第二章 1.5 第2课时

1、第2课时点到直线的距离公式学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题知识点一点到直线的距离思考1如何求点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离？答案先求出过点P(x0，y0)的直线l的垂线的方程，通过联立方程组得到垂足的坐标，再利用两点间的距离求出点P(x0，y0)与垂足的距离，即为点P(x0，y0)到直线l的距离d.思考2点到直线的距离公式对于A0或B0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，当A0，B0时，直线l的方程为ByC0，即y，d，适合公式当B0，A0时，直线l的方程为AxC0，x，d，适合公式梳理点到直线的距离(1

2、)定义：点到直线的垂线段的长度(2)图示：(3)公式：d.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：xy10上有A(1,0)，B(0,1)，C(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A，B，C到直线l2的距离分别为，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等梳理两平行线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离(4)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.1点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.(×)2

3、直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离()3两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()类型一点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离yx；3y4；x3.考点点到直线的距离题点求点到直线的距离解yx可化为4x3y10，点P(2，3)到该直线的距离为d；3y4可化为3y40，由点到直线的距离公式，得d；x3可化为x30，由点到直线的距离公式，得d1.(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程解方法一当过点M(1,2)的直线l的

4、斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点距离相等，故x1满足题意；当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意得，lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则klkAB，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思与感悟(1)利

5、用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案(1)(2)2xy20或2x3y180解析(1)由题意知，3，解得a，故

6、a的取值范围为.(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A，B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.类型二两平行线间的距离例2(1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则直线l的方程为_考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程 答案(1)(2)2xy10解析(1)由题意，得，m2，即6x2y10.将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间的距离公式，得.(2)设

7、直线l的方程为2xyC0，由题意，得，解得C1，直线l的方程为2xy10.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解(1)方法一设所求直线的方程为5x12yC

8、0，在直线5x12y60上取一点P0，则点P0到直线5x12yC0的距离为，由题意，得2，所以C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线的方程为5x12yC0，由两平行直线间的距离公式，得2，解得C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.因为l1与l2的距离为5，所以5，解得k0或.所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.类型三利用距离公式求最值命题角度1由点到直线的距离求最值例3已知实数x，

9、y满足6x8y10，则的最小值为_考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值答案解析，上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|mind.反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点

10、到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在直线方程为yx，由解得点P坐标为(2,2)(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，所求直线方程为y2(x1)，即x2y50.命题角度2有关两平行线间距离的最值例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解(1)设经过点A和点B的直线分别为l1，l2，显然当时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|3，d的取值

11、范围为(0,3(2)由(1)知，dmax3，又kAB，直线的斜率k3，两直线的方程分别为3xy200或3xy100.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小值为()A3 B. C. D.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点求两条平行直线间的距离答案D解析由题知，两直线平行，两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x4y50可化为6x8y100，则|PQ|.1已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1 B1 C. D±考点

12、点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案D解析由题意知，1，即|a|，a±.2直线x2y10与直线x2yC0的距离为2，则C的值为()A9 B11或9C11 D9或11考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析两平行线间的距离为d2，解得C9或C11.3已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是()A. B. C. D3考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B解析点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|min.4两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，

13、则ad_.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案10解析由两直线平行知，a8，d2，ad10.5直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案(5，3)解析由题意知，过点P作直线3x4y270的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y1(x2)，解方程组得所求点的坐标为(5，3)1点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需数形结合，使问题

14、更清晰3已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.一、选择题1点(1，1)到直线y1的距离是()A. B.C3 D2考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案D解析d2，故选D.2已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线xy0的距离是()A.(ab) BbaC.(ba) D.考点题点答案C解析P(a，b)是第二象限的点，a<0，b>0.ab<0.点P到直线xy0的距离d(ba)3若P点在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则点P的坐标为()A(1,2) B(2,1)C(1,2)或(2，1) D(2,1)或(1,2)

15、考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案C解析设点P的坐标为(x,53x)，则由点到直线的距离公式，得，即|4x6|2，4x6±2，x1或x2，点P的坐标为(1,2)或(2，1)4已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A. BC或 D或考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案C解析由点到直线的距离公式，可得，化简得|3a3|6a4|，解得实数a或.故选C.5到直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平

16、行直线间的距离求直线方程答案D解析根据题意可设所求直线方程为2xyC0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得C0或C2，故所求直线方程为2xy0或2xy20.6两平行直线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是()A0<d3 B0<d5C0<d<4 D3d5考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析当两平行直线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|5，所以0<d5.7过两直线xy10和xy10的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A0条 B1条C2条 D3条考点点到直线的距离题点与点到直线

17、的距离有关的最值问题答案B解析联立方程得两直线交点为(0,1)，又交点到原点的距离1，故只有1条8若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A3 B2 C3 D4考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案A解析由题意知，点M的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为xy60，点M到原点的距离的最小值为d3.二、填空题9点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是_考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案8解析由x2y2的实际意义可知，它代表直线xy

18、40上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2y2)min28.10设点P在直线x3y0上，且点P到原点的距离与点P到直线x3y20的距离相等，则点P的坐标是_考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案或解析设P(3a，a)，由题意得，即10a2，解得a±，P或.11经过点P(3,4)，且到原点的距离等于3的直线l的方程为_考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案x3或7x24y750解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40.原点到直线l的距离d3，解得k.直线l的方程为7x24y750.综上，直线l的方程为x3或7x24y750.三、解答题12如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解设直线l2的方程为yxb(b>1)，则图中点A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h(b>1)，由梯形面