第二节二重积分的计算

1、第二节 二重积分的计算教学目的：使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法教学重点：将二重积分化为二次积分教学过程：一、利用直角坐标计算二重积分先介绍区域的表示： X-型区域: D :j1(x)£y£j2(x), a£x£b . Y -型区域: D :y1(x)£y£y2(x), c£y£d .混合型区域:设f(x, y)³0, D=(x,y)| j1(x)£y£j2(x), a£x£b.此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x, y)为顶,以区域D为底的曲顶

2、柱体的体积.对于x0Îa, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间j1(x0),j2(x0)为底、以曲线z=f(x0, y)为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为.即 V=.可记为.类似地,如果区域D为Y -型区域: D :y1(x)£y£y2(x), c£y£d ,则有.例1. 计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.解:画出区域D. 方法一.可把D看成是X-型区域: 1£x£2, 1£y£x .于是.注: 积分还可以写成.

3、解法2.也可把D看成是Y-型区域: 1£y£2, y£x£2 .于是.例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.解画出区域D,可把D看成是X-型区域:-1£x£1, x£y£1.于是.也可D看成是Y-型区域:-1£y£1,-1£x<y .于是.例3 计算,其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.解积分区域可以表示为D=D1+D2,其中;.于是.积分区域也可以表示为D:-1£y£2, y2£x£y+2.

4、于是.讨论积分次序的选择.例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2.利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D=(x,y)| 0£y£, 0£x£r为底,以顶的曲顶柱体.于是.二.利用极坐标计算二重积分有些二重积分,积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量r、q表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.按二重积分的定义.下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的

5、形式.以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:,其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在Dsi内取点, 设其直角坐标为(x i,h i),则有,.于是,即 .若积分区域可表示为j 1(q)£r£j 2(q),a£q£b,则.讨论:区域如下图,如何确定积分限?.例5. 计算,其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系中,闭区域D可表示为 0£r£a , 0£q£2p.于是. 注: 此处积分也常写成.利用计算广义积分:设D1=(x, y)|x2+y2£R2, x³0, y³0, D2=(x, y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0, S=(x, y)|0£x£R, 0£y£R.显然D1ÌSÌD2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式.因为,又应用上面已得的结果有,于是上面的不等式可写成.令R®+¥,上式两端趋于同一极限,从而.例6 求球体x2+y2+z2£4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆