线性代数：3线性方程组

1、11112211211222221122 (1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb .为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组120,.(1)().mbbb当时 称齐次线性方程组当时 称齐次线性方程组或方程组的对应齐次方程组 导出组或方程组的对应齐次方程组 导出组12121122,(1),(1), ,(1).nnnnc ccx xxxc xcxc若存在数替换若存在数替换后 使中每个方程都成为恒等式 称后 使中每个方程都成为恒等式 称为线性方程组的一个解为线性方程组的一个解, 0AXBAX矩阵表示 ：对应齐次矩阵表示 ：对应齐次11121121222212;n

2、nmmmmnaaabaaabABbaaa 其中：其中：分别为系数矩阵、常数列；分别为系数矩阵、常数列； 11121121222212nnmmmmnaaabaaabAA Bbaaa 增广矩阵增广矩阵122nnxxx1 1向量表示 ：向量表示 ：1122 0nnxxx对应齐次对应齐次12,(),n 方程组是否有解问题 变为向量 列矩阵方程组是否有解问题 变为向量 列矩阵是否能用表示 表示是否唯一；是否能用表示 表示是否唯一；1122=;iiimmiababba 其中：系数向量常数向量其中：系数向量常数向量1212,0nnx xx 对应齐次方程组是否有非零解问题 变为是对应齐次方程组是否有非零解问题

3、 变为是否存在数使组合为否存在数使组合为在平面：在平面： 1 2 11 22 1122 1 2 3 31122 3 11223 +=0 即即在空间：在空间：1 2 3 1122=+ 123=+ 11112223=()()+ 411223344,0kkkk 类似记有类似记有2022-3-18）（naaa,21ia ，cba,行向量行向量），（naaa,21 列向量列向量mbbb21 1122iiinnia xa xa xb300 280 320 某季度产量某季度产量（， ， ）（， ， ）从从原原点点指指向向坐坐标标点点的的向向量量. .12(,)iiiniaaab12jjjmjaaa 2022

4、-3-188(0,0,0)O ),(21naaa ) 1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (21neee),(2121212222111211nmmnmmnnaaaaaaaaaA 2022-3-189），（），（），（101，210，111 2; 810 34211231 2 3 （ ， ， ）（ ， ， ）（， ， ）（， ， ） ，BAX 1122nnxxx2022-3-1810）（），（），（2 , 1 , 1，132321321 123222 1 2 32 312 11 22 3 3 （， ， ） （ ， ， ） （， ， ）（ ， ， ） 321，

5、， 321， ，2022-3-1812,m，12,mk kk1122mmkkk1122 =mmkkk若若12,m 12,m 12,mk kk 12,m 12,m 12,mk kk2022-3-18O12,m 12000mO12( ,)na aa 12,ne ee1 122nna ea ea e 123(1 2 3), (2 3, 1), (1,1,2 ,， ，）， ，）,042），（ 321， ，332211 kkk123(2,4,0)(1,2,3)(2,3, 1)(1,1,2)kkk2022-32,23,32)kkkkkkkkk由由向向量量相相等等123. 321，

6、 ，1231231232 2234320kkkkkkkkk ( (存存在在) )123 1,1kkk 解得解得)3 , 2, 1 (，10112021 ），（），（ 21 ，2022-3-18142211 kk21,kk 21 ，21121223kkkk 120 21 ,1 01 ,(1, 2,0) （， ， ）（， ， ） 21 ，2211 kk21121220kkkk 1212 =1,1,.kk 解得可由表示解得可由表示2022-3-18(2)解非齐次线性方程组11221mmkkk（）（）11222mmxxx（）（）有解:无解：12,.m 可被表示可被表示.解表示式解表示式12,.m 不可

7、被线性表示不可被线性表示解唯一:12,.m 可被唯一表示可被唯一表示解不唯一:12,.m 可被表示不唯一可被表示不唯一2022-3-1812,m 12,mk kk1122mmkkkO12,m 向量组向量组12,mk kk12,m 向量组向量组12 0mkkk必须必须1. 122., neee,21，1212kkO 1,0k不全为不全为12000mOO1 122 nnk ek ek eO由由12,10,.nk kkE E 以为未知数 因系数矩阵为以为未知数 因系数矩阵为单位矩阵只有非零解单位矩阵只有非零解1122 nnxxxO做齐次方程组做齐次方程组只有零解线性无关有非零解线性相关），（），（）

8、，（021，320111321 0kkk332211 ），（），（），（），（000021320111321kkk0302202132131kkkkkkk1 0 1 1 2 2501 3 0 因因.方程组只有零解方程组只有零解123,. 线性无关线性无关2022-3-181231 51,2),2,111),4,111 3)（， ，（， ，（， ，（， ，（， ，（， ，0kkk332211 123123123123240511010230kkkkkkkkkkkk 123 20即，即，123 2,1,1 kkk 可验证是齐次方程组的解可验证是齐次方程组的解123, 故故线性相关线性相关. .20

9、22-3-182002110011101000322131kkkkkk123, 133221, 112223331()()()kkkO131122233()()()kkkkkkO123, 线性无关线性无关0321kkk133221, 2022-3-1821)2(,，21mm ，2022-3-1822) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (321eee），（），（），（310 , 0，101 , 02 , 001321 21,ee1122331 0 2,2,1 2,1,2 2,kkk例（， ， ）（，）（，）无关例（， ， ）（，）（，）无关1231 0 2 2

10、 1 2401 2 2 因因1231 0 2 ,2,1 2 ,1,2 2取（， ， ）（， ）（， ）取（， ， ）（， ）（， ）123, 线性无关线性无关112233 0 xxx即即只有零解只有零解123, 从而线性无关.从而线性无关.12,1,2,iiiniaaain （）12().TTTmAm是矩阵有 阶子式非零是矩阵有 阶子式非零0.Am线线性性相相关关的的所所有有 阶阶子子式式都都为为12 (),.()TTTmrArD 证证 设设不不为为零零子子式式最最高高阶阶为为 阶阶 且且在在左左上上角角记记为为可可适适当当调调整整编编号号、分分量量实实现现1rDr 作作含含的的阶阶子子式式1

11、rjriijDBDCa 111111rjrrrrjiirijaaaaaaaaa ,1,2,jr in T,()jrmArjr 当当时时中中除除前前 列列外外 还还有有其其余余列列 设设TTTT12rjrr 即即列列的的前前 行行再再添添上上这这 列列的的任任一一行行111,1., 0.rrrirDirDAri jD 当当时时两两行行相相同同时时是是 中中的的阶阶子子式式故故对对任任意意有有111111 , 0rrijriirrrrDDa Da Aa A 将将按按最最后后一一行行展展开开 有有1111 =/ijirirrrrraa ADa AD 或或111 j11,2, =rrrrrrAAinD

12、D 分分别别取取得得12,.m 中中有有向向量量可可由由其其它它表表示示相相关关T2,.TTmrm 1 1所所以以线线性性无无关关时时,()0mAmDm 反反之之 当当 中中有有 阶阶子子式式假假设设前前行行1122 0mmkkk 令令11121 1,rrrrin AAAi 其其中中对对任任意意不不随随 变变11112212112222112211220000mmmmmmmmmnnnmma ka kaka ka kakakakaka ka kak 12m,.mDm 恰恰为为前前个个方方程程的的系系数数行行列列式式 由由克克莱莱姆姆法法则则知知 只只有有零零解解线线性性无无关关 1 向向量量组组

13、中中向向量量的的个个数数大大于于维维推推论论数数必必相相关关. .(). 每每一一向向量量排排一一列列得得矩矩阵阵行行数数为为向向量量维维数数. .子子式式阶阶数数不不会会超超过过行行数数向向量量个个数数() 子子式式阶阶数数列列向向量量个个数数 ,2 齐齐次次线线性性方方程程组组中中 未未知知数数个个数数大大于于方方程程个个数数必必有有推推论论非非零零解解. .2(=)111 111(3)111D 向量个数 向量维数向量个数 向量维数123, ，11 , 111121），（），（ ），（11 , 13 时，或当30, 0D时，与当30, 0D123, 212 nn, 3 0.nTTTm 1

14、1推推论论个个 维维向向量量组组线线性性无无关关行行列列式式 n()0.D 元元齐齐次次方方程程组组 方方程程个个数数= =未未知知数数个个数数有有非非零零解解系系数数行行列列式式推推论论4 412,r 若若线线性性无无关关12,r r ,，21，1122 0rrkkkk 设设12,0rk kk kk 不不全全为为零零11,rriiiiiiml 1212rrkkkkkk 1 (),1,2,riiiiiiOmlml ir 则则(1)0,1,2,3,4ii 全部线性无关；全部线性无关；121314233444(2);,; 2; 对应分量对应分量不成比例 线性无关线性相关不成比例 线性无关线性相关1

15、23124134234(3); 三个向量的向量组全部线性相关；三个向量的向量组全部线性相关；1234(4) 线线性性相相关关（部部分分相相关关全全体体相相关关) ). .12341 0 0 ,0 2 0 ,1 2 0 ,0 4 0（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）（， ， ）无无关关向向量量最最多多两两个个！12121222 ,. ,.rrrmiiijiiijiiimn 1 11 1设设为为 维维向向量量组组为为其其一一个个部部分分无无关关组组 若若任任意意加加入入一一个个向向量量向向量量组组定定线线性性相相关关 则则称称向向量量组组为为义义极

16、极大大的的个个无无关关组组一一12122212 ,(1), ,.rriiikmmjriiiimji ii 1 11 1为为部部分分无无关关组组 则则其其为为向向量量组组的的极极大大无无关关组组向向量量组组中中其其余余向向量量都都可可由由向向量量组组线线性性表表示示定定理理6 61222 (1),riiimmj 1 11 1证证当当为为的的极极大大无无关关组组时时 向向量量组组中中任任意意向向量量1212,.rriiijjiii 加加入入 向向量量组组都都线线性性相相关关. .由由定定理理5 5知知可可由由向向量量组组线线性性表表示示121211221212121212(2) ,; 1,2, ,

17、 1,0,rkrrrrrjriiiiiiimjjjijijijjjiiijiiji iikrllllll 设设都都可可由由向向量量组组线线性性表表示示 显显然然可可由由线线性性表表示示. .即即中中任任意意向向量量有有或或有有不不全全为为零零数数使使向向量量组组线线性性组组合合为为 向向量量线线性性相相关关. .故故12,.rim 为为的的一一个个极极大大无无关关2022-3-18311212 :,;:,rsBABAB 定定 义义设设；若若中中 每每 个个 向向 量量 均均 可可 由由表表 示示 ， 则则 称称可可 由由表表 示示 . .112223313 :,;:,. 123123BA B

18、例例 设设；且且证证明明：ABABAB 若若 组组、 组组可可互互相相表表示示，则则称称向向量量组组 与与 等等价价，记记为为。 ) 2,) 2,) 2ABAB 与 可互相表示，故。与 可互相表示，故。证 由证 由；知；知2022-3-18321212 n,.nne ee 例 证明任何 个线性无关的向量都与例 证明任何 个线性无关的向量都与基本单位向量组等价基本单位向量组等价Ti12 (,)iiniaaa 证 设证 设Ti1211221212 (,) = ,iiniiininnnaaaa ea ea ee ee 因因因此可由线性表示；因此可由线性表示；1122 iiiinnekkk令令1111

19、21212111211201 00niiiniiiniiinnnnnaaaaaaikkkaaaaaa 即即1111221112212111211122 0 1 0 0iininiiiiininiiiniiinnininnina ka ka ka ka ka kakakaka ka ka k 或或121221,; ,.iiinnninkkke ee 1 1由克莱姆法则知:对任意方程组都存在由克莱姆法则知:对任意方程组都存在唯一解唯一解即可用线性表示即可用线性表示1212 ,.nne ee 从而与等价从而与等价12,n 线性方程组系数行列式为线性方程组系数行列式为1212 ,0nn 而线性无关 即

20、而线性无关 即1122 0ssxxx 证证 令令12127 :,:,;,stBABstA 定定理理设设；为为两两个个同同维维向向量量组组. .若若 可可由由 表表示示，且且则则 相相关关。（个个多多的的相相关关）1212 :,:, .1stABAst 推推若若可可由由表表示示且且 线线性性无无关关 则则必必有有论论,. AB由由 可可由由 表表示示 至至少少可可得得一一个个未未知知数数个个数数大大于于方方程程个个数数的的齐齐次次线线性性方方程程组组 有有非非零零解解 相相关关不能互相表示），（不等价。，但）（）（），（），（如 11101RRrRn),( 2) R, ,()mmRmm 无关（或

21、相关）无关（或相关）（）或（）或12 (,)mRr 定理定理12 (,)0,1.TTTmrrrDDr 矩矩阵阵有有一一个个 阶阶子子式式且且含含的的阶阶子子式式全全为为零零1112112122221212(,)nnnmmmmnaaaaaaAaaa 2 3110 1 53(,)0 0 00(,)(,)2AARAR 的的行行秩秩的的列列秩秩 (1)0()min,;(2) (0)0;(3) ()m nnR Am nRR En ( )0,1.rrR ArrDDr 阶阶子子式式且且含含的的阶阶定定子子式式全全为为零零理理11121122221212,nnmmmnmaaaaaaAaaa 设为 列向量设为

22、列向量121212, ( )( )( )nnnQQQQ 则初等行变换对应左乘初等矩阵 即则初等行变换对应左乘初等矩阵 即1212j1212 +ttiitijiitikkkQkkk同样同样两边左乘两边左乘121212121212 +0 +0 +0tttiitiiitiiitikkkk Qk Qk Qkkk 若若则则*0*) 1 (B阶梯形矩阵阶梯形矩阵 矩阵矩阵秩的求法:用初等行变换化为阶梯形非零行数非零行数）（标准形；标准形；行、列行、列准标准形准标准形行行阶梯形阶梯形行行BARDDBA 1 R(B) 00*1*1)2(1D准标准形准标准形000001001)3(D准标准形准标准形 矩阵;14

23、2303112041A1 4 0 21 4 0 21 4 0 211 3 005 3 20 5 3 232 410 10 4 50 02 1( )3AR A 三个非零行三个非零行33 0 2511 0 6 1 ,( );11 0 2122 0 8 0BR B 例 设求例 设求33 0 250 0 0840 0 0 0 011 0 6 10 0 0 420 0 0 0 011 0 2111 0 2111 0 2122 0 8 00 0 0 420 0 0 4 2B ( )2R B 降阶法求矩阵的秩：降阶法求矩阵的秩：2121111111111111111211112102212212122212

24、21210-0-mmnnaaannaanaammmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaa 行行变变换换1112111 2212 2111 212111212111110-0-nnnmmmnn maaaa a a aa a a aa aa aa aa a 1112111 11112212221 211 111 12121 0 0nnnnmmmmnaaaa aaaaaaaa aa aaaaa 11121111111111 1 0 0nnmmnaaabba CO Bbb ( ) 1( )RARB 1 4 0 2 11 3 0,( );32 41AR A 例求例求532( )13.1

25、045R AR两行不成比例两行不成比例33 1 2511 -2 6 1 ,( );11 0 2122 1 8 0BR B 例 设求例 设求07 16 8142 ( )101 4217 16 80 1 20 101 20 10R BRR解解12611324 12R 的相关性。），讨论（；求），（），（），（），（设 R4592,1423,315,24 123412341 5321 5324129021 101()0345034520140 10 501532153215320101010101010345004800120 1050005100000(TTTTTTTAR 1234)34,A 向向

26、量量个个数数 故故，相相关关。的一个极大无关组。）以及（；求），（），（），（），（设 R7413,6524,1111,321123412341 1431 1431121026 2()2 154013 23 167026 21 1431 1 430 1310 1 31()013 20 0 0 1026 20 0 0 0TTTTTTTTA 12341241234134()34,R A 向向量量个个数数线线性性相相关关。为为向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组。可可以以看看出出，也也是是向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组。2022-3-18 1 2 0 ,1 2 1 2 ,1 7

27、, 1 6 ,(4 2 5 6). ;, 设设（， ， ， ）（， ， ， ）（， ）， ， ， 求求的的一一个个极极大大无无关关组组若若还还有有其其余余向向量量 用用它它表表示示出出. .12341 1 1 41 1141 2 7 20 386()2 11 501330 2 6 60 2661 1 141 1 1 41 0 0 70 0130 1 3 30 1 060 1 330 0 1 30 0 1 30 0 000 0 0 00 0 0 0TTTTA 1234123()3;, 763R A 是是原原向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组，且且2022-3-18461 0AX 定理齐

28、次线性方程组存在非零解定理齐次线性方程组存在非零解( ) ()R An 未知数的个数未知数的个数2 AXB定理非齐次线性方程组有解定理非齐次线性方程组有解( )= ( ) ( =()R AR AAA B为增广矩阵为增广矩阵( )(),;R AR A Bn且方程组存在唯一解且方程组存在唯一解( )(),;R AR A Bn方程组存在无穷多解方程组存在无穷多解.系数列向量线性相关系数列向量线性相关().AA B列向量组极大无关组也是的极大无关组列向量组极大无关组也是的极大无关组 2 1111 21 322 0 412 111 131 002 3AA B 行行解解123451234123451252

29、2322 4 213 23xxxxxxxxxxxxxxxxx 例例 讨讨论论方方程程组组是是否否有有解解？1322 0 405331 605331 3010 662 9 1 322 0 41 322 0 40 533 1 60 533 1 60 0 00 0 30 0 00 0 30 0 00 0 30 0 00 0 0 行行行行( )2, ()3,.R AR A B 方方程程组组无无解解2 111 121131Aab 解解1231231231232020 ,03+0 xxxxxxa bxaxxxxbx 例例为为何何值值 方方程程组组有有非非零零解解？1 122 111131ab 行行1120

30、13013046ab 行行1 120 130 0 30 06ab 行行06, ( )3(),;abR A 当当或或时时未未知知数数个个数数 只只有有零零解解0=6, ( )23(,;abR A 当当且且时时未未知知数数个个数数) )有有非非零零解解2022-3-18491 122 13113 2 ()5 131 41 213 5AA B 解解1234123412341234221332 ?534235,?xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 讨讨论论方方程程组组是是否否有有解解有有解解时时 解解是是否否唯唯一一1 122 10479 10479 10 11 1 4 行行1 122 10 11

31、 1 40479 10 000 0 1 122 10 111 40 0115150 000 0 ( )()34,.R AR A B 方方程程组组有有无无穷穷多多解解2022-3-185022222441111 ()1101 1411 2402281241240228022801 14004328kkAA Bkkkk kkkkkkkkkkkkk 解解12321231234 ,24xxkxkxkxxkxxx 例为何值时 线性方程组有例为何值时 线性方程组有唯一解、有无穷多解、无解？唯一解、有无穷多解、无解？(1)143,;(2)4,23,;(3)1,23,kR AR AnkR AR AnkR AR

32、 A 和和 ， （ ）（ ）有有唯唯一一解解（ ）（ ）有有无无穷穷多多个个解解（ ）（ ）无无解解。121122 0,0Xc XXXAXcAX 、定定理理 若若为为的的任任意意两两个个解解 则则也也是是解解. .齐次线性方程组解的结构0,01212 0,AXXXAXAX 、是是证证 由由解解 有有 1122)0112211120, (cc Xc AXc AXc XXAXA c X 代代入入方方程程有有 0,.AX 有有非非零零解解 必必有有无无穷穷多多. .但但只只要要找找到到所所有有解解向向量量的的极极大大无无关关组组 就就可可以以全全部部表表示示出出 0.AX 解解向向量量的的任任一一极

33、极大大无无关关组组称称为为方方程程组组的的一一基基础础解解系系个个 ( ),0R ArAXnr 若若则则的的基基础础解解系系中中恰恰有有定定理理个个解解. . 证证0.AXnr 先先证证有有个个线线性性无无关关解解12112212,. (), 0, 0,00.nnnnAR ArnAxxxxxxAXnrnn 设设为为 列列向向量量 当当时时 因因 的的列列向向量量线线性性无无关关 即即时时 必必需需也也即即仅仅有有零零解解没没有有非非零零解解. .线线性性无无关关解解个个数数为为121212(),:rrrnrR ArnArrA 当当时时列列向向量量极极大大无无关关组组有有 个个向向量量不不失失一

34、一般般性性 设设前前 列列为为 列列向向量量一一个个极极大大无无关关组组. .则则可可用用线线性性表表示示11111221221122221212 rrrrrrnrn rn rn rrccccccccc 111211222212120=,=,=100.010001n rn rrrn rrn rccccccAXcccnr 是是即即个个线线性性无无关关解解12()0Tnd ddAX 再再设设为为的的任任一一解解11221 2 ()Trrnn rndddl ll 考考察察121 1220, 1rrniiririnrillllddcdcd cir 则则0.AX 由由齐齐次次方方程程组组的的性性质质知知

35、 为为的的解解1 12 21 000r rrnAlll 即即1212 ,0rrlll 由由线线性性无无关关 得得必必有有1122 0rrnn rddd 也也即即1122 =+rrnn rddd 或或120,n rAX 的的任任一一解解 都都可可以以用用表表示示12,0.n rAX 是是解解向向量量的的极极大大无无关关组组基基础础解解系系12112212 ,0. ()0.n rn rn rn rXXXAXXc Xc XcXc ccAX 设设是是一一个个基基础础解解系系 称称任任意意常常数数为为齐齐次次线线性性方方程程组组定定的的通通解解义义基基础础解解系系求求法法: :1. ().().A求求系

36、系数数矩矩阵阵 列列向向量量的的极极大大无无关关组组 用用行行变变换换 并并将将其其余余列列 如如果果有有 用用所所求求极极大大无无关关组组线线性性表表示示出出11111221221122221212 rrrrrrnrn rn rn rrccccccccc 1111221122112222121121(0)1+0000+100 0+010rrrrnrrrrnrrrnn rn rrcccccccc 移移项项 缺缺失失补补111212122212,2. nnmmmnaaaaaaAaaa选定极大无关选定极大无关组 将极大无关组 将极大无关化阶梯形化阶梯形组中向量化为组中向量化为基本单位向量基本单位向

37、量 11112122122212 (,1,0,0) (,0,1,0) (,0,0,1)TrTrTn rn rn rn rrccccccccc 得得基基础础解解系系()nr最简阶梯形写出等价方程组个自由未知量最简阶梯形写出等价方程组个自由未知量 (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1).nr 在等价方程组中令自由未知量分别取在等价方程组中令自由未知量分别取求得个线性无关解求得个线性无关解1231231230 ,020?.xxkxkxkxxxxx 例 当 为何值时 方程组有非零例 当 为何值时 方程组有非零解 有非零解时求出其全部解解 有非零解时求出其全部解11112122122212 (,1,

38、0,0) (,0,1,0) (,0,0,1)TrTrTn rn rn rn rrccccccccc 得得基基础础解解系系11 1111 2kAk 解解11011022kkkk11 010 110 0 4kkk 时时12312124,( )2, (1)3kR AAk 当时为 列向量极大无关组 且当时为 列向量极大无关组 且1,4()3,.kkR A 时时方方程程组组只只有有零零解解123123 30 (30)移项或移项或(3-2=1) =(3, 1,1) (3,1, 1) )TT 基础解系个解或基础解系个解或 =c (3, 1,1) ,TXc 方程组通解任意常数.方程组通解任意常数.1 111,

39、0 0002 3kA 当时当时1 0 1/20 13/20 00123121231,( )2,1313 02222kR AA 当时为 列向量极大无关组 且当时为 列向量极大无关组 且或或1 3=(,1) ,.2 2TXcc基础解系通解任意常数基础解系通解任意常数123412341234 3 20 2 8 70.456110 xxxxxxxxxxxx 例 求的通解例 求的通解1 31 2 21 874 56 11A 解解1 31 207 10 307 10 3 23231 0771030 1770 00012( )2,R AA 为 列向量一个极大无关组 且为 列向量一个极大无关组 且312412

40、2310233, 777712341234231023300,0077771223 1023 3(,1,0) ,(,0,1)7777TT 基础解系基础解系112212 , ,.Xccc c通解任意常数通解任意常数方方法法二二1 31 221 874 56 11A 1 31 207 10 307 10 3 23231 0771030 1770 000( )24,.R A 方程有无穷多解方程有无穷多解1342342323+077 103077xxxxxx 同解方程组：同解方程组：34342323103 707707 ,xxXxx或或任意常数.任意常数.134342342323=,77 ,10377

41、xxxxxxxx 解得通解解得通解任意任意3434=1,=00,1xxxx或取或取和和得基础解系得基础解系2022-3-186112341234123412345 02 30 83 09 370 xxxxxxxxxxxxxxxx 例 解齐次方程组例 解齐次方程组5111321012113720128311000091370000A 1241343 207 220 xxxxxx 即即1414 1,0 0,1xxxx分别令和分别令和得基础解系得基础解系1210-3 2-1X,X7/2-2011210-3 2-17/2-201Xcc通解通解14142,01,0 xxxx 取取比比取取好好2022-3

42、-18625 1115 1113 2 1 0 121137 0247 2 0 1 28 31 17 0 2400 0 0913714 04800 0 0A 方方法法二二：2342337222 1 1系系数数列列向向量量关关系系：234123437-+0022020 1 112103 21X,X7 2201 基基础础解解系系：112212XXX , cccc 通通解解：= =、任任意意常常数数12X ,X 也也是是2022-3-186332051234430512342355051234 xxxxxxxxxxxxxxx 例 求解方程组例 求解方程组1 31211 31211 0 2741 1 1

43、4302 2620 113 12 3 15503 3930 0 000A134523452743 xxxxxxxx 同同解解方方程程组组123112233274131X,X,X100010001 X=k X +k X +k Xk,1,2,3iR i 通通解解: :345,(1 0 0)(0 1 0),(0 0 1)xxx分分别别取取为为得得基基础础解解系系 ( *).R A例 求例 求(1) 0,*0AA 当当时时 因因为为 ( *)0;R A (2) ,A当当 可可逆逆时时* ( *);AR An 因因为为也也可可逆逆(3) 00,AA 当当但但= = 时时 *0AAA E 由由12* *(

44、,)nAA 将将按按列列分分块块1212 *(,)(,)nnAAAAAA 则则12 0,0,0nAAA *0.AAX 即的每一列都是的解即的每一列都是的解( )1,( *)(1)1R AnR Ann若则若则( )1,10,*0,( *)1R AnAnAR A而时至少有一个阶子式而时至少有一个阶子式即即 ( *)1R A( )2,10,*=0 ( *)=0.R AnAnAR A而时的任意阶子式为而时的任意阶子式为即即65*0.XXX非齐次线性方程组解的结构7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxB0 BA.AXB 取 用 列极大无关组表取 用 列极

45、大无关组表解解示式即可示式即可特特2022-3-1866151111 03 713 7 13 7121330 12 74 74 7381110 0000193770 0000A 13432344120112212+3 7+13 7=070,2 74 7007( 3,2,7,0) ,( 13,4,0,7) ; ,TTxxxxxxxxXXXk Xk Xkk 对对应应齐齐次次方方程程取取，得得基基础础解解系系为为对对应应齐齐次次方方程程通通解解为为为为任任意意实实数数。13432344*1213 73 713 704 72 74 70134(,0,0) . 7713 7-3-13-4 724 .07

46、0007TxxxxxxxxXXkk 非非齐齐次次方方程程取取得得特特解解方方程程组组通通解解为为4B 直接用得特解更快直接用得特解更快2022-3-18151111 03 713 7 13 7121330 12 74 74 7381110 0000193770 0000A 12()()2,.,R AR AA 方方程程有有无无穷穷多多解解为为 列列的的一一个个极极大大无无关关组组 且且31241212321341340,0,777777B *123 7-13 713 72 74 74 7 ,100010XXX 对对应应非非齐齐次次齐齐次次基基础础解解解解系系*11221213 73 7-13 7

47、4 72 74 7 .010001XXk Xk Xkk 通通解解2022-3-1868123412341234124233 23343 57xxxxxxxxxxxxxxx 11 2 3 311 0 0 211 1 2 3001 01()11 3 4 3000 1 111 0 5 7000 0 0AA B 12122222334422101.110101xxxxxxXxxRxxxx 同同通通解解, ,方方解解程程12341234123412342 3 45 425 67 637 89 49103xxxxxxxxxxxxkxxxxk 21 34521 0 2442 56700 1 23()63 7

48、898 0 0 084 9 10300 0 00AA Bkkkk 8,()()2,.kR AR A 当当时时基基础础解解系系有有两两个个无无关关解解231242323,20,220,43AB 为为 列列向向量量一一个个极极大大无无关关组组 且且*01212100224 ,; 023010Xkkk kRX 齐齐非非次次齐齐通通次次解解解解*0XXX 通通解解：2022-3-187021 0 240 1 0 2 600 1 230 0 1 2 38,8 0 0 081 0 0 0 100 0 000 0 0 0 0kAkk 时时()()3,.R AR A 基基础础解解系系只只有有一一个个无无关关解

49、解123423123, 220,63AB 为为 列列向向量量组组一一个个极极大大无无关关组组 且且*10126 , 2310XX 基基础础解解系系非非齐齐次次解解*11062 +,.3201XXkXkkR 通通解解：2022-3-187121 3 4521 0 2442 5 6700 1 23()63 7 898 0 0 084 9 10300 0 00AA Bkkkk 8,()()2,.kR AR A 时时有有无无穷穷多多解解124342 24 23xxxxx 同同解解方方程程1121414344414010422422 ,32302001 ,.xxxxxXxxxxxxx xR 通通解解：2022-3-187221 0 240 1 0 2 600 1 230 0 1 2 38,8 0 0 081 0 0 0 100 0 000 0 0 0 0kAkk 时时()()3,.R AR A 方方程程组组有有无无穷穷多多解解243412623 =1xxxxx 同同解解方方程程1424443441106262 , .323201xxxXxxRxxxx 通通解解：12312312322axxxbxaxxxxaxc 1 20 122()11211121 10 112003222 11120 112abaa baAA Baaca aca bacaac 1,2,()(),.acR AR A 当当