十一+弯曲变形

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第十一章第十一章 弯曲变形弯曲变形11.1 概概 述述11.3 叠加叠加法求弯曲变形法求弯曲变形11.4 简单超静定梁简单超静定梁11.5 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施11.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程、积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证外，还要求变形不能过

2、大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。结构或机器正常工作。11.1 概概 述述一、工程中的弯曲实例一、工程中的弯曲实例CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，出现则会使小车行走困难，出现爬坡现象。爬坡现象。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 但但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。变形，以满足特定的工作需要。 例如，例如，车辆上的叠

3、板弹簧，要求有足够大的变形，以缓车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。解车辆受到的冲击和振动作用。P2P2PCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的1 1、对梁进行刚度计算；、对梁进行刚度计算；2 2、求解弯曲超静定梁；、求解弯曲超静定梁；3 3、为研究压杆稳定问题打好基础。、为研究压杆稳定问题打好基础。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、弯曲变形的基本概念三、弯曲变形的基本概念横截面横截面对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称

4、面1 1、挠曲线、挠曲线 直梁在发生对称弯曲后，其轴线在载荷作用平面直梁在发生对称弯曲后，其轴线在载荷作用平面( (即纵即纵向对称面向对称面) )内由直线变成平面曲线，称之为内由直线变成平面曲线，称之为 挠曲线挠曲线。数学方程：数学方程：连续且光滑。连续且光滑。特点：特点：y = f (x)，它是坐标，它是坐标 x 的连续函数。的连续函数。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2.2.挠度挠度w和转角和转角规定规定：向上的挠度为正；：向上的挠度为正； 逆时针的转角为正。逆时针的转角为正。xyxw挠曲线方程：挠曲线方程：( )w w x转角方程：转角方

5、程：ddwxtan-度量弯曲变形的两个基本量。度量弯曲变形的两个基本量。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY四、画挠曲线的大致形状四、画挠曲线的大致形状1 1、考虑支座的约束特点、考虑支座的约束特点固定端：固定端：w = 0,= 0, = 0= 0铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 2、考虑弯矩对挠曲线凹凸性的影响、考虑弯矩对挠曲线凹凸性的影响弯矩为正的梁段：凹曲线弯矩为正的梁段：凹曲线弯矩为负的梁段：凸曲线弯矩为负的梁段：凸曲线弯矩为弯矩为

6、O O的梁段：直线的梁段：直线弯矩为弯矩为 O O的点：的点： 拐点拐点AB2PPxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYP2PL2PL2PLMxMx22qa例：例：qqa22qa设梁的长度为设梁的长度为 L设梁的长度为设梁的长度为 2aCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY11.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程、 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程2 3/211 () ww1( )zM xEI平面曲线平面曲线( (挠曲线挠曲线) ) 上任意点的曲率公式。

7、上任意点的曲率公式。( )ww x纯弯曲梁的纯弯曲梁的中性层曲率中性层曲率公式公式 (见上一章公式推导见上一章公式推导)( )M xwEI 对于小挠度情形有对于小挠度情形有21w即：挠曲线曲率即：挠曲线曲率CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )M xwEI ( )M xwEI 挠曲线的挠曲线的近似近似微分方程微分方程其其近似性近似性表现为：表现为：只考虑弯矩而忽略剪力对弯曲变形的影响；只考虑弯矩而忽略剪力对弯曲变形的影响；认为认为 (即小变形条件即小变形条件)。21wddwx220wddwx220wCHINA UNIVERSITY OF MIN

8、ING AND TECHNOLOGY二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形( )dM xwxCEI( )M xwEI 由挠曲线近似微分方程由挠曲线近似微分方程 两边积分得：两边积分得：说明：说明：（1 1）若）若M (x)方程方程 或或 EI 有变化，则应分段积分有变化，则应分段积分;（2 2）C、D为积分常数，由为积分常数，由边界条件边界条件或或连续性条件连续性条件确定。确定。- 转角方程转角方程再积分一次得：再积分一次得：( )ddM xwxCxDEI - 挠曲线方程挠曲线方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY固定端固定端：w = 0,=

9、0, = 0= 0确定积分常数：确定积分常数：（1 1）边界条件边界条件（2 2）连续性条件连续性条件铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0 梁的挠曲线是连续、光滑的，所以在任意截面处梁的挠曲线是连续、光滑的，所以在任意截面处 及及 都必须是连续的。例如，当弯矩方程需要分段建立时，都必须是连续的。例如，当弯矩方程需要分段建立时，挠曲线微分方程也需要分段建立，两段梁在分段处的挠度、挠曲线微分方程也需要分段建立，两段梁在分段处的挠度、转角也相等。转角也相等。wwCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY再通过再通过刚度条件刚度条件：max

10、wwmax 这里这里 、 是规定的许可挠度和转角。是规定的许可挠度和转角。w进行刚度计算。进行刚度计算。得到梁的挠曲线方程、转角方程后，便可求得得到梁的挠曲线方程、转角方程后，便可求得最大挠度最大挠度 、最大转角、最大转角 。maxwmaxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。xylqx222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw

11、432412由边界条件由边界条件：000wlxwx时，时，得：得：CqlD 3240,梁的转角方程和挠曲线方程为：梁的转角方程和挠曲线方程为：qEIlxxl2464233()2(24332lxlxEIqxw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIqlBA243maxEIqlwwlx384542max解：解：222)(xqxqlxMABCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例: : 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定角方程、挠曲线方

12、程，并确定max和和wmax。xylPABx解：解：M xP lx( )() lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边界条件由边界条件: :0, 00wwx时，CD 0梁的转角方程和挠曲线方程为：梁的转角方程和挠曲线方程为：PxEIxl22()3(62lxEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI22EIPlwwB33maxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例: : 试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度试求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度: :EIz）axyABblCP解：解：l

13、PbRA1.1.求支反力、写出弯矩方程；求支反力、写出弯矩方程；lPaRBACAC段：段：x11M1xlPbCBCB段：段：2M)(22axPxlPbax 10lxa22.2.列出挠曲线微分方程，并积分；列出挠曲线微分方程，并积分；ACAC段：段：11xlPbwEI xPbEIwEICl 2111121113116DxCxlPbEIwCBCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI222323226)(6DxCaxPxlPbEIw3.3.列出边界条件；列出边界条件；,01时x01w,2时lx 02w4.4.连续性条件；连续性条件；,21时当axx

14、21ww)(2121ww 由连续性条件，可求得由连续性条件，可求得21CC 21DD x21xRA)(22axPxRA由边界条件，可求得由边界条件，可求得)(62221bllPbCC021 DDCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY5.5.求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度axyABblCPRARBx1x2 对简支梁受集中力，最大转角一对简支梁受集中力，最大转角一般在两端截面上般在两端截面上: :110Axw)(622allEIPabwzlxB)(6bllEIPabz比较两者，当比较两者，当 a b 时时: :)(6maxallEIPabzB挠

15、度最大值发生在挠度最大值发生在d()dwx00截面上，截面上，当当 a b 时，发生在时，发生在AC AC 段：段：ddwx1100)3(62022xbllPb3220blx3221max)(390bllEIPbwwzxx 将积分常数代入，得到转角方程将积分常数代入，得到转角方程和和挠曲挠曲线方程线方程( (略略) )。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY讨论：讨论：（1 1）AC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEI1113116DxCxlPbEIwCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPx

16、lPbEIwEI6)(632322axPxlPbEIw222DxC（2 2）当须分段表示弯矩方程时，需用连续性当须分段表示弯矩方程时，需用连续性条件、边界条件一起确定积分常数。条件、边界条件一起确定积分常数。（3 3）3220blx截面截面最大挠度最大挠度很接近于梁中点挠度值很接近于梁中点挠度值故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：(34)48lxzPblbEIf 222（4 4）当当 b =l /2 时时zABEIPl162maxzlxEIPlwf48|22max（5 5）积分法适用于积分法适用于求任意截求任意截面的挠度和转角面的挠度和转角.axyABblC

17、PRARBx1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和wmax。yaqABCxaaaDEqaqax1x2解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACD111)(qaxxM222211)(2axqqaxwEIqaxwEI 22222)(2)(axqqaxxM)0(1ax )2(2axa12112CxqawEI1113116DxCxqaEIw232222)(62CaxqxqawEI22242

18、322)(246DxCaxqxqaEIw由连续性条件：由连续性条件：212121,wwwwaxx时由边界条件：由边界条件：由对称条件：由对称条件：得CCDD12120,011wx时得 D100,222wax时得 Cqa23116 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：axaxaaxaxEIqwaxxxaEIqawaxaaaxaxEIqaxxaEIqa244)(4240)11(6211)(360)311(622342322131121233222212121最大转角和最大挠度分别为：最大转

19、角和最大挠度分别为：max AxqaEI1031116EIqawwax819422max2yaqABCxaaaDEqaqax1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。积分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。; 0, ; 0, 021BAwaxwx边界条件边界条件连续条件连续条件PqaaAB121212, ;BBxxa www边界条件边界条件; 0, 0, 01AAwx 连续条件连续条件;

20、,212121CCwwwaxx PaaCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY边界条件边界条件连续条件连续条件; 0, ; 0, 0, 021BAAwlaxwx malABC;,2121Cwwwaxx边界条件边界条件1220,0; ,;2ABqlaqlaxwxl wEAEA qABlaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.1.挠度和转角挠度和转角规定规定：向上的挠度为正：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正xyxw挠曲线方程：挠曲线方程：( )w f x转角方程：转角方程：ddwx 挠度和转

21、角是度量弯曲变形挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。的两个基本量。内容回顾：内容回顾：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )M xwEI 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程2.2.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程3.3.积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形( )dM xwxCEIDCxxxxMEIwCxxMEIdd)(d)( 对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：( )d dM xwxxCxDEI截面的转角方程截面的转角方程梁的挠曲线方程梁的挠曲线方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY说

22、明：说明：（1 1）若）若M (x)方程方程 或或 EI 有变化，则应分段积分；有变化，则应分段积分；（2 2）C C、D D为积分常数，由边界条件或连续性条件确定。为积分常数，由边界条件或连续性条件确定。22d( )dwM xxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、叠加法适用范围一、叠加法适用范围 材料服从胡克定律材料服从胡克定律 小变形小变形二、第一类叠加法二、第一类叠加法载荷叠加法载荷叠加法 当梁作用有若干载荷时，可分别求出每一种载荷单独当梁作用有若干载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，

23、然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。这些载荷共同作用时的变形。各个载荷所引起的变形相各个载荷所引起的变形相互独立、互不干扰。互独立、互不干扰。11.3 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY用叠加法求：用叠加法求：BACw、例：例：解：解：Cw53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216EIlm6CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLO

24、GY例：例：解解:BPaEI 22EIam 2mPa40若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩，则力偶矩 等于多少？等于多少？mCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求图示梁求图示梁 B、D两点的挠度两点的挠度 wB、 wD。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYv 例：例：用叠加法确定图示梁用叠加法确定图示梁 C 截面的挠度截面的挠度 wC和转角和转角C。解：解：vvv

25、418CqlwEI 316CqlEI 42128BqlwEI3248BqlEI422272384CBBlqlwwEI32248CBqlEI41241384CCCqlwwwEI 312748CCCqlEI 所以：所以：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、第二类叠加法三、第二类叠加法局部刚化法局部刚化法 当梁上载荷复杂时，为了求解某些特殊截面的挠度、转角，当梁上载荷复杂时，为了求解某些特殊截面的挠度、转角，可以分段考虑梁的弯曲变形。在研究某一段梁的变形时，将其可以分段考虑梁的弯曲变形。在研究某一段梁的变形时，将其余部分暂时看成刚体余部分暂时看成刚体

26、( (称为称为“刚化刚化”) )。计算出每段梁的变形在。计算出每段梁的变形在这些特殊截面引起的挠度和转角，然后将它们叠加，这种计算这些特殊截面引起的挠度和转角，然后将它们叠加，这种计算变形的方法称为变形的方法称为局部刚化法局部刚化法。vCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度的挠度。解：解：用局部刚化法计算。用局部刚化法计算。2311236Bqalqa lwaaEIEI 428qawEI （2 2）将）将BC段刚化段刚化（1 1）将）将AB段刚化段刚化（3 3）最后结果）最后结果)34(246833

27、421alEIqaEIlqaEIqawwwlABaC CqABq2wABC Cqa1wqa2/2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度、转角。的挠度、转角。解：解：EIqaawB12542 EIqaw841（1 1）将）将BC段刚化。段刚化。（2 2）将）将AB段刚化。段刚化。（3 3）最后结果）最后结果EIqawww2413421ABq1wABaC CqP=qaaam=qa2DEIqa631 132512BBmBPBmqaEI312712qaEIqaABC C2wm=qa2/2P=qam=qa2

28、DCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求悬臂梁求悬臂梁ACB的自由端的自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：EIqawwwPm127)()(4222EIqaw841 （1 1）将）将AC段刚化。段刚化。（2 2）将）将BC段刚化。段刚化。EIqa631 1w1BCABqaaCqam=qa2/2ABC2w3wEIqaaawmCPCC43)()( 32CqaEI123wwww注：注：局部刚化法局部刚化法主要用于求解外伸梁、受力比较特殊的悬臂主要用于求解外伸梁、受力比较特殊的悬臂 梁的弯曲变形。梁的弯曲变形。CHINA UNIVERSITY

29、 OF MINING AND TECHNOLOGY 两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，如图示，梁的最大挠度是梁的最大挠度是梁的多少倍？梁的多少倍？2llP2PPlEI33例：例：16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：简支梁在整个梁上受均布载荷简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用，若其跨度增加作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？一倍，则其最大挠度增加多少倍？lqIEl qw38454max16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例

30、：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa. 试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P 。解解：由刚度条件由刚度条件500483maxlwEIPlw248500EIPl 711.kN所以 .P 711kNCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYhbhb/2b hMOO hb2h2hooCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYmax() 12z6MMWbh 31()12zEbhEI2hb 2Mmax 222/2/212()/2 /6zMMMWbhb h12412)2(2)(332EbhhbEEIz2:1)( :)(2max1max 1:4)( :)(21zzEIEICHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYhb2h2hooCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解除多余约束，代之以相应的约束反力，解除多余约束，代之以相应的约束反力，则静不定梁转化为形式上的静定梁：则静不定梁转化为形式上的静定梁：一、超静定梁的概念一、超静定梁的概念即不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁即不能由静力平