必修四三角函数的图象与性质讲义

1、1.4 1.5三角函数的图象与性质、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象列表、描点、连线可得正弦函数图象；2正弦函数自变量一般采用弧度制。、余弦函数的图象三、正、余弦函数的性质h(x) = cosxf(x) = sinxh(x) = cosx定义域RR值域-1, 1当 x= 2k + 一时，f(x)max = 1 2当 x = 2k时，f(x)min =- 121, 1当 x = 2k 时，f(x)max = 1当 x = 2k + 时，f(x)min = 1单调区间2 k, 2 k + 单增2 232 k +, 2 k + 单减2 22 k , 2 k +单减2 k +, 2 k +

2、 2 单增对称轴x = k + 2x = k对称中心(k , 0)(k +，0)2周期性si n(2 k+)= sincos(2 k +)= cos最小正周期为 2奇偶性si n( ) = sin奇函数cos( ) = cos例1 :求以下函数的定义域。1f(x) = sin x f(x) = cosx 彳变式练习1:求以下函数的定义域1f(x) = lg(sinx) f(x) = 2cosx 7cosx 33f(x) = . 2sin2sin x 1变式练习2:A:-或-33【解析】A1cos x=,且2或-3x 0 , 2，那么角x等于变式练习3:2A:0,-3【解析】C2B:-3当x 时

3、0 ,4B: 3例2:以下函数图象相同的是A : y= sin x 与 y= sin(x +C: y = sin x 与 y= sin( x) 【解析】B变式练习1:A : 0 B: 1y= 1 + sin x,C: 2，满足x 0,D : 3解析 B变式练习2:sin( x) 2230,1的x的取值范围是24 门】U, 23y = cos x 与 y = sin( x)2D: y= sin(2+ x)与 y= sin x的图象与直线y=2交点的个数是函数 y= sin( x), x 0,21 丿1bc 1L/A JoAo、卜2k X-1AR【解析】B的简图是变式练习3: 函数y= 2sin

4、x与函数y = x图象的交点个。【解析】在同一坐标系中作出函数y= 2sin x与y= x的图象可见有3交点。3个变式练习4: 假设函数y = 2cos x0 x2五、函数y = sin( x + )的图象与性质一由y = sinx的图象通过变换法作y = Asin( x+ )的图象1、先平移后伸缩：y= sinx0时向左，(0时向右)平移|个单位得到y= sin (x +)11时缩短(01伸长)到原来的 丄倍得到y= si n( x +)2、先伸缩后平移:y = si nx1时缩短01伸长到原来的丄倍得到y = sin x0时向左，0时向右平移个单位得到y= si n (x +一)A 1时伸

5、长0A 1缩短到原来的A倍得到y = Asi n(x +)A 1时伸长0 A 1缩短到原来的A倍得到y = Asi n(x +)例5:把函数y = sin2x + 的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短81到原来的丄，那么所得图象的函数解析式为21C: y= sin4xD: y = sin2x23A : y= sin(4x +) B: y = sin(4x +)8 8【解析】：D变式练习1 :将函数y= sinx +的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不4变，所得图象的函数解析式是A : y= cos2x【解析】：选D1D: y = sin( x +)241B: y =

6、sin(2x +) C: y = sin(x+)4 28变式练习2:函数fx = sin x + -0的最小正周期为，那么函数fx的图象可以由函数y = sin2x的图象A :向左平移6个单位长度B:向右平移一个单位长度6C:向左平移 一个单位长度3【解析】选AD:向右平移一个单位长度3变式练习3:要得到函数y= 2cos2x的图象，只要将函数 y= 2cos2x的图象6A :向左平行移动一个单位长度B :向右平行移动个单位长度6 6C:向左平行移动个单位长度 D:向右平行移动个单位长度12 12【解析】选D变式练习4:要得到函数y = sin2x -的图象，只需将函数y= cos2x 的图象

7、5A :向左平移个单位长度B :向左平移个单位长度6 12C.向右平移5个单位长度12D:向右平移个单位长度3【解析】选C.由于 y = cos(2x n ) = cos2x= sin.故只需将函数y= cos(2x n )的图象向右平移 罕个单位长度得到函数的图象五、有关函数y= Asin( x + )的性质1、定义域为R2、值域为A , A3、最小正周期4、当 =k 时，函数y = Asin( x+)为奇函数；当=k + 函数是偶函数。25、对于函数 y= Asin( x +)(A 0, 0)的单调区间，把 x+看成整体2k一 w2x +w 2k +2k+ w2x +w 2k +6、函数y

8、= Asi n(x +)的对称轴k ，解出x求得。，解出x的范围为函数的单调递增区间23 T，解出x的范围为函数的单调递减区间=k + 2，解出x求得；对称中心x+例6:指出函数y= 3sin(2x )的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对3称中心。变式练习1:函数f(x) = 3sin(x +)在以下区间内递减的是61122，-B: 0, - C:-,-22331D: 2【解析】：令2k n+ + 2k,k Z 可得 2kn+s 0, 0,v 的局部图象如下列图，那么函数2f(x)的解析式为A : f(x) = 2sin(x ) B : f(x) = 2sin(2x )63C:

9、f(x) = 2sin(x +) D : f(x) = 2sin(2x )12 6【解析】：B变式练习1:cos4，且5)，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2，那么气)的值为A :B : 一10 10C:7 21072D:10【解析】：B变式练习2:函数f(x) = sin(的局部图象如图，那么【解析】：-6变式练习3:函数f(x) = sin(示，那么f(4)=变式练习4:函数f(x) = sin( x +),f(x) = sin( x+)0的。1/,(/o !1/1 0的图象如右图如I v -丨的局部图2象如下列图，那么A :一 1 + 4kB: 3+ 8kC: 一 1 + 4k,D

10、:一 3 + 8k,丨，k Z 丨，k Zk Zk Zf(x)的单调递增区间为,1 + 4k,1 + 8k1+ 4k，1 + 8k，7Tf f x= sin f 3x+ $，【:1 $1 v的局部图象，可得12刃=3-1 = 2,求得 3=T,再根据五点法作图可得7T7Tjrn令 2k n-24 x +4 0, |一，假设函数y = f(x)的图2象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，且直线x = 是函数y = f(x)图象的一条对称2 6轴.1求3假设的值；f 2求y = f(x)的单调递增区间;x ,-，求y= f(x)的值域。63【解析】：(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个

11、相邻交点间的距离为n厘，所以函数的周期T = n所以3=2.(2)因为直线x =石是函数y= f(x)图象的一条对称轴，所以2杀+ $JIIL=k n+ 2, k Z , $= k n+ 6, k Z.又 | $ | 所以 $= 6.所以函数的解析式是y= sinn令 2x+ 叫 k乙解得x ,k Z.所以函数的单调递增区间为,k乙l-UIgel - -I，所以2x +6.所以sin捉 |I -bl因为x即函数的值域为变式练习2:设函数f(x) = sin(2x + v v 0它的一条对称轴是直线x =。851求；2求函数f(x)的单调递减区间；3求函数的对称中心；4当x -,8 8函数f(x

12、)的取值范围。【解析】(1)函数的一条对称轴是直线x =JInn8 , 2 Xg + 0= kn +壬,k Z,因为-n $ 0,所以0= .(2)由知, f(x) = sin(2* 一石),；3TI卜 2k nW 2x37T J1TW 42+ 2kn, k Z,即f(x)的单调递减区间为(k gn+ k nW x + k n, k Z,所以函数Z).1变式练习3:设函数f(x) = tan( x )。231求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；2求不等式一1W f(x) W . 3的解集。【解】：由;-异；+kn (k Z),得x=：+2knf(x)的定义域是技F只|2丁+咖,ET.!T

13、3=，二周期 T = = 2 n.科 上 n n网5n由p+kn 逗一不 V y+kn (k Z),得予+2kn x - , x 0,22 的解集为A: 3,44TB:6,556 C: 6,5D: 2, 56【解析】：B3、函数f(x) = tan(x )与函数g(x) = sin( 2x)的最小正周期相同，那么 等于44A : 1B :1C: 2D : 2【解析】:A4、函数y sinX 一 ，X4R图象的一条对称轴是A :直线x 0B:直线xC :直线x245D :直线x 4【解析】:D5、 把函数y= sinx的图象经过变换可得到函数y= cosx的图象，这个变换是A :向右平移一个单位

14、B :向左平移个单位2 2C:向右平移个单位D:向左平移个单位【解析】：B6、 将函数f(x) = sin(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再3将所得图象上的所有点向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式是31 1 1A: y= sin x B : y= sin(x ) C: y= sin( x ) D: y= sin(2x )2 2 2 2 6 6【解析】：C7、 把函数y= sin(2x +)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象对应的函数是44A :奇函数B :偶函数C:既是奇函数又是偶函数D :非奇非偶函数【解析】：D8、以下函数中，图象的一局部是右图的是A :

15、 y= sin(x +) B: y = sin(2x )6 6C: y = cos(4x ) D : y= cos(2x )3 6【解析】：D9、 假设x0,2，函数yJsin xQ cosx的定义域是 【解析】：x ,211、函数ytan x 的单调区间是其中k10、如果直线ym与函数y sinx,x 0,2有且只有一个交点，贝Um。【解析】：土 15 5C：2k , 2kD:2k , 2k6 6 6 6【解析】：B12、函数 f(x) = Acos( x +)A 0, 0的部分图象如下列图，那么 f(1) + f(2) + f(3) + f(2022) + f(2022)的值为A: 2+2

16、 B :2 C: 2 + 2 2 D : 0【解析】：f(x) = Acos( x +), f(x) = 2sin x 【不4能代(0,0)】，/ f(1) + f(2) + f(3) + + f(8) = 0,故 f(1) + f(2) + f(3) + + f(2022) + f(2022)=f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2sin + 2sin + 2si+ 2si=2 + 2 2 , C4 24413、函数y sin x252 x的定义域的定义域为【解析】：5,U 0 ,14、关于x的不等式x tan - v3的解集是23【解析】：4(2 k-,2k+)k Z33,且 f(0) =3 ,15、假设函数f(x) = 2si n(x+)