第三章多自由度体系的振动

1、1 3.3 主振型的正交性和正则坐标 1、主振型的正交性 设结构体系具有n个自由度，对于第s和第t个固有模态，由方程:)(2)(ssSYMYK)(2)(tttYMYK0)()(2iiYMK得:TsY)(左乘TtY)(左乘)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()(tTsttTsYMYYKY2,MMKKTT转置)()(2)()(sTttsTtYMYYKY 3.3 主振型的正交性和正则坐标 ( )( )2( )( ) tTstTssYK YYM Y0)()()(212sTttsYMY两式相减22ts0)()(sTtYMY)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()

2、(tTsttTsYMYYKY( )( ) 0tTsYK Y3另一个正交关系式：0)()(sTtYKY0)()(sTtYMY振型的正交关系式（orthogonality relation）相对于质量矩阵 M来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第一正交条件 3.3 主振型的正交性和正则坐标 两个正交关系式是建立在st 基础的。相对于刚度矩阵 K来说，不同频率相应的主振型是彼此正交的。主振型第二正交条件4 Ms和Ks分别称为第s个主振型相应的广义质量 (generalized mass)和广义刚度(generalized stiffness）)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK

3、 0)()(sTtYKY对于s=t的情形，令:0)()(sTtYMY 3.3 主振型的正交性和正则坐标 每个主振型都有相应的广义质量 和广义刚度。5 sssMK2sssMK)(2)(ssSYMYKTsY)(左乘)()(2)()(sTsssTsYMYYKY)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK 3.3 主振型的正交性和正则坐标 s可以利用广义质量Ms和广义刚度Ks计算多自由度体系的第s个自由振频率 。由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。6例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三个主振型分别如下，演算正交性。100

4、010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)(2)0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYMYmm 3.3 主振型的正交性和正则坐标 7（2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT 3.3 主振型

5、的正交性和正则坐标 8 对任意一个位移向量y ，将其写成主振型的线性组合：niiinnYYYYy1)()()2(2)1(1)(MYTj将 左乘方程的两边:)()(1)(iTjniiTjYMYyMY 3.3 主振型的正交性和正则坐标 可将任一位移按主振型展开。 jjjTjjTjMYMYyMY)()()(jTjjMyMY)(由主振型的正交性：90)()(2sTtsYMY主振型正交的物理意义：1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为 ：( )2( )2( )( )( )2( )( )2( )2( )( )sin(),sin()sin() sin()0 sin() sin()0s

6、ssssssssssstTtTsssstTssstTsssyYtyYtfM yMYtYfYMYtYMYtYMYt 3.3 主振型的正交性和正则坐标 103）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。主振型正交的物理意义：2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。 3.3 主振型的正交性和正则坐标 1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表达式为 ：0)()(2sTtsYMY11 ) 1 (22, 1) 1 (YMYK2、重根时的正交性问题)(2)(ssSYMYK)2(22, 1)2(YMYK 3.3 主振型的正交性和正则坐标 )1 (Y)2(Y2, 121设频率

7、方程具有一个二重根，即两个主振型 和 对应的固有频率彼此相等，记为 ，而其他频率都彼此不同。（a）（b）( )( )aabb)()()2() 1 (22, 1)2() 1 (YbYaMYbYaK)2()1()2, 1(YbYaY是一个与频率 对应的主振型向量。2, 1120)2()1(YMYT)2()1()2, 1(YcYY取一个由 和 组成的新的主振型，即 )1 (Y)2(Y)2()1()1()1()2, 1()1(YMYcYMYYMYTTT 3.3 主振型的正交性和正则坐标 )1(Y)2(Y如果两个主振型 和 彼此不正交，即)2()1 ()1 ()1 (YMYYMYcTT(1,2) 0Y(

8、1,2)Y)1(Y 和 就是两个彼此正交的主振型。132, 1)2, 1(Y( )iY 由于 与其余 不相等，与 对应的任意一个主振型 都与其余频率的主振型 (i=3,4, ,n) 彼此正交。2, 1), 4 , 3(nii 3.3 主振型的正交性和正则坐标 在具有n个自由度的体系中，即使在频率方程中出现两重根，仍然可以选到n个主振型，使它们彼此正交。 n个自由度的体系一定有n个彼此正交的主振型。14 对于n个自由度体系，将n个彼此无关的主振型向量组成一个方阵：nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY212222111211)()2()1(3、主振型矩阵和正则坐标Y称为主振型矩阵（modal

9、matrix）。 3.3 主振型的正交性和正则坐标 15 利用主振型矩阵和主振型的正交性，可以得到:)()()2()()1()()()2()2()2()1()2()()1()2()1()1()1(nTnTnTnnTTTnTTTTYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY12*000000nMMMM 3.3 主振型的正交性和正则坐标 1612*0000 00TnKKYK YKKiK*K 为广义刚度，对角矩阵 称为广义刚度矩阵。 *M对角矩阵 称为广义质量矩阵。 3.3 主振型的正交性和正则坐标 *MnMMM,21矩阵 中的非对角元素全为零，对角线的元素就是广义质量17n 个自由

10、度体系的振动方程： ( ) ( )0My tKy t质量矩阵M和刚度矩阵K都是对角矩阵，方程组就是n个独立的方程，每个方程只有一个未知量。相当于求解n个单自由度体系的振动问题。 3.3 主振型的正交性和正则坐标 质量矩阵M和刚度矩阵K不是对角矩阵。方程是一个耦合方程。18)()(tYty设一个坐标变换： 3.3 主振型的正交性和正则坐标 Y)(ty)(t 为主振型矩阵； 为质点位移向量，称为几何坐标； 称为正则坐标(normalized coordinate)向量。 ( ) ( )0TTYMYtYK Yt ( ) ( )0My tKy tTY将坐标变换式代入振动方程，并左乘 ，得19利用广义质

11、量矩阵和广义刚度矩阵的定义，有0)()(*tKtM ), 2 , 1(0)()(nitKtMiiii 利用正则变换，可以把一个n元联立方程组简化为n个独立的一元方程，将一个具有n个自由度的结构体系的耦合振动问题简化为n个独立的单自由度体系的振动问题，计算工作大为简化。解耦条件：（1）线性结构（2）M、K具有正交性 3.3 主振型的正交性和正则坐标 201、柔度法（忽略阻尼） 因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，阻尼虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。11ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPsin)()(sin)()(2222221112

12、1122211111 （2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。 （1）建立振动微分方程tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法 3.4 两个自由度体系的强迫振动 tPsintPsiny1y221tYtytYtysin)(,sin)(22110) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm) 1() 1(22222121122211210mmmmD) 1(222221

13、22211mmDPPPPmmD22121111212) 1(022011DDYDDY解得振幅：产生的位移。位移幅值相当于静荷载时，当,D,D, 1D022110PP位移幅值很小。时，当, 0, 0,D,D,D21222140YY共振现象。不全为零时，时，或当,D, 0D2121021YYDn个自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 22（3）动内力幅值的计算tYtytYtysin)(sin)(2211tPtPsin)(tYmymtYmymsin,sin2222212111. 荷载、位移、惯性力同

14、频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：由Y1 ，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：22221211,YmIYmI代入位移幅值方程0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）0)1(0)1(222222121121212111PPImIIIm 1 122maxPM tM IM IM23P1=1163lP2=1163l例：图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)

15、求柔度系数EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIPPM1M2M2)作MP图，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,25633231tPsinl/4l/4l/2mm24P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEI163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(222221

16、21122211210mmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(EIPlmmDPP32212111121200911. 0) 1(EIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211求惯性力：5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180P

17、lMd 图PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 0222212126)比较动力系数1212112211222560.02522.15037680.02242.4587160.35301.8833160.21803.4881YstYstdMstdMstYyYyMMMM 因此，多自由度体系没有统一的动力系数。252、刚度法y1(t)y2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳阶段,各质点也作简谐振动:tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkY1=D1/D0Y2=D2/D

18、02222211212110mkkkmkD)(222221211mkPkPD求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。 002221212221211111ykykymykykym. . .)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkD26求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEI232322

19、22211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkD33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPD332211121123224032hEIPhEIPPkPmkD311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 2)求位移幅值273)求惯性力幅值32111332222316( 0.075)1.216( 0.1)1.6EIPhImYmPmhEIEIPhImYmPmhEI 311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 0.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里边受拉）(45. 05 . 09 .

20、 0PhhPMA282222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPD例:m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 025321=-=wtPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD0212

21、22221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY292222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.

22、0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk两个质点的位移动力系数不同。当2121,618. 1618. 0YYmkmk和时和 趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。30l/3l/3l/3mmPsintPsint如图示对称结构在对称荷载作用下。21122211,kkkk与2相应的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk当=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不会趋于无穷大，不

23、发生共振，共振区只有一个。 对称体系在对称荷载作用下时，对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。振频率相等时才发生共振。 31kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1= yst2=P/k层

24、间剪力: Qst1= P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值2mY22mY12112212()(1()QPm YYmPk2222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk12121()Qmk 由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:32例：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkD

25、Ymk当m1k1tPsinm2k2这说明在图a结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。.,2222222kmYPkYm再确定选定的许可振幅先根据设计吸振器时 吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。a图33 例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psint解：1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602频率比在共振区之内应设置吸振器。2）kgsmNkmmNk

26、kPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222选弹簧系数由k2m234 多自由度体系，无阻尼强迫振动微分方程为: 3.5 多自由度体系的强迫振动 )()()(tptyKtyM )()(tYty1、无阻尼情形设正则变换: )()()(tptYKtYM )()()()()()(tpYtYKYtYMYTiTiTi TiY)(左乘第i阶模态的主振型向量的转置 :35广义质量Mi、广义刚度Ki和广义荷载Pi(t)()()()()()()()(tpYtYKYtYMYTiiTiiTi )()()()()()(tpYPYKYKYMYMTiiiTiiiTii)()()(tPtKtM

27、iiiii ( )( ) 0 ()iTjYMYij( )( ) 0 ()iTjYKYij由主振型的正交性可知: 3.5 多自由度体系的强迫振动 36 对于结构的每一个主振型，可以用上述方法求得一个独立的单自由度方程。)(1)()(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii 采用正则坐标变换将质量和刚度矩阵中有非对角项耦合的n个联立方程组转换成n个独立的正则坐标方程。 3.5 多自由度体系的强迫振动 37振型叠加法:确定结构体系动力响应： 1、求解每一个正则坐标的响应， 2、按 式叠加。 得到用原始坐标表示的响应，这种方法称为振型叠加法（modal analysis）)(1)()

28、(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii )()()(tptyKtyM )()(tYty 3.5 多自由度体系的强迫振动 380(0)1( )(0)cossin( )sin()tiiiitiiiiitttP ttdM0000 ( )|, ( )|tty tyy ty方程的全解为：)(1)()(2tPMttiiiii )(ty只有物理坐标 的初始条件。进行适当的数学处理。一般初始条件： 3.5 多自由度体系的强迫振动 )0(i)0(i需要正则坐标的初始值 和 。39两边左乘00YyMYT0*00MYMYyMYTT 01*0yMYMTiTiiMyMY0)()(0)()(tYty( )( )00 iTiiYMyM 3