必修四三角函数的图象与性质总结

1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第23讲三角函数的图象与性质1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=s inx-5-322 T* 4一 . I-10223-2 一/ _2 5f - Jy4y=ta nx |y=cotx1f IifiI4-3o3x -o32 X-2f/2/ -2 22f f 1f11i11ihJL三角函数的单调区间:2.sin x的递增区间是2k2，2k(kZ),递减区间是2k2，2k32(kZ)cosx的递增区间是2k,2k(kZ),递减区间是2k,2k(kZ),ta nx的递增区间是(kZ),3.函数 y Asin( xB 其中A 0,0)最大值是A B ,最小值

2、是B A,周期是T，频率是f厂相位是x ,-k Z，但凡该图象与直线 y B的的图象一般有两个途径，只有区别开这但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变初相是；其图象的对称轴是直线x k交点都是该图象的对称中心。4. 由y= sin x的图象变换出 y= sin x +两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩,形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量起多大变化，而不是“角 变化多少。途径一：先平移变换再周期变换伸缩变换I个单位，再将图象上各点先将y= sin x的图象向左0或向右 v 0=平移I的横坐标变为原来的 1倍30，便得y = sin x+的

3、图象。途径二：先周期变换伸缩变换再平移变换。先将y = sin x的图象上各点的横坐标变为原来的1倍s 0，再沿x轴向左 0或向右v 0=平移1一1个单位，便得y = sin sx+的图象。5. 由y= Asin sx+的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asinsx+ 的题型，有时从寻找“五点中的第一零点一 ，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6.对称轴与对称中心：ysin x的对称轴为x k2，对称中心为k ,0 k Z ；ycosx的对称轴为x k，对称中心为k2 ,0;对于 y Asin( x)和yAcos x 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7

4、 .求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为根本三角函数的标准式，要特别注意 A 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；&求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ y Asin x 、y Acos x 的形式，在利用周期公 式，另外还有图像法和定义法。9.五点法作y=Asin sx+丨的简图：五点取法是设X=sx+ ，由x取0、上、n 包、2n来求相应的x值及对应的y值,2 2再描点作图。四.典例解析题型1三角函数的图象解析：因为函数y= xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称， 所以排除A、C,当x 解析：由奇偶性定义可知函数1例3 .试述如何由y=_s

5、in32x+上丨的图象得到y=sin x的图象。30，一时，y = xcosx V 0。答案为 Do2y=x+sin| x|，x n, n为非奇非偶函数。选项A D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2:三角函数图象的变换1y sin x3纵坐标扩大到原来的3 倍横坐标不变y sin x解析：y=sin 2x+ n33横坐标扩大为原来的2咅1/ n纵坐标不变y 3曲 3图象向右平移n个单位3纵坐标不变另法答案：1先将y=lsin2x+ n的图象向右平移 上个单位，得y=- sin

6、2 x的图象；33632再将y=sin2 x上各点的横坐标扩大为原来的2倍纵坐标不变，得y= sinx33的图象；3再将y=lsin x图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍横坐标不变，即可得到3y=sin x的图象。例4.把曲线ycosx+2y仁0先沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴向下平移1个单2位，得到的曲线方程是A. 1 ysin x+2y 3=0C. y+1sin x+2y+1=0解析：将原方程整理为：y=2B. y 1sin x+2y 3=0D. (y+1)sin x+2y+1=01，因为要将原曲线向右、向下分别移动cosx个单2位和1个单位，因此可得y=1 1为所求方程.整理得y+1s

7、inx+2y+仁0.2 cos(x )点评：此题考查了曲线平移的根本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：y+1cosx +2y+1 1=0，即得C选项。2题型3:三角函数图象的应用例5电流I与时间t的关系式为IAsin( t )。1右图是 IAsin( t )3 0, | |2在一个周期内的图象，根据图中数据求I Asin( t )的解析式；12如果t在任意一段秒的时间内，电流I Asin(150都能取得最大值和最小值，那么3的最小正整数值是多少？解析：本小题主要考查三角函数的图象与性质等根底知识，1-900)-3000 180考查运算能力和逻辑推理能力.1由图可知

8、A= 300。、 1 1设 t 1=, t2=-,9001801 11那么周期 T= 2t2 11= 2+=180 900752 -3= 150 n。T1又当t = 时，180I = 0,即卩 sin 150n1+180=0,故所求的解析式为300sin(150 t2依题意，周期Tw1 2，即21503 N ,6)。w 丄，301503?300 n 942,故最小正整数3= 943。点评：此题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。例 6. 1函数 fX=Asin 3x+ A0, 3 0, x R在一个周期内的图象如下列图，求直线y= . 3与函数fx

9、图象的所有交点的坐标。图解析：根据图象得A=2, T=72n一 一 =4 n ,21 r X、二 3 =，二 y=2sin +，2 2又由图象可得相位移为一-1.即 y=2sin x+ 。4241根据条件3 =2sin x21 2=2k n+ (k Z)或 x =2k n + n43243k Z，Ttk 乙。x=4k n + k Z或 x=4k n6所有交点坐标为4kn+, 3或4k n + , 3 k Z。6 6点评：此题主要考查三角函数的根本知识，考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力。2在0, 2n内，使sinx cosx成立的x取值范围为r5A.一，un ,B.一,n42445 、r

10、、 r 53 、C.一,D.，nU,44442解析：C;5解法一：作出在0,2 n丨区间上正弦和余弦函数的图象， 解出两交点的横坐标 一和 44由图1可得C答案。b1月/嫁f 1 1 b匹迥t / /o图1图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选Co 如图2 题型4:三角函数的定义域、值域例7. 1fX的定义域为0, 1,求fcosx的定义域;2求函数y=lgsin cosx的定义域；分析：求函数的定义域：1要使Ow cosxw 1,2要使sin cosx0,这里的cosx 以它的值充当角。解析：10W cosxv 12k n n w xW2kn +n，且 x M2

11、k n k Z。2 2所求函数的定义域为 X | x 2kn上，2k n +上且x2 k n, k Z。2 22由 sin cosx 0 2k nV cosxv 2kn +n k Z。又T 1 w cosxw 1 , Ov cosxw 1。故所求定义域为x | x 2k n上，2k n +上，k Z。2 2点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角 函数线。例&函数性，并求其值域。x=6cos4x 5cos2x 1，求 fcos2xX的定义域，判断它的奇偶解析：由cos2xM0得2x丰kn + ，解得2kXM24k乙所以fx的定义域为x| x R且 xm -2

12、因为f X的定义域关于原点对称,所以又当一Xf X426cos ( x) 5cos ( x)cos( 2x)是偶函数。k z24时,46cosX 5cos2x 1=fcos2xX。r、 6cos4 x 5cos2 f x=cos2xx 1 (2cos2 x1)(3cos2x 1) 3cos2x1。cos2x1 1所以f X的值域为y| 1w y 或 解：1 y= sin sin 。2 43234故由2k n上W空n2 kn +上。23423k n 3n x 3 kn+ 9n k 乙，为单调减区间；8 8n 2x n3 n由 2kn + 一2 k n+ 。23423kn +匹 x3k冗+空k 乙

13、，为单调增区间。8 8递减区间为3k n 3n , 3kn+ 9n ,8 8递增区间为3kn+ 9n821n,3k n + 竺:k Z。82y= |sinx+ n4的图象的增区间为:kn + n , kn+ 3nL 减区间为k44kn+ n 。4A. 2k n ,2k nkz223、B. 2kn + , 2k n + k Z2 2C. : 2k n n , 2kn k 乙D. : 2k n , 2kn + n : k Z解析：A;函数y=2x为增函数，因此求函数 y=2sin x的单调增区间即求函数 y=sinx的单 调增区间。题型6:三角函数的奇偶性例11.判断下面函数的奇偶性：fx=lgs

14、in x+ . 1 sin2 x。分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看fX与f- x的关系。解析：定义域为 R,又f X+f x=lg1=0 ,即 f一 x=fx， fx为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。例12.关于x的函数fx=sinx+ 有以下命题： 对任意的，f x都是非奇非偶函数； 不存在 ，使fX既是奇函数，又是偶函数； 存在，使f X是奇函数； 对任意的，f X都不是偶函数。其中一个假命题的序号是 .因为当 =时，该命题的结论不成立。答案：，kn k Z；或者，+kn k Z；或者，+kn k Z2 2=2kn ,k Z2解析

15、：当=2k n ,k Z 时，fX=sin x 是奇函数。当=2 k+1n ,k Z 时 f X=sin x 仍是奇函数。当 =2kn + , k Z 时，fX=cosx，或当2时，fx= cosx, f X都是偶函数所以和都是正确的。无论为何值都不能使fX恒等于零。所以f X不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评：此题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否那么不给分，此题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。题型7：三角函数的周期性6 6例13.求函数y=sin x+cos x的最小正周期，并求 x为何值时，y有最大值。分析：将原函数化成 y=Asin 3

16、x+ +B的形式，即可求解。解析：y=sin 6x+cos6x= sin 2x+cos2x sin 4x sin 2xcos2x+cos4x例 14.设 f (x) asin x bcos x(0)的周期T，最大值f ( ) 4,12223=1 3sin xcos x=1 sin2352x=- cos4x+-。48 8 T=上。2当 cos4x=1，即 x= k 乙时，ymax=1。24 si n(2-)4 si n(21求 、a、b的值;2假设、 为方程f (x)0的两根,、终边不共线，求 tan()的值。解析:(1) f (x)a2b2 sin( x),T2 ,又f (x)的最大值。.2

17、asi nbcosf()4 ,4a2b2，且4，121212由、解出a=2 ,b=3.(2)f (x)2sin 2x 2 3 cos2x4 si n(2x-),3f()f()0 ,2k322k 23即k(、 共线，故舍去)， 或tan()tan(k-) -3(k Z)。点评：周期性。方程组的思想是解题时常用的根本思想方法;题型&三角函数的最值在解题时不要忘记三角函数的例15.设M和m分别表示函数y=-cosx 1的最大值和最小值，那么3M+m等于A.B.4C.3D.2解析：D；因为函数g x=cosx的最大值、最小值分别为1 和一1。所以 y=cosx 13的最大值、最小值为-和-。因此M+m= 2。例16.函数ysinx cosx的最大值是C.12D12解析：B; y2 sin x cosx2. 2 sin(x -)43 3五.思维总结在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象,1 .数形结合是数学中重要的思想方法， 很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。2 .作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。3. 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可 根据周期性作出整