电磁场与电磁波基础()

1、第第4 4章章 矢量位与标量位矢量位与标量位 相对于电场与磁场的研究来说，有时先去研究相对于电场与磁场的研究来说，有时先去研究一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定一个位函数可能会容易很多，当然这个位函数一定是与场有关的，比如对这个位函数的微分即可得到是与场有关的，比如对这个位函数的微分即可得到场。下面我们将要来寻找这种适合于电场和磁场的场。下面我们将要来寻找这种适合于电场和磁场的位函数，本章所得到的结果将成为我们分析电场和位函数，本章所得到的结果将成为我们分析电场和磁场时的基本方法。磁场时的基本方法。 1. 1. 矢量位与标量位的导出矢量位与标量位的导出4. 4. 动态位（滞后位）的概

2、念动态位（滞后位）的概念 重点重点：3. 3. 矢量位与标量位满足的波动方程矢量位与标量位满足的波动方程 2. 2. 洛伦兹规范洛伦兹规范 ，库仑规范，库仑规范5. 5. 介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6. 6. 李纳李纳威谢尔位函数威谢尔位函数 4.1 矢量位矢量位 A0B0B根据麦克斯韦第三方程根据麦克斯韦第三方程0B任意矢量的旋度的任意矢量的旋度的散度恒等于零散度恒等于零 以及以及令令 BA 则有则有()0BA 于是我们就得到了一个关于磁场于是我们就得到了一个关于磁场 的位函数的位函数 ，但在这里，但在这里， 是一个无约束的任意矢量。是一个无约束的任意矢量。 BAA4.2 标量

3、位标量位 根据麦克斯韦第二方程根据麦克斯韦第二方程BEt 令令 BA 则有则有AEt 所以所以AEt 更一般地，如果 是一个矢量函数，并且 ，则有AEt 0保证保证 的唯一方法是的唯一方法是 0令令 其中其中 是一个标量位函数是一个标量位函数 即即AEt 这里这里 也是无约束的任意标量位函数也是无约束的任意标量位函数 在非时变（静态）情况下在非时变（静态）情况下, ,上式变为上式变为 E 4.3 4.3 用位函数用位函数 和和 表示的非均匀波动方程表示的非均匀波动方程 A两个位函数两个位函数 和和 描述如下描述如下 BAAEt A21Act 因为因为 是任意矢量，因此，我们选定是任意矢量，因此

4、，我们选定 A这时有这时有2222201AJActc 222222011()AJAActcct 将这些结果代入到将这些结果代入到麦克斯韦第四方程麦克斯韦第四方程中去，可得中去，可得 这是一个关于这是一个关于 的三维波动方程，这个方程被称为达朗贝尔的三维波动方程，这个方程被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。方程，方程右边为场源。 A 而将我们所选定的条件而将我们所选定的条件 21Actt 称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，它是目前我们对于称为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，它是目前我们对于 和和 所采用的约束。所采用的约束。A220221/ct 另外：再将两个位函数的描述代入到麦克斯韦第一方程中另外：

5、再将两个位函数的描述代入到麦克斯韦第一方程中去，在洛伦兹规范下可得去，在洛伦兹规范下可得 这是一个关于这是一个关于 的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。尔方程，方程右边为场源。 接下来的任务就是要在给定接下来的任务就是要在给定 和和 的情况下求解这两个的情况下求解这两个方程方程 。 J库伦规范库伦规范 0A这时这时 和和 所满足的微分方程又将是另一种形式，所满足的微分方程又将是另一种形式， A即为即为22000002()AAJtt 20 4.4 4.4 利用场源利用场源 和和 求解位函数求解位函数 和和 JA 如图所示，对于静态点

6、电荷来说，有如图所示，对于静态点电荷来说，有0( )4qRR01( )4VRdVR即即在计算空间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述在计算空间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述与与 有关的空间变量：假设这个矢量为有关的空间变量：假设这个矢量为 ，同时，将，同时，将 写成写成 ，如图：，如图：()pr( )r所以所以0( )1( )4pVprrdVrr一般情况下一般情况下, , pRrr这样就得到了静态场中的解。这样就得到了静态场中的解。 将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，由于将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，由于 和和不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度不是在同一个

7、点，并且由于电磁场是以一个极限速度( (光速光速C) C) 在扰动传播的，所以点在扰动传播的，所以点 处的场在时间上将会早于电处的场在时间上将会早于电荷分布的时间荷分布的时间 。 r t 称为延迟时间，场从称为延迟时间，场从源点传播到场点所经历源点传播到场点所经历的时间是的时间是 t/pttrrc运动电荷的分布则为运动电荷的分布则为 0(,| / )1( , )4|pppVr trrcr tdVrr上面的分析说明，在时刻上面的分析说明，在时刻t t，空间某点所观察到的矢量位，空间某点所观察到的矢量位 和标量位和标量位 是由是由 时刻的电流或电荷产生的，时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某

8、点并不会立刻感受到波源的影响，而也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间是要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数的位函数 和和 称为动态位或滞后位。称为动态位或滞后位。 AA/prrc(/ )ptrrc20( ,|/ )1( , )4|pppVJ r trrcA r tdVcrr根据上述关系我们可以写出对应根据上述关系我们可以写出对应 的表达式的表达式 A 运动的点电荷存在着标运动的点电荷存在着标量位和矢量位，在对这些位量位和矢量位，在

9、对这些位函数进行有效的计算时必须函数进行有效的计算时必须用电荷分布的极限值（体积用电荷分布的极限值（体积趋近于零）来代替点电荷。趋近于零）来代替点电荷。计算积分所面临的困难是这计算积分所面临的困难是这些积分都与延迟体积些积分都与延迟体积 V V 和在和在t t时刻的当前体积时刻的当前体积 V V 有有关，每一个延迟体积关，每一个延迟体积 V V 的体积元的体积元 dV dV 都与相对应都与相对应的运动电荷或电流分布的当的运动电荷或电流分布的当前体积的体积元前体积的体积元 dV dV 有关，有关，如图所示如图所示 。 4.5 4.5 李纳李纳威谢尔位函数威谢尔位函数 可以利用雅可比行列式将体积元可以利用雅可比行列式将体积元dVdV和和dVdV的关系进行对应的转的关系进行对应的转换，即换，即 dVgdV雅可比行列式为雅可比行列式为(,)(,)ppppppppppppppppppppppppxyzxxxxyzxyzgxyzyyyxyzzzz转换后转换后 可得到如下位函数可得到如下位函数 01( )()41/ pqrRv tnc这两个式子被称为相对于运动点电荷的李纳这两个式子被称为相对于运动点电荷的李纳威谢尔威谢尔（Lienard-WiechertLienard-Wiechert）位函数）位函数 201( )( , )()41/ pqv