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文档简介

1、第二篇 傅里叶级数和积分(Fourier series and Fourier integral)在函数的泰勒、罗朗展开式中，我们采用的是一系列幂函数作为基本函数族。这些基本函数族乘以不同系数后进行迭加便构成不同函数的展开式，然而幂函数没有周期性。尽管幂函数在研究解析函数中具有特别重要的地位，但周期函数展开为幂函数以后，周期性就很难直接体现出来，因此在研究周期函数时便需要采用其它函数作为基本函数。第五章 傅里叶级数§24 周期函数的傅里叶级数采用满足条件的一系列谐函数1，及作为基本函数族。该基本函数族中任意两者彼此正交，或者说两者的乘积在一个周期上的积分为零，即 可以证明，上述谐函数

2、族是完备的，即任意分段连续的周期函数均可用上述谐函数族展开，且当时。原函数和展开式间的平方平均误差，亦即周期函数可展开为上式称为周期函数的傅里叶级数展开，和称为傅里叶系数容易求出关于傅里叶级数的收敛性问题有：狄里希利(Dirichlet)定理：若周期函数满足狄里希利条件 处处连续或者在每个周期中只有有限个间断点，并且在间断点的跃度是有限的 在每个周期中只有有限个极值，则傅里叶级数收敛于关于希尔伯空间(Hilbert space)：希尔伯空间是无限维的。它由无限多个彼此正交且完备的基矢构成。周期函数的傅氏级数相当于该空间的矢量在基矢1，上的表示，该空间的一个点由()表示，除前述谐函数族外，还有许

3、多完备的函数族可作为希尔伯空间的基矢。因此还可以利用其它的完备函数族将作广义傅里叶级数展开。例 在周期上 将其展开为傅氏级数该函数满足狄里希利条件，则则在计算傅里叶系数时，经常用到（k为整数，为实数）§2.5 奇的和偶的周期函数对于奇函数 对于偶函数 的导数 例 研究的频谱注意 Gibbs现象（9%）峰值位置随项数增多向跳变点靠近，峰值超出跳变值的9%练习 §2.6 有限区间上的函数的傅里叶级数 关于时间、空间的周期函数均要求自变量的取值范围为无限，即从-到+。而实际物理系统，无论是时间还是空间均为有限，因此这样的函数能否展开为傅里叶级数，前提是什么？可将函数在无限的时间、空间范围内作解析延拓，由于函数在定义域外没有定义，因此可以有无数种延拓方式。实际情况应依据边界上的函数取值，进行奇或偶延拓等例P92/5（2），6（1），7§2.7 复数形式的

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