连续和离散系统的状态变量分析

1、连续和离散系统的 状态变量分析开始下一页结束引言n通过前面的学习我们知道，分析一个系统首先要将此系统的工作状态表示成数学模型，即应用适当的数学表达式描述改系统的工作状态。描述系统的方法依采用数学模型的不同可以分成两大类。n 输入输出描述输入输出描述输入输出分析法输入输出分析法外部法外部法n 前面我们所学习的分析方法（时域和变域分析）尽管各有不同的特点，但是都着眼于激励响应（输入输出）的直接关系（外部特性）对单输入，单输出系统这种描述和处理方法很方便。但是现代工程中所采用的系统日趋复杂而且往往是多输入多输出系统，同时又要完成许多功能，技术要求也日趋苛刻，分析这种系统将是一件很艰辛的工作。如果再采

2、用输入输出描述法与分析，计算工作太繁重。特别是人们对控制系统不再仅仅满足于输出量的变化，而且对系统内部的一些变量变化也同时感兴趣，以便设计和控制这些参数以达到最佳控制目的；可是输入输出描述和分析却无法知晓系统内部的一些必要情况，这时采用状态变量描述与分析会很有效。n 状态变量描述状态变量描述状态变量分析法状态变量分析法内部法内部法n 对于多输入多输出系统的分析，状态变量描述与分析具有明显的优越性。它不仅可以描述系统外部特性，也可以描述系统内部特性。而且它不仅适用于线性时不变系统也适用于非线性或时变系统，还可以用来研究经济系统，生物系统和其它一些系统。尤其是状态变量分析法的数学描述模型特别适用于

3、计算机来进行数值计算。 开始上一页 下一页结束状态变量分析法的优点及应用范围 前面我们曾提及过输入输出法对研究单入单出系统较为方便，但现代工程系统很复杂往往又是多入多出，且同时要完成各种功能，所以这种系统分析方法将使分析工作繁重且也无法知晓系统内部情况。因此状态变量分析法就有了优越性。1优点 由于它是研究每一个变量情况，因此便于研究系统内部所需的信息。例如：可以研究系统中在何处可能存在不稳定因素或薄弱环节，以便采取预防手段。这往往是很重要的。它适用于多入多出系统。可以提供更多的有关系统信息由状态方程的标准型可见，状态方程是一组一阶微分方程组，因此它是把输入输出法的一个高阶微分方程简化成状态变量

4、的许多一阶微分方程组。由于状态方程又有统一的标准矩阵形式，所以便于计算机求解。2应用范围1.可以用于分析复杂的线性系统，扩展到线性时变系统及非线性系统。2.简单系统用此方法反而会显得繁琐。 因此不同的分析方法各有其适用方面及局限方面，使用时要加以注意。开始上一页 下一页结束n内容1.状态和状态变量的意义及状态方程和输出方程的标准矩阵形式2.系统的状态方程及输出方程的建立 3.连续系统的状态方程复频域求解4.连续系统的状态方程时域求解5.离散系统的状态方程时域及Z域求解n本章说明: 我们将学习给定系统或系统模拟图直接列写状态方程和输出方程的方法；学习连续和离散系统状态方程的求解方法，并以变换域方

5、法为主；初步理解多入多出系统的系统函数矩阵，冲激响应矩阵以及状态过渡矩阵的概念；最后将简单地讨论一下系统的稳定性问题。开始上一页 下一页结束一.离散系统的状态方程时域及Z域求解n1.状态和状态变量的意义及状态方程和输出方程的标准矩阵形式【1】状态一个系统在t=t0时的状态是表示系统所需要的一组最少信息量的数值利用这组数值x1(t0),x2(t0),x3(t0)xn(t0)连同系统的模型和给定在时的输入激励足以唯一确定tt0时的系统工作情况。例如：由简单的RLC系统分析可知，只要知道)0(),0(LCiu)0(),0(LCiu)().(),(),(321txtxtxtxn)(),(tituLC开

6、始上一页 下一页结束或选系统结构参数及输入激励就可以确定t0系统的全部响应。就称为状态。状态实质是系统的储能状态，从某种意义上说可以是系统的初值。纯电阻系统只能耗能，不能储能。即该时刻系统中各处电压或电流值仅由该时刻激励决定，与系统过去工作情况无关，也不致影响系统未来的工作，因此纯电阻系统无状态而言。【2】状态变量表征系统状态的变量。系统中一组独立的动态变量所以t=t0时的说明：1.一般系统的状态变量的个数系统的阶数储能元件的个数)(),(tituLC)(),(tituLC【5】分析方法1.选择状态变量，2.建立系统的状态方程，及按要求输出的输出方程3.求解状态方程，求出状态变量4.将状态变量

7、代入输出方程的到所有要求的输出量)()()(teBtxAtx)()()(teDtxCty开始上一页 下一页结束也就是说状态变量的选取并不唯一，但是选2.状态变量并不一定都是直观又方便。【3】状态方程一组状态变量的一阶微分方程组 【标准形式】 矩阵形式每组方程均由状态变量一阶导、状态变量及激励组成【4】输出方程一组输出变量、状态变量及激励的代数方程组【标准形式】 矩阵形式每组方程均由输出、状态变量及激励组成n2.系统的状态方程及输出方程的建立状态变量的选取原则 【1】选电感上的电流及电容上的电压最为直观方便。（因为它直接与系统的能量状态发生联系）当然必要时也可以其它的。 【2】选取独立的状态变量

8、。状态变量必须相互独立（无依赖关系即不可互求） 状态变量的个数一般为储能元件的个数也为系统的阶数 同一系统状态变量选取不同，其状态方程也不同，所以状态变量的选取不唯一，因此列写的状态方程也不唯一。n已知电系统其状态方程和输出方程的建立直观编写法1.对电容所在节点列写KCL方程；将电容电流写在等式的左端 对电感所在回路列写KVL方程；将电感电压写在等式的左端2.用状态变量和激励替掉状态方程中不应有的变量3.整理方程形式，写成状态方程的标准矩阵型4.根据要求的输出，写出输出方程的标准矩阵型dtduiccdtdiuLL开始上一页 下一页结束实例1：系统及参数如图解：1.选取状态变量 2.对电容所在节

9、点列KCL方程332211;CLCuxixux)(2;)(2;42341334233123123122112111211ixxixdtducixixxxxxdtdiLxxuxixxidtducxiiCCLLCC开始上一页下一页结束3.用状态变量和激励替掉状态方程中不应有的变量4.整理方程形式，写成状态方程的标准矩阵型 5.根据要求的输出，写出输出方程的标准矩阵型 33411111)();(1xxitexiteix41,ii32331221122)(222xxxxxxtexxx)(002220101022321321texxxxxx)(0101,321213211texxxyyxyxy开始上一页

10、 下一页结束43211,iiuiiCLC如果以 为输出的输出方程是)(00011100110101011001)()(3214321134324233122121111texxxiiuiixixxixixxutexxxiitexiCLCCLC开始上一页 下一页结束n已知系统的输入输出方程或模拟图建立状态方程和输出方程 到目前为止，我们对系统已经有两种描述方法了 输入输出描述（激励响应的微分方程）；状态变量描述对同一系统只是描述方式不同，两种描述方式之间一定有一定的关系，就象输入输出描述中的输入输出方程，模拟图，系统函数等可以表述同一系统一样。输入输出方程，模拟图，系统函数之间可以相互转换，两种

11、描述方式之间也可以 【1】由输入输出描述的系统直接模拟图或系统函数、微分方程求状态方程和输出方程实例2：系统函数为系统方程为：系统模拟图为：12198104)(23sssssHxxyyy10412198 开始上一页下一页结束选每个积分号后的变量为状态变量状态方程标准矩阵形式输出方程标准矩阵形式规律：1.A阵的最后一行是H(S)的分母多项式系数负值倒着写 其它各行除对角线右边元素为1外其余全为零 2.B阵是列阵其最后一行为1 3.C阵是行阵为H(s)分子多项式系数倒着写，最后一个元素为零 4.D阵为零这种方法得到的状态方程的状态变量相变量，并不一定真实存在。是我们设出的。 xxxxxxxxx32

12(10081912100010321321txxxxxxx)(00410321txxxxy开始上一页下一页结束【2】由系统函数并联模拟图建立状态方程和输出方程实例3：系统函数 系统并联模拟图选每个极点分式之后的变量为状态变量。 433211)(ssssHexxeyyssHexxeyyssHexxeyyssH1331221114.4.41)(3.3.31)(.11)(开始上一页 下一页结束)(111400030001321321texxxxxx规律：1.A阵为对角线阵，其对角线上的元素是H(S)的极点值。 其它元素全为零 2.B阵为1列阵 3.C阵是行阵，依次为H (s)

13、部分分式的系数 4.D阵为零 这种状态变量对角线变量，它是真实存在的。还可以有其它方法建立状态方程和输出方程，但以上两种较为常用。但是这样一些状态变量一般是无法测量或观察的。注意 1.是以上的类型的模拟图可以用以上方法直接写状态方程及输出方程 2.不是以上的类型的模拟图不可以用以上方法直接写状态方程及输出方程 3.其它类型的模拟图都可以选积分号后面的变量作状态变量离散系统的状态方程和输出方程形式与连续系统的相似，只不过将t变成k一阶导数变成增序1（将一阶微分方程组变成一阶差分方程组）。)(0321321texxxy开始上一页 下一页结束输出方程的标准形式状态方程的标准形式状态方程的标准型输出方

14、程的标准型建立方法同前：已知系统的输入输出方程或模拟图建立状态方程和输出方程选移序器之后为的变量为状态变量选H(Z)的每个分式之后的变量为状态变量 )()()1(keBkxAkx)()()(keDkxCky)(kxj)(zXjn3.连续系统的状态方程的复频域求解求解状态方程的实质是解连续系统的一阶微分方程组或离散系统的一阶差分方程组。分为连续系统时域卷积积分法（离散系统时域卷积和） 变换域拉氏变换（离散系统变换域Z变换）【1】拉氏变换求解状态方程开始上一页 下一页结束)()()0()()()()()()0()()()()()0()()0()(.).0()()()(.)()(.)(.)()(.)

15、(.).()(.).()(11111121212121sEBAIsxAIsLsXLtxsEBAIsxAIssXsEBsXAxsXsxsXsxxssXtxsEsEsEeeesXsXsXxxxteBxAxsEtesXtxmmnn状态变量开始上一页 下一页结束状态变量的零输入部分零状态部分激励状态方程【2】输出方程它只是简单的代数方程，只要将上式代入即可 )(.).(.)()()0()()()()(11sYsYsEDBAI sCxAI sCsEDsXCsYeDxCyzszi响应1)()(AIss)0()()()0()()xttxxssX（)(t)(tAIsAIsadjAIss)()()(1开始上一页

16、 下一页结束实际上可以在系统任意时刻的状态之间转变，这个矩阵在时域分析法中也具有十分重要的意义。而且求状态变量和输出均需要求出它。伴随矩阵/行列式它起着从系统的一个状态过渡到另一个状态的桥梁作用，因此称为状态过渡矩阵。实际上t=0只是参考点，在设定时可有任意性，故而利用可见在零输入系统中t=0的状态与【3】状态过渡矩阵相乘可以转变到任何时刻的状态，【4】系统函数DBsCDBAIsCsEsYsHzs)()()()()(1)(s0 AIsn4.连续系统的状态方程的时域求解求一阶微分方程组的时域解法，从一阶标量微分方程的解法，再推广到一阶矩阵微分方程。 dbxeytyedbxeyetbxetyedt

17、dtbxetyaetyetbxtaytytaattatoaatatatatat00)()0()()()()()()()()()()()()(*)0()()0()(0)(txbeyedbxeyetyatatttaat开始上一页 下一页结束极点取决于的极点即：中S的根这个积分实质是冲激响应atbe)(tx)()()0()()()(*)0()()()0()()()0()()()()()()()()()()()(110)(00sEBAIsxAIssXteBexetxdeBexetxdeBexxedeBexeteBetxedtdteBetxAetxeteBtxAtxt At AttAt AtAt AtA

18、toAt At At At At A)()()()()(111AIsLtAIsstet A.!.! 3! 23322ntAtAtAt AIennt A开始上一页 下一页结束这就提供一个矩阵指数函数的计算方法，否则将计算：状态方程：可见一阶矩阵方程与一阶标量方程有严格的对应关系，而且解矩阵微分方程与解标量微分方程在本质上是相同的，方法相似。与激励的卷积。输出方程：冲激响应：通过以上分析可见 我们现在是把输入输出法的一个激励和一个响应的高阶微分方程转化成状态变量法的多个激励和多个响应的一阶微分方程组，就可以利用线性代数把处理一阶微分方程的方法推广到处理矩阵形式的状态方程。为复杂系统的分析找到了一个

19、新的途径。因为阶一阶微分方程要容易得多，而且计算机容易解决此问题。 总之，状态变量法时以增加方程的数目降低方程的阶数的。因此用状态变量法分析简单问题，反而会增加计算的复杂性。输入输出法：一个N阶微分方程 状态变量法：N个一阶微分方程)()()(teDtxCty)(*)()()0()()()(*)()0()()(*)()(*)0()()()(*)()()(*)0()()()(tetDBtCxtCtytetDBeCxeCtytetDteBexeCtytetetteDteBexeCteDtxCtyt At At At At At Aziyzsy)()()()(1sHLtDBtCth开始上一页下一页结束n5.离散系统的状态方程的时域及Z 域求解求解求一阶微分方程组的时域解法，从一阶标量微分方程的解法，再推广到一阶矩阵微分方程。【1】离散系统的状态方程和输出方程状态方程的矩阵标准型输出方程的矩阵标准型 【时域求解】可以用迭代法得出状态变量和状态过渡矩阵及输出它们分别与连续系统的状态变量和输出形式相当。n但是离散系统的状态过渡矩阵)()() 1(keBkxAkx)()() 1(keDkxCky)()()1()0()()()()()1()0()()()0()(1010101keDjeBjkCxkCkyAkjeBjkxkjeBAxAkxkjkkjkjjkkkAk )(开始上一页 下一页结束【Z