第三章 第4节 4.2 第2课时

1、第2课时线性规划思想的拓展学习目标1.会处理含参数的线性规划问题.2.会求常见的非线性规划的最优解知识点一非线性约束条件思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(xa)2(yb)2r2的可行域答案梳理非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件知识点二非线性目标函数思考在问题“若x，y满足求z的最大值”中，你能仿照目标函数zaxby的几何意义来解释z的几何意义吗？答案z的几何意义是点(x，y)与点(1，1)连线的斜率梳理下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法zaxby (ab0)yx在y轴上的截距是平移直线

2、yx，使在y轴上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，则目标函数为()2点(x，y)与点(a，b)距离的平方改变圆(xa)2(yb)2r2的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的交点点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率绕定点(a，b)旋转直线，寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线的斜率1.的几何意义是(x，y)与(0，0)连线的斜率()2目标函数x2y2的几何意义是(x，y)到(0，0)的距离()类型一线性规划中的参数问题命题角度1约束条件中的参数问题例1若实数x，y满足且z2xy的最小值为3，则实数b_.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案解析可

3、行域如图z2xy可化为y2xz，z的几何意义是斜率为2的直线在y轴上的截距，易知图B为最优解，23，b.反思与感悟已知目标函数的最值，求线性约束条件的参数问题，可以先画出线性约束条件中的已知部分，由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得，常常利用数形结合的方法求解跟踪训练1若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2 C. D考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案D解析作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kxy20与x轴的交点为A.zyx的最小值为4，4，解得k，故选D.命题角度2目标函数中的参数问题例2已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束

4、条件下取得最小值2时，a2b2的最小值为()A5 B4 C. D2考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案B解析画出约束条件表示的可行域(如图所示)由图可知，目标函数zaxby在点A(2，1)处取得最小值，则22ab，即22ab，a2b2a2(22a)25a28a20，构造函数m(a)5a28a20(0a0，b0)的最大值为8，则ab的最小值为()A1 B2 C3 D4考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案D解析可行域如图所示zabxy可化为yabxz，由图知A为最优解，ab148，即ab4.ab24，当且仅当ab2时取等号，(ab)min4.类型二非线性目标函数的最

5、值问题命题角度1斜率型目标函数例3已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值解作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z，故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0，2)，C(1，0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.引申探究1把目标函数改为z，求z的取值范围解z，其中k的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率由图易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范围

6、是.2把目标函数改为z，求z的取值范围解z2.设k，仿例3解得k1.z.反思与感悟对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线的斜率问题跟踪训练3实数x，y满足则z的取值范围是()A1，0 B(，0C1，) D1，1)考点题点答案D解析作出可行域如图阴影部分所示，的几何意义是点(x，y)与点(0，1)连线l的斜率，当直线l过B(1，0)时kl最小，最小为1.又直线l不能与直线xy0平行，kl1.综上，k1，1)命题角度2两点间距离型目标函数例4已知x，y满足约束条件试求zx2y2的最大值和最小值考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值解zx2y2表示可行域内的点到原点的距

7、离的平方，结合图形(例3图)知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小故zmax|OA|213，zmin22.反思与感悟两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用跟踪训练4变量x，y满足约束条件(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值解由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示由解得A；由解得C(1，1)；由解得B(5，2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y

8、2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|，即2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3，2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到点(3，2)的距离中，dmin1(3)4，dmax5(3)8.所以16z64.1已知z2xy，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是()A. B. C. D.考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案A解析根据题中所给约束条件所得的可行域如图根据y2xz可知z的几何意义为直线在y轴上的截距显然y2xz在点(1，1)和

9、(m，m)处直线的截距分别取得最大值3和最小值3m，故343m，解得m.2已知点P(x，y)的坐标满足约束条件则x2y2的最大值为()A. B8 C16 D10考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案D解析画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，易得A(1，1)，|OA|，B(2，2)，|OB|2，C(1，3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3若x，y满足约束条件则z的最大值是_考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1，1)

10、连线的斜率由图可知z的最大值为kAB3.4已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的最小值为_考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.1画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2对于含参数的线性规划问题，仍按正常步骤解决只是涉及不确定的可行域或目标函数，要分类讨论多种可能3对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2y2是点(x，y)到点(0，0)的距离的平方，而非距离一、选择题1已知a，b是正数，且满

11、足2a2b4，那么的取值范围是()A. B.C. D.考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案A解析画出不等式组表示的平面区域，得可行域如图中阴影部分所示(不含边界)的几何意义是平面区域内的点M(a，b)与点P(1，1)连线的斜率，由图易得，kPAkPMkPB，又kPB3，kPA，因为a，b是正数，所以3.2若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是()A(1，2) B(4，2)C(4，0 D(2，4)考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案B解析画出可行域，目标函数可化为yxz，根据图像判断，当直线yxz的斜率满足10)

12、取最大值时的最优解，求a的取值范围考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由zax3y(a0)，得yx，因为当直线zax3y(a0)过P(2，1)时，z取最大值，所以由图可知2，所以a6，所以a的取值范围是6，)12已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围考点非线性目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合解作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故|MN|.

13、|MN|22，z的最小值为.(2)z2表示可行域内的点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，kQA，kQB，z的取值范围是.13若实数x，y满足且x2y2的最大值为34，求正实数a的值考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题解在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)其中直线axya0的位置不确定，但它经过定点A(1，0)，斜率为a.又由于x2y2()2，且x2y2的最大值为34，所以可行域中的点与原点距离的最大值为.解方程组得M点的坐标为，|OM|，解方程组得P点的坐标为，所以点P到原点的距离最大，所以2934，解得a或a(舍)四、探究与拓展14已知变量x，y满足约束条件若x2y5恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，1 D1，1)考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案C解析由题意作出可行域，如图(阴影部分)所示，由图易知a1.x2y5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x2y5的右上方，即点A在直线x2y5上或其右上方易知A点坐标为(a，a1)，所以a2(a1)5，所以实数a的取值范围为1，115若实数x，y满足不等式组则z2|x|y的最大值为()A12 B11 C7