第四节函数展开成幂级数

1、第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。这节我们讨论该问题的反问题：给定函数，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数。（如果能够找到这样的幂级数，就说在该区间内可展开成幂级数。）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数多项式来逼近一般函数。在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数在点的某一邻域内具有直到阶的导数，则在该邻域内的n阶泰勒公式：(1)成立，其中为拉格朗日型余项

2、。（）如果令，就得到马克劳林公式：（2）此时，（）公式说明，任一函数只要有直到阶的导数，就可等于某个n次多项式与一个余项的和。下列幂级数（3）我们称为马克劳林级数。那么它是否以函数为和函数呢？若令马克劳林级数（3）的前项和为，即那么，级数（3）收敛于函数的条件为由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知于是，当时，有。反之，若，必有。这表明，马克劳林级数（3）以为和函数的充要条件，是马克劳林公式（2）中的余项（当时）。这样，我们就得到了函数的幂级数展开式：（4）它就是函数的幂级数表达式。也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的。事实上，假设函数可以表示为幂级数（5）那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求

3、导的性质，再令（幂级数显然在点收敛），就易得到：，将它们代入（5）式，所得与的马克劳林展开式（4）完全相同。综上所述：如果函数在包含零的某区域内有任意阶的导数，且在此区域内的马克劳林公式中的余项以零为极限（当时），那么，函数就可展开成如（4）式的幂级数。当然，幂级数：称为泰勒级数。二、函数展开成幂级数将一个函数展开成泰勒级数的基本方法是由系数公式计算系数，然后证明泰勒公式的余项当时趋于零。我们先来得到几个基本初等函数的幂级数展开式例1将函数展开成的幂级数。解：所给函数的各阶导数为（）因此（），这里。于是得级数，它的收敛半径。对于任何有限的数、（在0和之间），余项的绝对值为因有限，而是收敛级数的

4、一般项，所以当时，即当时，有。于是得展开式：（）（6）例2将函数展开成的幂级数。解：所给函数的各阶导数为（）顺序循环地取0,1,0,-1,（），于是得级数，它的收敛半径。对于任何有限的数、（在0和之间），余项的绝对值当时的极限值为零：（）因此得展开式：（）（7）这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，运算常常过于烦琐，因此人们普遍采用下面比较简便的展开法。在此之前我们已经得到了函数，及的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式。这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项。这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法。例3将函数展开成的幂级数。解

5、：本题可按例2直接方法展开。但如果应用间接方法，则比较简便。事实上，对展开式（7）逐项求导得：（）例4将函数展开成的幂级数。解：注意到，而函数的展开式可通过的幂级数展开式中的改写成得到。（）将上式两边同时积分得：因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，所以上式右端级数的收敛半径仍为；而当时该级数发散，当时，该级数收敛。故收敛域为。我们还可以得到二项展开式（当m为正态数时，即二项式定理）：（）证明这里从略。关于，和的幂级数展开式，以后可以直接引用。例5将函数在处展开成幂级数。解：因为在处展开即是展开成的幂级数，又并且有（见例2，例3）（）（）所以（）例6将展开成的幂级数。解：由于而（）（）所以（）习题 11-41 利用间接展开法，将下列函数展