《数理统计》第2讲

1、 上一讲中，我们了解到，上一讲中，我们了解到，随机随机现象有其偶然性的一面，也有其必现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律规律性，称为随机现象的统计规律性性. 而概率论正是研究随机现象统而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科计规律性的一门学科. 现在，就让现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究界，开始第一步的探索和研究. 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对研究随机现象

2、，首先要对研究对象进行观察试验象进行观察试验. 这里的试验，指的这里的试验，指的是随机试验是随机试验. 如果每次试验的可能结果不止一个，如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验的试验称为随机试验.随机试验：随机试验：H 例如例如, , 掷硬币试验掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命.随机事件：随机事件： 在一次试验中可

3、能发生也可能不发在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件生的事件称为随机事件，简称事件. 在随机试验中，我们往往会关心某个在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现或某些结果是否会出现. 这就是这就是例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出掷出1点点”“掷出掷出2点点”事事件件基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的相对于观察目的不不 可再分解的事件可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一（两个或一些基本事件并在一起，就起，就 构成一个复合事件）构成一个复合事件）事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，如在掷骰子试验中，观察掷出的点

4、数观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S或或表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，即在一次试验中不可能发生的事件，常用常用表示表示 .而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.下面我们来为随机试验建立一个下面我们来为随机试验建立一个数学模型数学模型我们注意到我们注意到试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需

5、要观察的目的试验有一个需要观察的目的根据这个目的根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果. 试验的全部可能结果，是在试验前就明试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可知道它不超过某个范围结果，但可知道它不超过某个范围. 而且，而且，每次试验的结果事先不可预言每次试验的结果事先不可预言. 现代集合论为表述随机试验提供了一现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具个方便的工具 .样本空间与事件样本空间与事件 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作

6、，记作e 或或. 全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间. 样本空间用样本空间用S或或表示表示.样本点样本点e. S 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：则样本空间由如下四个样本点组成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中 样本空间在如下样本空间在如下意义上提供了一个理意义上提供了一个理想试验的模型：想试验的模型： 在每次试验中在每次试验中必有必有一个样本点出一个样本点出现现且仅有且仅有一个样本一个样本点出现

7、点出现 .如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，一个可能结果，S = t ：t 0故样本空间故样本空间 调查城市居民（以户为单位）烟、调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数分别是烟、酒年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档中、低三档. 这时，这时，样本点有（高样本点有（高,高）高）,

8、（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本空种，样本空间就由这间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内面第一象限内一定区域内一切点构成一切点构成 . 引入样本空间后，事件便可以表示为引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集样本空间的子集 .例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S = i ：i=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B = 1,3,5B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1，3，5中的某一个出现中的某一个出现. 研究随机

9、现象，不仅关心试验中研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率出现的可能性大小，也就是事件的概率. .事件的概率事件的概率概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！ 事件发生的可能性事件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.0P(A)1我们用我们用P(A)表示表示事件事件A发生发生的概率，则的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此时概率为概率为0.现

10、在，让我们看一个现在，让我们看一个 的故事的故事从死亡线上生还从死亡线上生还 本来，这位犯臣抽到本来，这位犯臣抽到“生生”还是还是“死死”是一个随机事件，且抽到是一个随机事件，且抽到“生生”和和“死死”的可能性各占一半，也就是各的可能性各占一半，也就是各有有1/2概率概率. 但由于国王一伙但由于国王一伙“机关算机关算尽尽”，通过偷换试验条件，想把这种概，通过偷换试验条件，想把这种概率只有率只有1/2 的的“抽到死签抽到死签”的随机事件，的随机事件，变为概率为变为概率为1的必然事件，终于搬起石头的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生. 了解事

11、件发生的可能性即概率的了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？大小，对人们的生活有什么意义呢？ 我先给大家举几个例子，也希望你我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子们再补充几个例子. 例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额. . 了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员. . 了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度. .事件在一次试验中是否发生具有随机性，事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. . 在这一讲中，我们简要介绍了在这一讲中，我们简要介绍了随机试验随机试验样本空间样本空间随机事件及其概