金融工程10BSM模型2011

1、Dr. Fan1第第13章章 BSM模型模型范范 闽闽金融工程研究中心金融工程研究中心BlackBlack-ScholesScholes期权定价模型的基本思路期权定价模型的基本思路 期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。变化也是一个相应的随机过程。 金融学家发现，股票价格的变化可以用金融学家发现，股票价格的

2、变化可以用Ito过程来描述。而数过程来描述。而数学家学家Ito发现的发现的Ito引理可以从股票价格的引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。证券价格所遵循的随机过程。 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整证券，建立一定的组合，可以消

3、除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程：个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。微分方程。 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。Dr. Fan313.1 Black-Scholes模型的假设模型的假设标的资产的价格变动符合几何布朗宁运动，其主要特点是：每一个小区间内标的资产的价格变动符合几何布朗宁运动，其主要特点是：每一个小区间内标的资产的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内的收益率相互独立。标的资产的收益率服从正态分布，且不同的两个区间内的收益率相互独立。期权是欧式期权

4、期权是欧式期权卖空的收益可以完全由卖空者支配卖空的收益可以完全由卖空者支配没有交易成本或者税务成本没有交易成本或者税务成本所有证券都是无限可分的所有证券都是无限可分的在期权到期之前，股票不支付红利在期权到期之前，股票不支付红利证券的交易是连续的过程，即标的资产价格的变动是连续的，在一段极短的证券的交易是连续的过程，即标的资产价格的变动是连续的，在一段极短的时间内，标的资产的价格只能有极微小的变动，亦即排除了跳空上涨或跳空时间内，标的资产的价格只能有极微小的变动，亦即排除了跳空上涨或跳空下跌的可能性。下跌的可能性。无风险利率在各个期限都相等，且是个常数无风险利率在各个期限都相等，且是个常数Dr.

5、 Fan4BlackBlack-ScholesScholes微分方程：基本思路微分方程：基本思路 思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证

6、券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在资组合在短期内内的收益率一定等于无风险利率。的收益率一定等于无风险利率。 Dr. Fan5股票价格和期权价格服从的随机过程股票价格和期权价格服从的随机过程22221()(22dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS股票价格:（1）期权价格：）Dr. Fan6BlackBlack-ScholesScholes微分方程微分方程 推导过程推导过程 根据（根据（1）和（）和（2），在一个很

7、小的时间间隔里），在一个很小的时间间隔里S和和f的变的变化值分别为化值分别为为了消除为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和头和 单位标的证券多头的组合。单位标的证券多头的组合。22221()2SS tS zfffffSStS zStSS 和zfSDr. Fan7介绍介绍：构造无风险资产组合：构造无风险资产组合 组合组合 期权：空头期权：空头1份，即份，即-f； 股票：多头股票：多头 份，即份，即 组合价值组合价值 也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合SfSSfSSfftSSftfSS

8、ff222221zbSftSSftfSSff222221Dr. Fan8 为什么我们可以构造无风险组合为什么我们可以构造无风险组合? 股票价格和期权价格的不确定性都来自股票价格波动股票价格和期权价格的不确定性都来自股票价格波动 任何短时期内任何短时期内,call option的价格与标的股票价格高度正的价格与标的股票价格高度正相关相关(put则是负相关则是负相关) 所以所以,建立一个合适的股票和期权组合时建立一个合适的股票和期权组合时,股票头寸的损股票头寸的损益就能够抵消期权头寸的损益益就能够抵消期权头寸的损益,从而构造了一个没有风从而构造了一个没有风险的组合险的组合. 而这个组合中而这个组合

9、中,股票与期权的比例在图形上就是股票与期权的比例在图形上就是call option价格曲线的切线斜率价格曲线的切线斜率.Dr. Fan9看涨期权价值与股票价格看涨期权价值与股票价格看涨期权价值看涨期权价值股票现货价格股票现货价格施权价施权价斜率就是斜率就是c/ / SDr. Fan10期权价值方程期权价值方程是无风险资产组合是无风险资产组合 所以所以 将将与与的公式代入，得到：的公式代入，得到： 去掉去掉t Black-Scholes Differential EquationtrtSSffrtSSftf)(212222rfSfrSSSftf222221Dr. Fan11 这就是著名的布莱克这

10、就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它事实上适用舒尔斯微分分程，它事实上适用于其价格取决于标的证券价格于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。的所有衍生证券的定价。 值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。风险的。 会不断地发生变化。会不断地发生变化。fS参数的理解参数的理解 ： 几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。 根据资本资产定价原理，根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者

11、涉及主观因险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。是无关的。 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。结果。

12、 ：是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。数而不采用日历天数。2213.2 BSM模型中的收益率模型中的收益率 如前述，我们用几何布朗运动描述标的资产价格如前述，我们用几何布朗运动描述标的资

13、产价格变动轨迹的原因在于：变动轨迹的原因在于： 投资者感兴趣的不是股票价格投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收，而是独立于价格的收益率。益率。 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。期望股票价格以一定的增长率在增长。 因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。 几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对

14、数正态分布。这比较符合现实。数正态分布。这比较符合现实。百分比收益率与连续复利收益率百分比收益率与连续复利收益率 百分比收益率：百分比收益率： 连续复利收益率连续复利收益率: 百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点： 有限责任原则：有限责任原则： 金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在下，百分比收益率只在1和和 之间变化，不符合正态

15、分布假定。之间变化，不符合正态分布假定。 对数收益率对数收益率（ ， ）：更适合于建立正态分布的金融资产行为）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。模型。 多期收益率问题：多期收益率问题： 即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积，单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。从而产生悖论。 多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。00TSSSSS

16、或0lnlnTSS百分比收益率与连续复利收益率百分比收益率与连续复利收益率 如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率难以直接计算。难以直接计算。 如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率等而符号

17、相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。收益率可以直接相加计算。 连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。 JP摩根银行的摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。是单个资产连

18、续复利收益率的加权平均。 实际实现的收益率：课本实际实现的收益率：课本(13.6) 收益率分布：课本收益率分布：课本(13.7)Dr. Fan160ln1SSTxT),2(2Tx13.3 股票价格波动率及其估计股票价格波动率及其估计 ：是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差标准差 波动率的计算方法波动率的计算方法1 1：从历史数据进行估计：从历史数据进行估计可以从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准可以从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估差，再对时间标准化，得到年标准差

19、，即为波动率的估计值。计值。一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。交易天数而不采用日历天数。 波动率的计算方法波动率的计算方法2 2：隐含波动率，伸引波幅：隐含波动率，伸引波幅估计标的资产价格的历史波动率估计标的资产价格的历史波动率 历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。算出价格收益率的标准差。 计算波动率的方法：计算样本均值和标准差的简计算波动率的方法：计算样本均值和标准差的简单方法。单方法。 步骤步骤: (1) 从市场上获得标的资产（如股

20、票）在固定时间间隔从市场上获得标的资产（如股票）在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）的价格；（如每天、每周或每月等）的价格； (2) 对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间段初的股价之比的自然对数；段初的股价之比的自然对数； (3) 求出这些对数的标准差，再乘以一年中包含的时段求出这些对数的标准差，再乘以一年中包含的时段数的平方根数的平方根 具体计算过程：具体计算过程： 标准差标准差s的通常估计为：的通常估计为： 还需要换算成年波动率：还需要换算成年波动率：注：所有参数的定义见课本注：所有参数的定义见课本niSSuiii, 2 , 1),ln

21、(1211212)() 1(111)(11niiniiniiunnunsuuns或252天年常见的如，s关于关于n的选择的选择 一般来说，数据越多，计算精度越高。一般来说，数据越多，计算精度越高。 但同时，波动率本身也会随着时间改变而变化，但同时，波动率本身也会随着时间改变而变化，因此过老的历史数据对于预测未来的价格变化，因此过老的历史数据对于预测未来的价格变化，可能不起任何作用。可能不起任何作用。 如何解决？如何解决？ 一种做法是选择一种做法是选择90-180天的收盘价数据天的收盘价数据 或者是将或者是将n设定为将应用波动率的期限。设定为将应用波动率的期限。 例如，预测两年期的期权估值，就用

22、过去两年的历史数据。例如，预测两年期的期权估值，就用过去两年的历史数据。【例例】以烟台万华为例介绍历史波动率的确定表13- 6 烟台万华股票历史波动率计算数据日期日期收盘价收盘价Pt(元元)收益率收益率ui 2005-2-2415.60 2005-2-2515.57-0.00190.0001 2005-2-2815.35-0.01420.0004 2005-3-115.350.00000.0000 2005-3-215.29-0.00390.0001 2005-3-315.470.01170.0000 2005-3-415.570.00640.0000 2005-3-716.370.05010

23、.0019 2005-3-816.460.00550.0000 2005-3-916.960.02990.0005 2005-3-1016.71-0.01490.0005合计合计0.06870.0036均值均值0.0069方差方差0.0004标准差标准差(日日)0.0200标准差标准差(年年)0.31752)(uui %69. 010%87. 611ntiunu收益率均值%75.31252%2252日年%0 . 29%36. 0)(1112niiuun收益率标准差隐含波动率隐含波动率 即根据即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报

24、价代入，计算得到的外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。 隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。Dr. Fan2413.4 BSM模型与风险中性定价原理模型与风险中性定价原理 从从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间）、时间（t）、证券价格的波动率（）、证券价格的波动率（）和无风险利率）和无风险利率r，它，它们全都是客观变量，独立于主观变

25、量们全都是客观变量，独立于主观变量风险收益偏风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。 由此我们可以利用由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。定价时，所有投资者都是风险中性的。Dr. Fan25风险中性定价原理风险中性定价原理 所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风所谓风险中性，即

26、无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。险利率回报。 风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界 所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风论不仅适

27、用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。权结论，适合于现实世界。Dr. Fan26An Example 假设一种不支付红利股票目前的市价为假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，该股个月后，该股票价格要么是票价格要么是11元，要么是元，要么是9元。现在我们要找出一份元。现在我们要找出一份3个月期协议价格个月期协议价格为为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于由

28、于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若个月后股票的市价。若3个个月后该股票价格等于月后该股票价格等于11元，则该期权价值为元，则该期权价值为0.5元；若元；若3个月后该股票价个月后该股票价格等于格等于9元，则该期权价值为元，则该期权价值为0。 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单单位的标的股票多头组成的组合。若位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等于11元时，该组元时，该组合价值等于（合价值等于（110.5）元；若）元；若3个月后该股票价格等于个月后该股票价格等

29、于9元时，该组合元时，该组合价值等于价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使使3个月后该组合的价值不变，这意味着：个月后该组合的价值不变，这意味着： 110.5=9 =0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无股标的股票。无论论3个月后股票价格等于个月后股票价格等于11元还是元还是9元，该组合价值都将等于元，该组合价值都将等于2.25元。元。Dr. Fan27 在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得在没有套利机会情况下，无风险组合只

30、能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：，则该组合的现值应为： 2.25e-0.10.25=2.19 由于该组合中有一单位看涨期权空头和由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位单位股票多头，而目前股票市场价格为股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此：元，因此： 100.25-f2.19; f0.31 这就是说，该看涨期权的价值应为这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则元，否则就会存在无风险套利机会。就会存在无风险套利机会。Dr. Fan28 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格从该例

31、子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到上涨到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率则股票上升的概率P可以通过下式来求：可以通过下式来求： 10=e-0.10.2511p+9(1-p) P=62.66%。 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为又如，如果

32、在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概，则股票的上升概率可以通过下式来求：率可以通过下式来求： 10=e-0.150.2511p+9(1-p) P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。元。Dr. Fan29前文的两个重要结论前文的两个重要结论

33、 股票价格服从对数正态分布股票价格服从对数正态分布 风险中性定价原理风险中性定价原理Dr. Fan3013.5 BS微分方程的应用：微分方程的应用：1.期货估值期货估值 期货可以用来做套期保值，也即组建无风险资产组合。因期货可以用来做套期保值，也即组建无风险资产组合。因此理论上期货合约的价值与现货价值也应该满足此理论上期货合约的价值与现货价值也应该满足Black Scholes Differential Equation。)(tTrKeSf)(tTrrKetf1Sf022SfrSrKeSfrSSSftftTr021)(2222)()(tTrKeSrrf期货合约价值公式：期货合约价值公式：从而：

34、从而：BSDE右半部：右半部：BSDE左半部：左半部：Dr. Fan31BS微分方程应用微分方程应用2：Black-Scholes模型模型 看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值在风险中性看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值在风险中性世界中的现值）世界中的现值） 股票价格的概率分布股票价格的概率分布 期权价格的解期权价格的解)0 ,()(XSMaxEecTtTrtTtTSST),)(2(lnln2)()(2)(1dNXedNSctTrtTtTrXSd)(2/()/ln(21tTtTrXSd)(2/()/ln(22说明：说明：Black-Scholes公式存在五个投入：公式存在五个投入：S，当

35、前的，当前的股票价格；股票价格； K，期权的行权价格；，期权的行权价格； ，股票的波，股票的波动率；动率； r，连续复合无风险利率；，连续复合无风险利率； T，生命期，生命期如果需要考虑红利，则引入如果需要考虑红利，则引入d d，股票上的股利收，股票上的股利收益。益。 )()(2)(1)(dNXedNSectTrtTdTTrKSdd2211/lnTdd12 在在Black-Scholes公式中，公式中，N(x)是累积正态分是累积正态分布函数，它是从一个标准正态分布（即，一个布函数，它是从一个标准正态分布（即，一个均值为均值为0和方差为和方差为1的正态分布）中随机抽取的的正态分布）中随机抽取的一

36、个将小于一个将小于x的数字的概率。的数字的概率。 任何任何x有有1 N(x) = N(x)。图图18-2 顶部面版：正态曲线下顶部面版：正态曲线下0.3左边的面积。底部面版：累积正左边的面积。底部面版：累积正态分布。在态分布。在x = 0.3处的高度，由处的高度，由N(0, 3)给出，是给出，是0.6179。 C(S, K, , r, T, d) = Sed dT KerTTTrXSudued2212ln221TTrXSudued2212ln221例例12.1 令令S = $41，K = $40， = 0.30，r = 8%，T = 0.25（3个月）和个月）和d d = 0。计算。计算Bla

37、ck-Scholes看涨期权看涨期权价格，我们得到价格，我们得到 $41 $40 = $3.399 2500.e250080.e 25030250008023040412.lnN. 25030250008023040412.lnN.Dr. Fan37Black-Scholes模型模型 看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值） 股票价格的概率分布股票价格的概率分布 期权价格的解期权价格的解)0 ,()(TtTrSXMaxEeptTtTSST),)(2(lnln2)()(12)(dNSdNXeptTrtTtTrXSd)(2/()/ln(21tTt

38、TrXSd)(2/()/ln(22Dr. Fan38 对对B-S公式理解公式理解 （1）N(d2)是在风险中性世界中是在风险中性世界中ST大于大于X的的概率，即是欧式看涨期权被执行的概率；概率，即是欧式看涨期权被执行的概率； Xe-r(T-t) N(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。 SN(d1)e-r(T-t) STN(d1)是是ST的风险中性期望的风险中性期望值的现值。值的现值。 它代表这么一个变量，它代表这么一个变量，ST大于大于X时，该变量等于时，该变量等于ST ，其余时候取值为，其余时候取值为0 。Dr. Fan39 （2）N(d1)是复制交易策略中股票的数

39、是复制交易策略中股票的数量，量，SN(d1)就是股票的市值。就是股票的市值。 -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价则是复制交易策略中负债的价值。值。 （3）从金融工程的角度来看，欧式看涨期权）从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权(Assetornoting call option)多头和现金或无价值多头和现金或无价值看涨期权看涨期权(cashornothing option)空头。空头。 Dr. Fan40 在标的资产无收益情况下，由于在标的资产无收益情况下，由于Cc，因此上式，因此上式也给出了无收益资产美式看涨期权

40、的价值。也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式： pXe-r(T-t) N(-d2)SN(-d1)Dr. Fan41Black-Scholes模型模型 看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）看跌期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值） 股票价格的概率分布股票价格的概率分布 期权价格的解期权价格的解)0 ,()(TtTrSXMaxEeptTtTSST),)(2(lnln2)()(12)(dNSdNXeptTrtTtT

41、rXSd)(2/()/ln(21tTtTrXSd)(2/()/ln(22Dr. Fan42 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式。一个精确的解析公式。 美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。Dr. Fan4313.6 期权方程的性质期权方程的性质S的大小的大小 当当S很大时很大时 d1和和d2都很大，从而都很大，从而N(d

42、1)和和N(d2)都接近都接近1 则则cSXe-r(T-t) d1和和d2都很大，从而都很大，从而N(-d1)和和N(-d2)都接近都接近0 则则p000 当当S很小时很小时 d1和和d2都很小，从而都很小，从而N(d1)和和N(d2)都接近都接近0 则则c000 d1和和d2都很小，从而都很小，从而N(-d1)和和N(-d2)都接近都接近1 则则pXe-r(T-t) S Dr. Fan44期权方程的性质期权方程的性质S的方差的方差接近接近0 Ser(T-t)X 0 则则ln(S/X)+r(T-t)0，d1和和d2均趋于无穷大均趋于无穷大 看涨期权的价格看涨期权的价格 cSXe-r(T-t)

43、看跌期权的价格看跌期权的价格 p0 含义：当股票价格没有波动风险，并且在将来肯定大于施权价时，含义：当股票价格没有波动风险，并且在将来肯定大于施权价时，看涨期权等于价差的折现值，看跌期权没有价值。看涨期权等于价差的折现值，看跌期权没有价值。 Ser(T-t)X 0 则则ln(S/X)+r(T-t)0，则查表所得概率应加上0.5； 如果d S(tn)DnXe-r(T-tn) 如果如果 S(tn)DnXe-r(T-tn) S(tn)X 期权就不会被执行，此时期权就不会被执行，此时Dn S(ti)X 则期权不会被执行，此时则期权不会被执行，此时Di X1-e-r(ti+1ti)Xr(ti+1ti)0

44、t1t1tn期权到期期权到期D1D2DnDr. Fan62示例：美式期权示例：美式期权 某股票某股票美式美式看涨期权将在看涨期权将在6个月后到期，该股票将在个月后到期，该股票将在2个月个月和和5个月后分别发放个月后分别发放0.5元的红利。股票现价元的红利。股票现价40元，施权价元，施权价40元，无风险利率为元，无风险利率为9%，股票价格年度标准差为，股票价格年度标准差为30%，问，问该期权的价值为多少？该期权的价值为多少？首先计算首先计算X1-e-r(t2t1)40(1e-0.09(5-2)/120.89X1-e-r(Tt2) 40(1e-0.09(6-5)/120.300.50D2所以，期权

45、会在第二次发红利时（所以，期权会在第二次发红利时（5个月后）被执行。个月后）被执行。假设存在一个欧式看涨期权，期限还有假设存在一个欧式看涨期权，期限还有5个月，个月，2个月后发放一次红利，个月后发放一次红利，其他条件与本题相同。这个期权在价值上应该等同于其他条件与本题相同。这个期权在价值上应该等同于5个月以后执行个月以后执行的美式期权。经计算得出此欧式期权价值为的美式期权。经计算得出此欧式期权价值为3.52。Dr. Fan63例例2 假设一种假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的个月后各有一个除权日，每

46、个除权日的红利期望值为红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为元，标的股票当前的市价为50元，元，期权协议价格为期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年元，标的股票波动率为每年30，无风险连续复利年利率为，无风险连续复利年利率为10，求该期权的，求该期权的价值。价值。 Dr. Fan64 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：美式看涨期权不能提前执行的条件是： 1 )(1iittrieXDDr. Fan65 在本例中，在本例中，D1=D21.0元。元。 第一次除权日前不等式右边为第一次除权日

47、前不等式右边为 X1-e-r(t1-t2)50(1e0.10.5)2.4385 由于由于2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不元，因此在第一个除权日前期权不应当执行应当执行. 第二次除权日前不等右边为：第二次除权日前不等右边为： X1-e-r(T-t2)50(1e0.10.0833)0.4148 由于由于0.41481.0元，因此在第二个除权日前有可能元，因此在第二个除权日前有可能提前执行提前执行 然后，要比较然后，要比较1年期和年期和11个月期欧式看涨期权价格。个月期欧式看涨期权价格。 Dr. Fan66 对于对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：年期欧式看涨期权来说，由于

48、红利的现值为： 1.0e-0.10.4167十十1.060.10. 91671.8716元元 因此因此S=48.1284，代入式，代入式(10)得：得： c1248.1284N(d1)一一50e0.11N(d2)48.1284 N(d1)一一45.2419 N(d2) 其中其中 d1 = 1 n ( 4 8 . 1 2 8 4 5 0 ) 十十 ( 0 . 1 十十 0 . 0 9 2)1 /0.31= 0.3562 d2=0.3526-0.310.0562 由于由于N(0.3562)0.6392 N(0.0562)0.5224 c1248.12840.639245.24190.52247.1

49、293元元Dr. Fan67 对于对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：值为： 1.0e-0.10.4167=0.9592元元 因此因此S=49.0408元，代入式元，代入式(10)得得 c1 149.0408N(d1)一一50e 0 . 1 0 . 9 1 6 7N(d2)49.0408N(d1)一一45.6203N(d2) 其中：其中： d1 = 1 n ( 4 9 . 0 4 0 8 5 0 ) 十十 ( 0 . 1 十十 0 . 0 9 2)0.9167 /0.30.9167= 0.3952 d2=0.3952-0.30.91677.

50、2824 c1149.04040.653645.62030.5437.2824 由于由于C11C12， 因此该美式看涨期权价值近似为因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元元 Dr. Fan68 2、美式看跌期权、美式看跌期权 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。它也只能通过较复杂的数值方法来求出。Dr. Fan6913.10BS模型存在的主要

51、问题模型存在的主要问题 中心思想中心思想: 在已知股票价格未来分布的假设下，可在已知股票价格未来分布的假设下，可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险，而期权的价格就等于动态复制所收益进行避险，而期权的价格就等于动态复制所需的成本。需的成本。 BS 模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设，导致涉及一些与实际环境不相吻合的假设，导致BS 模模型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距，型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距，因此该模型价格只能作为参考价格。因此该

52、模型价格只能作为参考价格。Dr. Fan70B-S模型模型 理论价格与实际价格不符合的两个因素：理论价格与实际价格不符合的两个因素： 1、交易成本与交易的不连续性。、交易成本与交易的不连续性。 BS模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的, 因此人们可以不因此人们可以不断调整断调整delta来执行避险策略（即构造无风险组合）。来执行避险策略（即构造无风险组合）。 实务中，这种做法将导致累积交易成本很高，因此只能采取间断性交实务中，这种做法将导致累积交易成本很高，因此只能采取间断性交易易降低了交易成本，但误差也随之而来。降低了交易成本，但误差也随之而来

53、。 2、股价分布与波动率。、股价分布与波动率。 BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同，根据模型得到的模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同，根据模型得到的delta也就不准确，这也造成动态复制的成本偏离期权价格。也就不准确，这也造成动态复制的成本偏离期权价格。 Dr. Fan71B-S模型模型 针对针对BS 模型的这些与实际不符的假设条件，修正与推广模型的这些与实际不符的假设条件，修正与推广主要地可分为两类：主要地可分为两类： (1)不完美市场，包括引入交易成本及非连续避险；不完美市场，包括引入交易成本及非连续避险； (2)股价收益率及波动率分布过程，采用与股价收益率及波动率分布过程

54、，采用与BS 模型不同的假设。模型不同的假设。 也存在其它一些修正，如针对也存在其它一些修正，如针对BS 模型中利率固定模型中利率固定的假设，引入随机利率模型等（默顿）。的假设，引入随机利率模型等（默顿）。 Dr. Fan72不完美市场不完美市场 Leland(1985) 开创性地提出对开创性地提出对BS模型采用一种修模型采用一种修正的波动率，来解决交易成本带来的避险误差问正的波动率，来解决交易成本带来的避险误差问题。题。 其基本思想是：其基本思想是： 在连续时间的在连续时间的BS模型框架下，假设在给定的时间间隔模型框架下，假设在给定的时间间隔进行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本的因进

55、行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本的因素，使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对素，使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对BS公式做出修正，使之仍可应用于避险操作。公式做出修正，使之仍可应用于避险操作。 Dr. Fan73股价收益率及波动率分布股价收益率及波动率分布 BS模型假设：模型假设：S服从几何布朗运动，波动率为常数。服从几何布朗运动，波动率为常数。 然而，实证研究表明，然而，实证研究表明，BS模型并不能很好的刻划股价模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征：波动率的以下几方面的特征： （1）波动率微笑）波动率微笑 （2）厚尾）厚尾 （fat tail）分布）

56、分布（3）群聚现象）群聚现象（4）均值回复）均值回复 （5）杠杆作用）杠杆作用（6）其他经验特征）其他经验特征，如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、，如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达效应等。分红效应、溢出效应、信息到达效应等。 （7）在我国还需考虑：）在我国还需考虑：卖空、涨跌幅限制、买卖价差卖空、涨跌幅限制、买卖价差 注：注： 波动率微笑：根据波动率微笑：根据BS模型假设，波动率应该与执行价模型假设，波动率应该与执行价无关且是常数，而实际上隐含波动率作为执行价格的函无关且是常数，而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。见数曲线呈现两头上

57、翘的形态。见CH18(7th)或或CH16(6th)。 群聚现象群聚现象 : 即波动率一个时期高而另一个时期低，且在即波动率一个时期高而另一个时期低，且在不同时期间的变换是不可预测的不同时期间的变换是不可预测的. 均值回复均值回复: 波动率围绕一个常数值震荡，意味着波动率波动率围绕一个常数值震荡，意味着波动率倾向于回到长期均值的水平倾向于回到长期均值的水平 . 杠杆作用杠杆作用: 波动率与股价运动之间存在负相关关系波动率与股价运动之间存在负相关关系 .Dr. Fan74Dr. Fan75股价收益率及波动率分布股价收益率及波动率分布 Merton（1976）提出股价路径应是一个跳跃扩散过程。）提

58、出股价路径应是一个跳跃扩散过程。 如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。 利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动，用利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动，用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃，并且假设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机的跳跃，并且假设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机方程可得出期权定价公式。方程可得出期权定价公式。Dr. Fan76

59、股价收益率及波动率分布股价收益率及波动率分布 对于对于BS 模型中波动率为常数的修正，大致上可根据所指模型中波动率为常数的修正，大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类：定的波动率函数的特点分为两类： （1）确定性波动率模型：这类模型是将波动率作为标的股）确定性波动率模型：这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的函数，主要包括方差弹性为常数的票价格水平的函数，主要包括方差弹性为常数的CEV （不（不变方差弹性）模型；变方差弹性）模型； （2）随机波动率模型：它们假设波动率服从一个随机过程。）随机波动率模型：它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。

60、这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。 13.11权证的估值权证的估值权证的种类权证的种类认购权证认售权证1.按权利行使方向2. 按行使期间欧式权证美式权证3. 按发行人股本权证备兑权证由上市公司发行，行权后增加股份公司的股本由标的资产发行人以外的第三方(如券商等金融机构)发行，认兑的股票是已经上市流通的股票，不会造成总股本的增加。Dr. Fan78认股权证的价值认股权证的价值认购权证与看涨期权的一个不同点：认购权证与看涨期权的一个不同点：看涨期权执行时，公司股票数量不会发生变化；看涨期权执行时，公司股票数量不会发生变化；而权证（以及雇员股票期权）行权时，公司必须发行更多股票，再