所示，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形解：（1）；（1）证明：EBODCO，EOBDOC，BECD，BEOCDOOBOC，OBCOCBEBOOBCDCOOCB，即ABCACBABACABC为等边三角形5. 已知：如图所示，在ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH是BC边的中点，连接DH与BE相交于

10、点G（1）求证：BFAC；（2）求证：CEBF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论（1）证明：CDAB，ABC45，BCD是等腰直角三角形BDCD在RtDFB和RtDAC中，DBF90BFD，DCA90EFC，且BDFCDA90，BDCD，RtDFBRtDAC，BFAC（2）证明：在RtBEA和RtBEC中，BE平分ABC，ABECBE，又BEBE，BEABEC，RtBEARtBECCEAEAC又由（1）知BFAC，CEACBF（3）CEBG证明：连接CGBCD是等腰直角三角形，BDCD又H是BC边的中点，DH垂直平分BC，BGCG在RtCEG中，CG是斜边，CE是直角边，CECGCEBG6已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于点E，交AB于点F，连接DF