数值分析第四章微分

1、第四章 数值和数值微分§1数值概论一、基本思想bI(f ) =f (x)dx = F (b) F (a)a其中 F 是原函数。1/1数值微数值分析第四章 数值和数值微分§1数值概论一、基本思想bI(f ) =f (x)dx = F (b) F (a)a其中 F 是原函数。通常原函数不适宜计算或根本不能由初等函数表达，另外实际问题中 f (x) 只有离散数据点。1/1数值微数值分析如何数值计算？积分中值定理：bf (x)dx = (b a)f ()a2/1数值微积分数值分析如何数值计算？中值定理：bf (x)dx = (b a)f ()a用 (f (a) + f (b)/2

2、作为 f () 近似值，得求积公式bbaf (x)dx f (a) + f (b) （梯形公式）a22/1数值微数值分析()ba+b2又： f (x)dx (b a)f（矩形公a式）3/1数值微数值分析一般地，在 a, b 适当选取节点 xk，然后用 f (xk)平均得到 f () 的近似值，构造求积公式nbf (x)dx Akf (xk)ak=0式中 xk 称为求积节点，Ak 称为求积系数。Ak 仅仅与 xk 选取有关，与 f 无关。求积公式适合计算机使用。4/1数值微数值分析二、代数精度定义（代数精确度）如果某个求积公式对次数不高于 m 的多项式均能准确成立，但对 m + 1 次多项式就确

3、成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度（或称代数精确度）。5/1数值微数值分析要证求积公式至少具有 m 次代数精度,只要令它对 f (x) = 1, x, · · · , xm成立。都能准确A = b akAkxk = 1(b2 a2)2.1m(bm+1 am+1)Ax=kkm+16/1数值微数值分析三、插值型求积公式P (x) 是 f (x) 的插值多项式：P (x) f (x)bbf (x)dx P (x)dxaa7/1数值微积分数值分析三、插值型求积公式P (x) 是 f (x) 的插值多项式：P (x) f (x)bbf (x)dx P (x)dxaa1

4、. 两个节点 x0 = a，x1 = b：P1(x) = xaf (b) + xbf (a)baab ()bbxaxbf (x)dx f (b) +f (a) dxaabaab= ba(f (a) + f (b)27/1数值微数值分析梯形公式：记b¯baI(f ) =f (x)dx, I(f ) =(f (a) + f (b)2a则 I(1) = b a = I¯(1)，I(x) = 1(b2 a2) = I¯(x),2I(x2) = 1(b3 a3), I¯(x2) =ba (a2+ b2)32¯1223I(x ) I(x ) = (b a)

5、6故梯形公式代数精度为 1。8/1数值微数值分析2. 三个节点：x0 = a, x1 = (a + b)/2, x2 = b， (xx1)(xx2) f (a)P2(x) =(x0x1)(x0x2)() (xx0)(xx1) f (b)(xx )(xx ) a+b02+f+(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)2()bbaa+bP (x)dx =f (a) + 4f+ f (b)2a62Simpson 公式()bbaa+bf (x)dx f (a) + 4f+ f (b)62a9/1数值微数值分析b记 I(f ) =f (x)dxa()¯baa+b2I(f ) =f (a)

6、 + 4f+ f (b)610/1数值微积分数值分析b记 I(f ) =f (x)dx()a¯baa+b2I(f ) =f (a) + 4f+ f (b)6直接计算得I(1) = b a = I¯(1),I(x) = 1(b2 a2) = I¯(x),2I(x2) = 1(b3 a3) = I¯(x2),3I(x3) = 1(b4 a4) = I¯(x3),4 ¯1 445I(x ) I(x ) = (b a)12010/1数值微数值分析3. 插值型求积公式n + 1 个节点 a x0 < · · ·

7、; < xn已知 f ，作插值多项式 bf (x )l (x)，P (x) =nb akkP (x)dx =A f (x )nkk。如此构造的求积b式中 Ak =l (x)dxkanb公式A f (x ) 称为插值f (x)dx kkak=0型的。11/1数值微数值分析nb定理：求积公式f (x)dx Akf (xk)ak=0至少有 n 次代数精度的充要条件是，它是插值型的。12/1数值微数值分析四、求积公式的余项梯形公式的余项定理: 若 f (x) C2a, b，则：bbaRT (f ) =f (x)dx (f (a) + f (b)2a3(ba)= f (), (a, b)1213/

8、1数值微数值分析证：bRT (f ) =(f (x) P1(x)dxab=f x, a, b(x a)(x b)dxa(b a)3= = f , a, b6(b a)3f ()1214/1数值微数值分析辛普森公式的余项定理：若 f (x) C4a, b，则：RS(f )b ()baa+b2=f (x)dx f (a) + 4f+ f (b)6a(b a)5(4)= f(), ( (a, b)288015/1数值微数值分析证：由辛普森公式代数精度为 3，取Hermite 插值满足()()a+ba+b2P (a) = f (a), P= f332()()a+ba+bP= f, P (b) = f

9、(b)3322bR (f ) =(f (x) P (x)dxS3a ()2ba+b a+ba+b2= f , a, b(x a) x (x b)dx22a5(ba)(4)= f()288016/1数值微数值分析若求积公式代数精度为 m，可以证明余项R(f ) = I(f ) I¯(f )= K(b a)m+2f (m+1)()K 与 a, b, f 无关的常数。K的值可通过= xm+1计算。f17/1数值微数值分析例：梯形公式的余项bbaI(f ) =f (x)dx (f (a) + f (b) = I(f )2a梯形公式代数精度为 1，I(x2) I¯(x2) = 1(b

10、3 a3) ba (a2+ b2)32= 1(a3 3a2b + 3ab2 b3)6 1 32 = (b a) (x ) ()12K = 1/12。18/1数值微数值分析§2牛顿 -柯特斯公式一、柯特斯系数将 a, b 划分 n 等份，步长 h = (b a)/n，节点 xi = a + ih, i = 0, 1, · · · , n。19/1数值微数值分析插值型求积公式n(n)In = (b a)Ckf (xk)k=0称为牛顿 -(n)k柯特斯公式，为柯特斯系C数。20/1数值微数值分析21/1数值微数值分析nC(n)k12.112238167 154

11、590· · ·牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度：当 n 为奇数数精度为 n；当 n 为偶数数精度为 n + 1。特别，I2 和 I3 代数精度都为 3。常用的牛顿 -柯特斯求积公式是梯形公式I1，Simpson 公式 I2，柯特斯公式 I4。22/1数值微数值分析柯特斯公式余项：柯特斯求积公式的代数精度为 5， 17(6)R(f ) = (b a) f(), (a, b)193536023/1数值微数值分析§3复合求积公式由于牛顿 -柯特斯公式在 n 8 时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为提高精度可把区间分成若干子区间（通常是等

12、分），再在每个小区间上用低阶求积公式，这种方法称为复合求积法，本节只讨论复合梯形公式和复合辛普森公式。24/1数值微数值分析一、复合梯形公式设 f C2a, b，将区间 a, b 划分成 n 等分，分点 xk = a + kh, k = 0, 1, · · · , n， 步长 h = (b a)/n，在每个小区间 xk, xk+1 上采用梯形公式，25/1数值微数值分析n1bxI = a f (x)dx =k+1f (x)dxxkk=0n1h2=f (xk) + f (xk+1) + Rn(f )k=026/1数值微积分数值分析n1bxk+1I =f (x)dx

13、=f (x)dxaxkk=0n1h2=f (xk) + f (xk+1) + Rn(f )k=0复化梯形公式n1hTn =(f (xk) + f (xk+1)2k=0n1h=f (a) + 2 2f (xk) + f (b)k=126/1数值微数值分析余项Rn(f ) = I Tnn1h312f (k) , k =k=0(xk, xk+1)由于 f (x) C2a, b，且 minf (k) 0kn1n1f (k) max 1 f (k)1n0knk=0所以存在 (a, b) 使n11nf () =f (k)k=0数值微数值分析27/1 b a于是 R (f ) = 2h f (), (a,

14、b)n12当 f (x) C2a, b 时，误差是 h2 阶的，lim Tn =f (x)dxb，即复合梯形公式收an敛。28/1数值微数值分析注：f (x) Ca, b，复合梯形公式也收敛。因为n1n1babaTn =f (xk) +f (xk)2nnk=0k=1bf (x)dxa由于 Tn 中求积系数为正，故复合梯形公式，计算稳定。29/1数值微数值分析二、复合辛普森求积公式设 f C4a, b，将区间 a, b 划分成 n 等分，分点 xk = a + kh，k = 0, 1, · · · , n， 步长 h = (b a)/n，在每个小区间 xk, xk+

15、1 上采用辛普森公式，30/1数值微数值分析= xk + 1h。记 xk+1/22n1bxI =f (x)dx =k+1f (x)dxaxkk=1n1h6=记f (xk) + 4f (xk+1/2) + f (xk+1) + Rn(f )k=0n1h6Sn =f (xk) + 4f (xk+1/2) + f (xk+1)k=0n1n1h= 6 f (a) + 4f (xk+1/2) + 2f (xk) + f (b)k=0k=1称为复合辛普森公式，31/1数值微数值分析余项为R (f ) = I Snn 5n1h(4)= f( )k2880k=0b a4(4)= h f(), (a, b)28

16、80即当 f C4a, b 时，误差阶是 h4，lim Sn =f (x)dxb。即复合辛普森公式an收敛。32/1数值微数值分析注：f (x) Ca, b，复合辛普森公式也收敛。bSn f (x)dxa由于 Sn 中求积系数为正，故复合辛普森公式计算稳定。33/1数值微数值分析复合辛普森公式余项的计算：f C4a, b 时，Sn I Ch4，其中 1b(4)。C = fdxa2880 1故：|R| =|S S| 可做误差估计。2nn2n1534/1数值微数值分析例：根据函数表10xdx 的近似值。计算I =x35/1数值微数值分析kxkf (xk) = sin xkxkkxkf (xk) =

17、 sin xkxk0123400.1250.250.3750.51.0000000.9973980.9896160.9767270.958851sin 56780.6250.750.87510.9361560.9088520.8771930.841471解：（1）由复合梯形公式7116kI f (0) + f (1) + 2f (8 )=k=10.945691（2）由复合辛普森公式34 1 k2k1I 24f (0) + f (1) + 2f (4 ) + 4f ()8k=1k=1= 0.946083.与准确值 I = 0.946083 相比，复化Simpson 公式精度较高。36/1数值微数

18、值分析为了利用余项公式，要求 f (x) 的高阶导数。sin x xcos1f (x) =所以=(xt)dt0dk dxkcos(xt)dt1(k)f(x) =0()cos1kk=txt +dt0211于是，(k)k。|f(x)| t dt =0k+137/1数值微数值分析复合梯形公式误差|R (f )| = |I T | max |f (x)|2h8812( )2 1 11= 0.00043412 8338/1数值微积分数值分析复合梯形公式误差|R (f )| = |I T | max |f (x)|h28812( )2111= 0.0004341283复合辛普森公式误差|R4(f )| =

19、 |I S4|( )4 111= 0.271 × 10628804538/1数值微数值分析1例：计算 I =e dxx，若用复合梯形求0积公式，问区间 0, 1 应分多少等份才能1使误差不超过 ×10 ，若用复合辛普森52求积公式，要达到同样精度，区间 0, 1应分多少等份？39/1数值微积分数值分析1x例：计算 I =，若用复合梯形求e dx0积公式，问区间 0, 1 应分多少等份才能使误差不超过 × 105，若用复合辛普森12求积公式，要达到同样精度，区间 0, 1应分多少等份？解：复合梯形求积公式余项( )2 111 215|R(f )| =h |f ()|

20、 e ×101212n239/1数值微数值分析e即 n2 × 105，开方得 n 212.85。区6间 0, 1 应分 213 等份。复合辛普森公式余项，( )4 111 4(4)|R(f )| =h |f()| e 28802880n12× 10540/1数值微数值分析得 n 3.707，即 n = 4。此时区间 0, 1应分 8 等份。同样精度，复合辛普森公式需要 9 个函数值，复合梯形公式则需要 214 个函数值。41/1数值微数值分析§4高斯求积公式一、一般理论nb求积公式A f (x ) 含有f (x)dx kkak=02n + 2 待定参数

21、xk, Ak，(k = 0, 1, · · · , n)。适当选择这些参数使其具有 2n + 1 次代数精度。这类求积公式称为高斯公式。xk(k = 0, 1, · · · , n) 是高斯点。42/1数值微数值分析事实上，取 n + 1 个点xk(k = 0, 1, · · · , n)，代数精度不可能达到2n + 2。令f (x) = (x x0)2(x x1)2 · · · (x xn)2，则nbAkf (xk) = 0。f (x)dx > 0,ak=043/1数

22、值微数值分析定理： 插值型求积公式nbAkf (xk)，其节点f (x)dx ak=0xk(k = 0, 1, · · · , n) 是高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式n(x xk) 与任意次数不超过 n(x) =k=0的多项式 P (x) 均正交：bP (x)(x)dx = 0。a44/1数值微数值分析二、高斯勒让德公式n1Akf (xk) 区间为 1, 11 f (x)dx =k=0上的勒让德正交多项式 Pn+1(x) 的零点就是其高斯点。余项：nbR =f (x)dx Akf (xk) =ak=0f (2n+2)()b2 (x)dx(2n+2)!

23、a数值微数值分析45/1证：作 Hermite 插值 H(x)，H(xi) = f (xi), H(xi) = f (xi)。由于高斯公式具 2n + 1 代数精确度，即有nnbAkf (xk)。H(x)dx =AkH(xk) =ak=0k=046/1数值微数值分析故有nbR =f (x)dx Akf (xk)ak=0bb=f (x)dx H(x)dxaaf (2n+2)()b2=(2n + 2)!(x)dxa在利用中值定理，即可得证。47/1数值微数值分析三、带权的求积公式bn(x)f (x)dx Akf (xk)ak=0其中 Ak是不依赖于 f (x) 的常数。48/1数值微数值分析三、带

24、权的求积公式bn(x)f (x)dx Akf (xk)ak=0其中 Ak是不依赖于 f (x) 的常数。定义（代数精确度）对上述求积公式，若 f (x) 为任意一个次数不高于 m 的代数多项式时，式中等号成立；而对 f (x) 是 m + 1 次多项式时不全精确成立，则称该求积公式有 m 次代数精确度。48/1数值微数值分析定理： 带权求积公式nbAkf (xk)，其节点(x)f (x)dx ak=0xk(k = 0, 1, · · · , n) 是高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式n(x xk) 与任意次数不超过 n(x) =k=0的多项式 P (x)

25、 均带权正交：b(x)P (x)(x)dx = 0。a49/1数值微数值分析例：构造下列形式的高斯公式： 11xf (x)dx Akf (xk) =0k=0A0f (x0) + A1f (x1)50/1数值微数值分析例：构造下列形式的高斯公式： 11xf (x)dx Akf (xk) =0k=0A0f (x0) + A1f (x1)解：作为高斯公式，代数精度为 3。x0, x1 是高斯点。令(x) = (x x0)(x x1) = x2 ax + b。故50/1数值微数值分析1x(x)dx = 001xx(x)dx = 00解得 a = 5 , b = 10。因此，219x0 = 0.8211

26、62, x1 = 0.289949高斯公式是1xf (x)dx0 0.389111f (0.821162)+0.277556f (0.289949)51/1数值微数值分析§5数值微分一、中点方法与误差分析均差近似导数f(a+h)f(a)f (a) f (a) f (a) hf(a)f(ah)hf(a+h)f(ah)2h52/1数值微数值分析中点公式当 h 很小时，因 f (a + h) 和f (a h) 很接近，直接相减，有效数字严重损失。因此从舍人误差来看步长不宜太小。53/1数值微积分数值分析中点公式当 h 很小时，因 f (a + h) 和f (a h) 很接近，直接相减，有效数字严重损失。因此从舍人误差来看步长不宜太小。例：f (x) = x，在 x = 2 处一阶导数2+h2hG(h) =2h设取 4 位数字计算，见下表。准确值 f (2) = 0.353553。53/1数值微数值分析h = 0.1 逼近效果最好。如果进一步缩小步长，误差反而增大。54/1数值微数值分析hG(h)hG(h)hG(h)10.50.10.36600.35640.35350.050.010.0050.35300.35000.35000.0010.00050.00010.35000.30000.3000二、插值型的求导公式若已知函数 f (x) 在 a, b 内 n + 1 个节点