高三一轮复习《不等式》

1、第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式包（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式）,涉及常规函数的不等式包（能）成立问题。1、线性规划（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式

2、子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。比如：已知等差数列an,a51,a82,则配的取值范围是（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：axby;（2）距离型：fxa2yb2;（3）斜率型：工业；如果直接考这几个类型倒还好x比如：已知x, y满足条件x0 2y 00 ,则2x y的最大值是(3)比如:y 12的最小值是工的取值范围是 x 3有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。2x y已知P(a,b)满足不等式组2y y00 ，则P所在区域的面积是4 0已知x,y满足条件02

3、y0使得ax y取得最大值的点有无数个，则实数a的值是已知x,y满足条件02y00,且axy在点(1,0)处取得最大值，则实数ax比如：已知x, y满足条件xy的范围是(4)稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。022y10,则xy2x5y26y的取值范围是0(x1)2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单

4、调性，知道函数的零点”。另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等1 1式对应的根式有关系的，比如：已知不等式ax2bx10的解是-x-,则不等2 3式x2bxa0的解是.解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根

5、,大小怎么样，是否在定义域中)，最后根据题目变量x的取值范围去得出不等式的解集例1、解不等式x2(a-)x10(a0)a111分析：首先因式分斛(xa)(x一)，一次函数y(xa)(x一)的两根为x1a,X2一,aaa解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，。1-一,。1一一1。1一1a-,解不存在；2a一，即a1或1a0,xa;3a,即a1aaaa1或0a1,ax一a例2、解不等式：ax2a1x10分析：因式分解(ax1)(x1)0,考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a的取值是关键，联系到二次函数y(ax1)(x1),两根为x1

6、1°a0,不等式变为x10,解为x1,。1.12a0,一1,x2xx1，斛为1x-，aa1的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论,1 1 一当 > 1时，即a 1 , x 或xaa一,、1时，x 1或x 一 a111,当 一二1 时，即 a 1 , x 1,当一 aa例3、解不等式m21x24x10m分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：(1)当m<1时，=4(3m)>0,图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一1&

7、lt;m<3时，=4(3-m)>0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，/=4(3-m)=0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x24x10的根。当m>3时，=4(3-m)<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1)恒成立问题( 1)若不等式fxA在区间D上恒成立，则等价于在区间D上fxminA( 2)若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB( 3)特别的，若上述的fxmaxfxmin取不到，则最后的参数范围需要加上“=”( 4)有一些可以转化为恒成

8、立问题的，比如：“函数fx的图像横在gx的图像的上方fxgx恒成立”。2)能成立问题(也就是有解问题)若在区间D上存在实数X使不等式fxA成立，则等价于在区间D上xmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立，则等价于在区间D上的XminB.3）恰成立问题（相对少见）若不等式fxA在区间D上恰成立，则等价于不等式fxA的解集为D;若不等式fxB在区间D上恰成立，则等价于不等式fxB的解集为D.以上题型和方法在函数解答题的材料中有涉及，这里就不具体展开了。4、基本不等式、知识点总结1、基本不等式原始形式：（1）若a,bR,则a2b22ab（2）若a,bR,则22abab22、基本不等式一般

9、形式：右a,bR,则ab2Vab3、基本不等式的两个重要变形：（1）若a,bR*,则圣朝（2）若a,bR*,则22abab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“二4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”*/,2.25、常用：若a,bR,则，、前4ab1122ab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“二、题型分析题型：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x2,求函数y4.一,一2x4的取小值;2x42、已知X5,求函数y4X2，的最大值;44x5题型：工5用“1”的代换求最值问题或者两者相乘.一

10、11一1、已知a,bQa2b1,求t-的最小值;ab法二:11变式：已知a,b0,a2b1,求一的取小值;a1b一b1一变式：已知a,b0,a2b1,求一的取小值;a1b21.变式：已知a,b0,ab2a1,求一一的取小值;ba变式:已知a21ababa2的最小值;变式:已知a0,ab2b'求厂目的最小代变式:已知a0,ab2,求a21ab2的最小值;b1变式:已知xn包成立，如果nN，求n的最小值;xz（参考：4）（提示：分离参数，换元法）变式：已知x,y0,-xy1,求xy的最小值;变式：已知正项等比数列an满足:a?a62a5,若存在两项am,an,使得14一一.yaman4a1，求一的取小值;mn题型：分离换元法求最值（了解）1、求函数yx27x101(x1)的值域;变式：求函数x28yo(x1)的最小值;2、求函数y的最大值；（提示：换元法）2x5变式：求函数y二的最大值;题型：基本不等式的综合应用1、已知log2alog2b1,求3a9b的最小值2、已知a,b0,求1b2面的最小代3、已知x,y0,x2y2xy8,求x2y最小值;变式1:已知a, b0 ,满足ab a b 3 ,求ab范围;变式2:已知x,y0,1,求xy最大值；（提示：通分或三角换元）2x2y3变