第十三章SECTION2一阶微分方程

1、§2一阶微分方程一、一阶微分方程解的存在和唯一性一阶微分方程的一般形式是如果在所考虑的区域上，那末根据隐函数存在定理（第五章 §3，四，2），解出得或者写成对称形式解的存在和唯一性定理 给定微分方程及初始值.设在闭区域：上连续，那末方程至少存在一个解，它在处取值，同时在包含的某一区间上确定且连续（此定理称为柯西存在定理）.如果在内对变数还满足李普希茨条件，即存在正数，使得对于内的任意两值和，下面不等式成立：那末这个解还是唯一的.二、可积类型及其通解（表中c为任意常数）方程类 型解法要点与通解表达式 1变量可分离方程f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy=0 分

2、离变量，两边同除以g1(y)f2(x),再分别积分.2. 齐次方程 一般假设则变量可分离，属类型1 令代入原方程，得新未知函数u关于自变量x的方程：xdu = F(u) udx再按类型1求解.3线性方程方程类 型先求出所对应的齐次线性方程解法要点与通解表达式当q(x) 0, 称为齐次线性方程，当, 称为非齐次线性方程的通解 再利用常数变易法(本章§3,二,2),令算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得4伯努利方程 利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程，再按类型3求解.5全（恰当）微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0式中M，N满足方程可写成M(x,y)dx+N(x,

3、y)dy=dU(x,y)=0式中dU是全（恰当）微分.6可将y解出的方程y=F(x,p)式中 把方程两边对x求导数，得或 如果能求出此方程的通解或, 那末原方程可解.拉格朗日方程y = xf1(p) + f2(p)式中是已知可微函数克莱罗方程y = xp+F(p)式中是已知可微函数方程类 型 可化为x的线性方程 再按类型3求解 化为方程令, 即p =c，代入原方程.解法要点与通解表达式 (见§2,三)7.可将x解出的方程x = F(y, p)式中 方程两边对x求导数,利用如果可求出这个方程的通解那末原方程可解.8.不显含未知函数的方程引入适当参数t，化原方程为9.不显含自变量的方程引

4、入参数t，化原方程为10能化为变量可分离或齐次方程的方程方程类 型（a）令z = ax + by + c，化原方程为类型1（b）若行列式引进新变量式中,满足方程组解法要点与通解表达式则原方程化成齐次方程(类型2):若=0, b10, 则令z = a1x + b1y + c1；若=0, b20, 则令z = a2x + b2y + c2,于是原方程化为类型1.11.黎卡提方程如果已知原方程有一个特解y=y1(x), 作变换可把原方程化为线性方程(类型3)：或用变换y = y1(x)+u化为伯努利方程(类型4):再分别按类型3和类型4求解.12. 含积分因子的方程M(x, y)dx + N(x,

5、y) dy = 0式中但存在(x, y)满足(x, y)称为原方程的积分因子找出积分因子(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表.找积分因子的方法条 件积分因子(x, y)条 件积分因子(x, y)xM+yN=0xM+yN0条 件积分因子(x, y)条 件形为m(x)n(y)积分因子(x, y)M,N是同次的齐次式M(x, y) = yM1 (xy)N(x, y) = xN1(xy)存在适合的常数m和n(用比较系数法确定)即M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数xmyn三、奇解及其求法 微分方程的奇解 微分方程的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线，即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的. c-判别曲线法 设一阶微分方程的通解为，其中c是任意常数，把c看成参数.从下面方程组中消去c而得到的所有曲线，都称为曲线族的c-判别曲线，其中包含着曲线族的包络.但应注意c-判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验.例求一阶微分方程的通解和奇解.解把方程写成令y'=p.方程两边对p求导，得于是有即代入原方程，得通解从中消去c，得c-判别曲线y=x和.直接代入原方程可知y=x不是已知方程的解，所以不是奇解，而是奇解.p-判别曲线法对于一阶微分方程，令，那末方程的奇解一