第三章 3.5 第2课时

1、第2课时绝对值不等式的解法学习目标1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.知识点一|axb|c和|axb|c型不等式的解法思考1|x|2说明实数x有什么特征？答案x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.x2或x2.思考2若|2x3|5，求x的取值范围.答案x|1x4.梳理(1)含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法|x|a|x|a(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或ax

2、bc.知识点二|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法思考如何去掉|xa|xb|的绝对值符号？答案采用零点分段法.即令|xa|xb|0，得x1a，x2b，(不妨设ab)|xa|xb|梳理|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函

3、数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法.1.|x2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离.(×)2.|x|>a的解集是x|x>a或x<a.(×)3.若ab<0，则|ab|<|ab|.()类型一|axb|c与|axb|c(c0)型的不等式的解法例1解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2|x2|4.解(1)|5x2|85x28或5x28x2或x，原不等式的解集为x|x2或x.(2)原不等式等价于由得x22或x22，x0或x4，由得4

4、x24，2x6.原不等式的解集为x|2x0或4x6.反思与感悟|axb|c和|axb|c型不等式的解法(1)当c0时，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc.(2)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.(3)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.跟踪训练1解下列不等式：(1)3|x2|4；(2)|x1|4|2.解(1)方法一原不等式等价于由，得x23或x23，x1或x5，由，得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x1或5x6.方法二3|x2|43x24或4x235x6或2x1.原不等式的解集为x|2x1或5x6.(2)|x1|4|22|x

5、1|422|x1|65x1或3x7.不等式|x1|4|2的解集为x|5x1或3x7.类型二|xa|xb|c和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法例2解关于x的不等式：|3x2|x1|3.解方法一分类(零点分段)讨论法|3x2|0，|x1|0的根，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x2|x1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.因为当x时，|3x2|x1|23x1x34x，所以当x时，|3x2|x1|334x3x0.因此，不等式组的解集为x|x0.因为当x1时，|3x2|x1|3x21x2x1，所以当x1时，|3x2|x1|3x2

6、.因此，不等式组的解集为.因为当x1时，|3x2|x1|3x2x14x3，所以当x1时，|3x2|x1|34x33x.因此，不等式组的解集为.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即x|x0.方法二构造函数f(x)|3x2|x1|3，则原不等式的解集为x|f(x)0.f(x)作出函数f(x)的图象，如图.它是分段线性函数，函数的零点是0和.从图象可知，当x(，0)时，有f(x)0.所以原不等式的解集是(，0).反思与感悟|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只

7、适用于数据较简单的情况.跟踪训练2解不等式|x7|x2|3.解方法一|x7|x2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x1.由图易知不等式|x7|x2|3的解为x1，即x(，1.方法二令x70，x20，得x7，x2.当x7时，不等式变为x7x23，93成立，x7.当7x2时，不等式变为x7x23，即2x2，x1，7x1.当x2时，不等式变为x7x23不成立，即93不成立，x.原不等式的解集为(，1.方法三将原不等式转化为|x7|x2|30，构造函数y|x7|x2|3，即y作出函数的图象，由图象可知，当x1时，y0，即|x7|x2|3

8、0，原不等式的解集为(，1.类型三含绝对值不等式的恒成立问题例3已知函数f(x)|2x1|2xa|.(1)当a3时，求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a3时，f(x)|2x1|2x3|，f(x)6，等价于|2x1|2x3|60，令g(x)|2x1|2x3|6，令|2x1|0，|2x3|0，得x1，x2.g(x)作yg(x)的图象，如图，f(x)6的解集为1,2.(2)f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|，f(x)min|a1|.要使f(x)a恒成立，只需|a1|a成立即可.由|a1|a，得a1a或a1a，a，a的取

9、值范围是(，).引申探究若f(x)|2x1|2xa|且f(x)a恒成立，求a的取值范围.解f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|，f(x)max|a1|.f(x)a恒成立，|a1|a，aa1a，a，a的取值范围是(，).反思与感悟不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题.f(x)a恒成立f(x)maxa，f(x)a恒成立f(x)mina.跟踪训练3已知不等式|x2|x3|m.根据以下情形分别求出m的取值范围.(1)若不等式有解；(2)若不等式的解集为R；(3)若不等式的解集为.解方法一因|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离

10、的差，即|x2|x3|PA|PB|.则(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1，m的取值范围为(，1).(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x2|x3|的最小值还小，即m1，m的取值范围为(，1).(3)若不等式的解集为，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1，m的取值范围为1，).方法二由|x2|x3|(x2)(x3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，则m(，1).(2)若不等式的解集为R，则m(，1).(3)若不等

11、式的解集为，则m1，).1.不等式|x1|3的解集是()A.x|x4或x2B.x|4x2C.x|x4或x2D.x|4x2答案A解析|x1|3，则x13或x13，因此x4或x2.2.不等式0的解集为()A.B.C.D.答案C解析原不等式3.不等式|x1|x2|5的所有实数解的集合是()A.(3,2) B.(1,3)C.(4,1) D.答案C解析|x1|x2|表示数轴上一点到2，1两点的距离之和，根据2，1之间的距离为1，可得到2，1距离和为5的点是4,1.因此|x1|x2|5解集是(4,1).4.已知x为实数，且|x5|x3|m有解，则m的取值范围是()A.m1 B.m1 C.m2 D.m2答案

12、C解析|x5|x3|(x5)(x3)|2，m2.5.解不等式|2x1|3x2|8.解(1)当x时，|2x1|3x2|812x(3x2)85x9x，x.(2)当x时，|2x1|3x2|812x3x28x5，x.(3)当x时，|2x1|3x2|85x185x7x，x.原不等式的解集为.1.解不等式|axb|c，|axb|c(1)当c0时，|axb|ccaxbc，解之即可；|axb|caxbc或axbc，解之即可.(2)当c0时，由绝对值的定义知|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.2.解|xa|xb|c，|xa|xb|c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即(1)令每个绝对值符号里的一次式

13、为零，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.一、选择题1.不等式1|2x1|2的解集为()A.B.C.D.答案D解析1|2x1|2，则12x12或22x11，因此x0或1x.2.若关于x的不等式|x2|xa|a在R上恒成立，则a的最大值是()A.0 B.1 C.1 D.2答案B解析|x2|xa|a2|，|a2|a，即a2a或a2a，a1.3.设函数f(x)则使f(x)1的自变量x的取值范围是()A.(，20,4 B.(，20,1C.(，21,

14、4 D.2,01,4答案A4.关于x的不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A.(，14，)B.(，25，)C.1,2D.(，12，)答案A解析|x3|x1|4|4，a23a4，即a23a40，解得a1或a4.5.当|x2|a时，不等式|x24|1成立，则正数a的取值范围是()A.a2 B.0a2C.a2 D.以上都不正确答案B解析由|x2|a，得a2xa2，由|x24|1，得x或x.即0a2，或无解.二、填空题6.不等式1成立的充要条件是_.答案|a|b|解析10(|a|b|)·|ab|(|a|b|)0.而|ab|a|b|，|ab|(|a|b|)0

15、.|a|b|0，即|a|b|.7.若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_.答案3解析|ax2|3，1ax5.当a0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为，故a3.8.设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|xb|2的解集是_.答案R解析函数f(x)|xa|xb|的值域为|ab|，).因此，当xR时，f(x)|ab|2.所以，不等式|xa|xb|2的解集为R.9.不等式|x1|x2|5的解集为_.答案x|x3或x210.已知集合Ax|x4|x1|5，Bx|ax6且AB(2，b)，则ab_.答案711.已知函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a_.答案4或8解析当a2时，f(x)当a2时，f(x)由可得f(x)minf()|1|3，解得a4或8.三、解答题12.设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数yf(x)的最小值.解(1)由f(x)|2x1|x4|，得f(x)作出函数f(x)|2x1|x4|的图象(图象略)，它与直线y2