1997年全国初中数学联赛试题及解答_第1页
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1、1997 年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1.下述四个命题(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是 1;(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;(3) a2 的平方根是± a ;(4)大于直角的角一定是钝角.其中错误的命题有()(A)1 个(B)2 个;(C)3 个;(D)4 个.2.已知43 +2< x <45 -3,那么满足上述不等式的整数 x 的个数是()(A)4;(B)5;(C)6;(D)7.3.若实数 a, b, c 满足 a 2 + b2 + c2 = 9 ,代数式(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 的最大值是()(A)27

2、(B)18;(C)15;(D)12.4.给定平面上n 个点,已知 1,2,4,8,16,32 都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是()(A)4;(B)5;(C)6;(D)7.5.在梯形 ABCD 中, AD = DC , ÐB = 300 , ÐC = 600 ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA的中点,已知 BC=7,MN=3,则 EF 之值为()(A)4(B) 4 12(C)5;(D)6.6. 如图, 已知 ÐA = ÐB , AA1 , PP1 , BB1 均垂直于 A1B1 ,AA1 = 17 ,()PP1 = 16 ,

3、BB1 = 20 ,A1B1 = 12 ,则 AP+PB 等于（A）12；（B）13；（C）14；（D）15.二、填空题1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为 1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .2.当a 取遍0到5 的所有实数值时,满足3b = a(3a - 8) 的整数b 的个数是 .a23.若a , b 满足3+ 5 b = 7 ,则S = 2- 3 b 的取值范围是 .4.若正整数 x, y 满足 x2 + y 2 = 1997 ,则 x + y 等于 .第二试一. 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点, PE 垂直 AC 于点 F, PF 垂直 BC 于点 F, PG 垂直EF 于点 G, 延长 GP 并在其延长线上取一点 D, 使得PD=PC,试证: BCBD ,且 BC=BD.二. 已知a,b 为整数,且a > b ,方程3x2 + 3(a + b)x + 4ab = 0的两个根a, b 满足关系式a (a + 1) + b (b + 1) = (a + 1)(b + 1)试求所有的整数点对( a,b ).三.已知定理:“ 若三个大于 3 的质数, a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c , 则a + b + c 是整数n 的倍数”.试问:上

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