专题_解析几何中的动点轨迹问题

1、专题：解析几何中的动点轨迹问题学大分教研中心 周坤 轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了.）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧.Part 1 几类动点轨迹问题1、 动线段定比分点的轨迹例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑

2、动，点P在段AB上，求点P的轨迹。；例2 已知定点A(3,1),动点B在圆O上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.所以点P的轨迹为2、 两条动直线的交点问题例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线，设长为的线段AB在上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程例4 已知是双曲线的两个顶点，线段MN为垂直于实轴的弦，求直线与的交点P的轨迹3、 动圆圆心轨迹问题例5 已知动圆M与定圆相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹例6 已知圆，圆M与圆和圆都相切，求动圆圆心M的轨迹4、 动圆锥曲线中相关点的轨迹例7 已知双曲线过和，它的一个焦点是

3、，求它的另一个焦点的轨迹例8 已知圆的方程为，动抛物线过点和，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程Part 2 求动点轨迹的十类方法一、直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。OYxNMA 例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解 设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MNL于N，由MAMN4，得 当x3时上式化简为

4、y2=12(x-4)当x3时上式化简为 y2=4x所以点M的轨迹方程为y2=12(x-4) (3x4)和y2=4x (0x3). 其轨迹是两条抛物线弧。例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有 ，即 ， 整理得，这就是动点M的轨迹方程若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆二、定义法 圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空

5、题的形式出现 例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上例4 若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是_解 设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是例5 一动圆与两

6、圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）（A）抛物线 （B）圆（C）双曲线的一支 （D）椭圆解 设动圆圆心为M，半径为r，则有所以动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C） 三、转移法（重中之重） 若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。 例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求F1F2P的重心G的轨迹方程。 解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0,

7、y0）， 因为F1（-5，0），F2（5，0） 则有 , ， 故代入 得所求轨迹方程（y0） 例7 已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线解：设，由题设，P分线段AB的比， 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线四、点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等

8、关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直线AB的斜率为，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。 例8 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。Y解 设M（x, y），A（x1, y1），B（x2, y2）PMA则x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由， B两式相减并同除以（x1-x2）得XO ,而kAB= kPM=, 又因为PMAB所以kAB×kPM=1故 化简得点M的轨迹方程xy +2x- 4y=0五、几何法 运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径

9、定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。 例9 如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=1, B是直线L上的动点，BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。LCAOB解 设B（-1，b），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx , 设C（x,y），由点C到OA，OB的距离相等，得|y|= 又点C在直线AB上，故有y=由x-a0得b= 代入 化简整理得 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0若y0, 则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0<x<a)若y=0, 则 b=0,AOB=得C（0，0）满足上

10、式 ，综合得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0x<a) 以下对a分类讨论略(本题用三角形角平分线性质定理来解亦很方便)6、 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程ONMBA例10 已知MN是椭圆中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。 解1:(利用点的坐标作参数)令M(x1,y1 ) ，则N(x1,-y1)而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(

11、x,y)因为A, M, P 共线. 所以因为N, B,P 共线. 所以两式相乘得， 而即代入得，即交点P的轨迹方程为解2: (利用角作参数)设M(acos,bsin) 则N(acos,-bsin)所以 , 两式相乘消去即可得所求的P点的轨迹方程为 例11 已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是七、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约

12、，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程常用的参数有点参数，角参数,斜率参数,定比参数,用此法要注意参数的实际意义.MOAB例12 如图,设点A和B为抛物线y2= 4px (p>0)上原点O以外的两个动点,且OAOB,过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程. 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x1,y1),B(x2,y2),则（）由A,M B共线得 则把（）代入上式得化简得M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x0)解2 (变换方向) 设OA的方程为y=kx (k0) 则OB的方程为由 得 A() ， 由得B (2pk2,-2pk)所以直线AB的方程为 因为OMAB,所以

13、直线OM的方程为 ×即得M的轨迹方程:x2+y2-2px=0(x0)解3 (转换观点) 视点M为定点,令M( x0,y0), 由OMAB可得直线AB的方程为, 与抛物线y2=4px联立消去y 得,设A(x1,y1), B(x2,y2) 则又因为OAOB 所以 故=即 所以M点的轨迹方程为例13 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为(2)设点解方程组

14、得 由和得其中t1消去t，得点P轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分例14 过点M(-2, 0)作直线L交双曲线xy = 1于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。解：设过M的直线方程为: y = k (x + 2) (k0，k1)，代入双曲线xy = 1得：（1 k）x4 kx 4 k1 = 0OAPB为平行四边形，则：x = x + x = ； yy = y + y = k (x + x) + 4k = 。 P 消去k得xy+ 4xp = 0 M O x当Lx轴时，P点坐标为（-4，0），也满足上述方程。而由k0，得x0。故所

15、求的轨迹方程为：xy+ 4x = 0 (x0)。八、韦达定理法有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程例15 过抛物线y=x2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB为直径作圆, 求两圆的另一交点C的轨迹方程解：设A,B两点的坐标分别为 (), () , 则由OAOB得 t1t2=1因为以OA为直径的圆方程为 同理以OB为直径的圆方程为 而点C(x,y)满足 ,由知t1,t2是关于t的二次方程yt2 + xt- x2- y2= 0的两根,根据t1t2=1及

16、韦达定理得 , 即有x2 + y2 - y =0(y0)这就是C点的轨迹方程.九、复数法 如果动点的运动和角度有明显的关系，那么可以将直角坐标平面看成复平面,利用复数的几何意义求解动点轨迹方程。 例16 边长为m的正三角形ABC的两顶点A,B分别在x轴,y轴上滑动, A .B .C三点按顺时针顺序排列，求点C的轨迹方程. 解: 视xoy为复平面,设 C(x,y), A(a,0) , B(0,b)则向量表示的复数为x+yi,向量表示的复数为a,向量表示复数 a+bi,把向量按顺时针方向旋转就得到向量,所以向量表示的复数为,由得由复数相等的条件得 而a2+b2=m2所以点C的轨迹方程为十、极坐标法

17、 某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系较为方便地求得轨迹方程.PRQ 例17 已知椭圆与直线L: , P为直线L上的任一点,OP交椭圆于点R,OLQ是OP上一点,且满足|OP|OQ|=|OR|2求动点Q的轨迹方程并指出轨迹的曲线.解 以原点为极点,ox轴正方向为极轴建立极坐标系则椭圆的极坐标方程为,直线L的极坐标方程,则,设点Q(,),由|OQ|OP|=|OR|2得整理得 即2x2+3y2=4x+6y(x,y不同为0)故Q点的轨迹方程为(x,y不同为0),其轨迹是去掉原点的一个椭圆.例18 已知AOB =2(0 < <)，其一动点P,从点P向角的两

18、边分别作垂线PQ、PR，且四边形OQPR的面积为定值a，求动点P的轨迹方程。解：以O点为极点，AOB的平分线为极轴建立极坐标系，设P(,) = cos(+) , = sin(+), = cos() , = sin()sin(+)cos(+) + B sin() cos() = a O P x 即 sin2(+) + sin2() = a A sin2 cos2 = a cos2 = 即动点P的轨迹方程为：xy= 2acsc2 (在AOB的部的一段)。Part 3 经典习题一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的

19、轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A.B.C.D.二、填空题3. ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又

20、过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6. 双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7. 已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8. 已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形

21、成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.解析与答案一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依

22、题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解：设P(x0,y0）(x±a),Q(x,y

23、).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(x±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=A2Q的方程为：y=×得：y2=又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1.此即为M的轨迹方程.(2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆.()当mn时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；()当mn时，焦点坐标为(0,

24、7;),准线方程为y=±,离心率e=.8.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB当AOB=90°时，SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45°，Part 4 高考中的动点轨迹问题1已知两点、，点为坐标平面的动点，满足，求动点的轨迹方程2已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为，求动点的轨迹的方程3已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与轴交于两点，且，求椭圆的方程4已知点，直线：，为平面上