第七章 微分方程.

1、第七章第七章 微分方程微分方程1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念则它满足则它满足: :1.1.引入引入解解 由由(1)(1)得得 xdxy2Cx 2一条曲线过点一条曲线过点)2 , 1(),(yxM例例1, 且在该曲线上任一且在该曲线上任一点点处的切线的斜率为处的切线的斜率为x2,求这条曲线的求这条曲线的方程方程.设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为: )(xyy (1)(2)xdxdy2 21 yx由由(2)(2)得得即即 C211 C所求曲线的方程为：所求曲线的方程为：12 xy22.2.基本概念基本概念微分方程微分方程: :常微分方程常微分方程: :偏微分方程偏微分方程: :未知函

2、数为一元函数的方程未知函数为一元函数的方程.含有未知函数的导数或微分的方程含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为多元函数的方程未知函数为多元函数的方程. 微分方程中所含未知函数的导数或微分的微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数最高阶数. .微分方程的阶微分方程的阶: :例如例如一阶一阶三阶三阶四阶四阶000cos )4( yyyyyxxyy3.3.微分方程的解微分方程的解(1)(1)0),.,()( nyyyxFn阶微分方程的形式：阶微分方程的形式：若由若由(1)可以解出最高阶导数，可以解出最高阶导数，则则(1)式变为式变为),., , ,()1()( nnyyyyxfy(2)(2

3、)以后讨论的微分方程都是：以后讨论的微分方程都是： 已解出最高阶导数已解出最高阶导数或能解出最高阶导数的方程，或能解出最高阶导数的方程，并且右端函数并且右端函数f在所讨论的范围内连续。在所讨论的范围内连续。说明说明满足微分方程满足微分方程(1),(1),即即则称函数则称函数(1)(1)0),.,()( nyyyxF0)(),.,( ),(,)( xyxyxyxFn)(xyy 若函数若函数定义定义为微分方程为微分方程(1)的解的解.)(xyy 4.4.解的形式解的形式(1)(1)通解与特解通解与特解 如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数, ,且且其中独立的任意常数的个数恰

4、好等于方程的其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数阶数, ,则称这个解为该方程的通解则称这个解为该方程的通解. . 不含任意常数的解称为特解不含任意常数的解称为特解. .xxy2dd 12 xyCxy 2例例通解通解特解特解(2)(2)显式解与隐式解显式解与隐式解以显函数形式表示的解称为显式解以显函数形式表示的解称为显式解. .以隐函数形式表示的解称为隐式解以隐函数形式表示的解称为隐式解. .显式解显式解隐式解隐式解或或yxxy dd21xy 21xy 122 yx例例5 5、初值问题、初值问题为了确定任意常数，为了确定任意常数， 还需要求解满足一定还需要求解满足一定的条件。的条件。通常要

5、求的条件是：通常要求的条件是：对于一阶方程，对于一阶方程，00yyxx 时时，或记为或记为0|0yyxx 通常要求的条件是：通常要求的条件是：对于二阶方程，对于二阶方程，000,yyyyxx 时时，或记为或记为0|0|,00yyyyxxxx 初始条件初始条件求微分方程求微分方程),(yxfy 满足初始条件满足初始条件0|0yyxx 的特解的特解问题：问题：记为记为 ),(yxfy 0|0yyxx 称为一阶微分方程的称为一阶微分方程的初值问题初值问题。类似地，类似地， ) ,( yyxfy ,0|0yyxx 0|0yyxx 称为二阶微分方程的称为二阶微分方程的初值问题初值问题。问题：问题：(2)

6、(3)定义定义微分方程的解的图形是一条曲线，微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。称为该微分方程的积分曲线。初值问题初值问题(2)的几何意义：的几何意义： 求微分方程求微分方程),(00yx的那条积分曲线。的那条积分曲线。初值问题初值问题(3)的几何意义：的几何意义： 求微分方程求微分方程),(00yx的那条积分曲线。的那条积分曲线。且在该点处的切线的斜率为且在该点处的切线的斜率为0y过点过点),(yxfy 过点过点) ,( yyxfy 例例2验证：验证：函数函数ktCktCxsincos21 是微分方程是微分方程0222 xkdtxd的解。的解。证证ktCktCxsinco

7、s21 dtdxktkCktkCcossin21 22dtxdktCkktCksincos2212 xkdtxd222(2k ) sincos21ktCktC ktCkktCksincos2212 0按定义，得：按定义，得： 函数函数ktCktCxsincos21 是微分方程是微分方程0222 xkdtxd的解。的解。说明说明上面已验证：上面已验证：函数函数ktCktCxsincos21 是微分方程是微分方程0222 xkdtxd的解。的解。是是相相互互独独立立的的、21CCktCktCxsincos21 )( ,21任任意意、 CC是微分方程是微分方程0222 xkdtxd的通解。的通解。它含有两个任意常数。它含有两个任意常数。任意常数的个数任意常数的个数 方程的阶数方程的阶数,0时时当当 k例例3已知函数已知函数ktCktCxsincos21 是微分方程是微分方程0222 xkdtxd的通解，的通解，求满足初始条件求满足初始条件,0|Axt 0|0 tdtdx的特