现代控制理论-17

1、现代控制理论Modern Control Theory(17)俞 立浙江工业大学 信息工程学院第第7章章 线性二次型最优控制线性二次型最优控制 设计控制器，使得闭环系统是稳定的；闭环系统具有给定的动态和稳态性能。方法：方法：极点配置；问题问题：根据性能决定极点，依赖模型 不是很直接阶跃响应y(t) 其性能可以用图中的阴影部分面积的大小来描述 一般用平方项来处理对多个变量根据重要性，可以加权一般的形式T0dJtx Qx00 ( )y tr dt20( )x t dt22120( )( )xtxt dt12212120020( )( )0 xxtxt dtx xdtx二次型积分性能指标面积的大小可

2、以反映 系统是稳定的 上升时间、超调、调节时间、震荡等指标还存在的问题还存在的问题：没有考虑控制能量的消耗控制信号u的能量：多个控制信号的能量总和：还可以进行一定的加权。一般的同时考虑系统性能和控制能量要求：积分性能指标0TTd tJRuuQxxT0dJtx Qx20( )dutt22120( )( )utut dtT0dtu Ru7.1 二次型最优控制二次型最优控制系统状态空间模型：系统性能指标：Q和R为加权矩阵，由设计者选定。目的目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小称为是线性二次型最优控制问题、最优控制器Linear quadratic optimal control 许多实

3、际问题：最短时间问题 最小能耗问题 CxyBuAxx 0TTd tJRuuQxx系统状态空间模型：系统性能指标：需要回答的问题：问题的可解性？ 最优控制器设计？ 闭环系统性能？问题的解依赖于控制器的结构！最简单的控制器结构：状态反馈控制器：CxyBuAxx 0TTd tJRuuQxxKxu开环系统：在状态反馈控制律 下，导出的闭环系统是对应的性能指标是因此，最优控制问题通过优化技术来给出最优控制器的设计CxyBuAxx KxuxBKAx)(TT0() dJtxQK RK xTT0min() ds.t.()JtKxQK RK xxABK x探讨一种简单的求解方法。最优闭环系统应该是渐近稳定的，存

4、在李雅普诺夫函数其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数应该是负定的。PxxT)(xVTTd ( ) d ()()V tt xP ABKABKP xTT0min() ds.t.()JtKxQK RK xxABK x控制律对性能指标的影响：引进了更多关于反馈增益矩阵K的项，便于处理。 二次函数的极值当 时，二次函数达到极小值TT0() dJtxQK RK x222( )24bbf xaxbxca xcaa2bxa 24bca配平方法配平方法TT00dd()( ) d( )dddVtVtttxQK RK xxxTTTT00() ()()d ( )tttVtxQK RK xxP

5、ABKABKP xxTTTTTT000dtxQK RKPAA PPBKK B P xx Px类似于 的配平方思想代入到可得TTTK RKPBKK B PTTTTTT000dJtxK RKPBKK B PPAA PQ xx PxT1TT1T1T0TT00()() dJtxKR B PR KR B PPBR B PPAA PQ xx Px2axbxTTT1T1TK RKPBKK B PPBR B PPBR B P1TT1T1T()()KR B PR KR B PPBR B P进一步整理后，可得把可设计的增益矩阵K分离出来，便于极值问题求解！为使得性能指标J最小化，可选性能指标最小值是问题问题：增益

6、矩阵K和最优值依赖于矩阵P。矩阵P是李雅普诺夫函数中待定矩阵：如何选取呢？ttJd)()(dT10TT1T0T0T1T0TxPBRKRPBRKxxPxxQPBPBRPAPAxPBRKT10T0T1T0TdxPxxQPBPBRPAPAxtJT( )V x x Px根据性能指标选取正定矩阵P满足则性能指标的最小值 总结1、求解Riccati矩阵方程，如果有一个对称正定解矩阵P2、得到最优解3、性能指标最小值0T0T1T0TdxPxxQPBPBRPAPAxtJ0QPBPBRPAPAT1T0T0 xPxJRiccati方程方程1T uR B PxT00J x Px问题问题1、Riccati矩阵方程是否

7、一定有对称正定解啊？2、得到的矩阵P是否真正能成为闭环系统的李雅普诺夫 矩阵？即最优闭环系统是否是渐近稳定？定理：定理：若 能控，则Riccati方程存在对称正定解P， 从而状态反馈二次型最优控制问题可解。),(BA对象控制律：最优闭环系统：利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造沿闭环系统轨线，因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！xPBBRAx)(T1xPxxT)(VTTd ( )dVtxx Pxx PxxAxBu1T uR B PxT1T1TT ()()xP ABR B PABR B PP xTT1T1T()xPAA PPBR B PPBR B P xT1T()0

8、xQPBR B P x稳定化控制器设计方法稳定化控制器设计方法 基于李雅普诺夫稳定性理论的设计方法 适合于时变、非线性系统 推广到模糊控制、鲁棒控制、非线性控制等 极点配置方法 适合于线性定常系统 线性二次型最优控制方法 最优控制器就是一个稳定化控制器例例 考虑一阶系统：二次型性能指标：求系统的状态反馈最优控制律。解 模型参数 ，加权矩阵系统是能控的，故最优控制问题有解。 。由于要求对称正定解，故取最优状态反馈控制律：最优闭环系统：最小值依赖系统的初始状态 。uxx022d)(tuxJ1 BA1 QR0QPBPBRPAPAT1T0122 PP21P21PxPxBRu)21 (T1xx22000

9、(12)TJxx Px线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤：1。验证系统能控性；2。求解黎卡提方程： 非线性方程组，取对称正定解；3。由 构造最优反馈控制律。例例 性能指标：问题问题：求最优状态反馈控制器0QPBPBRPAPAT1TxPBRKxuT1u1x2xK过程tuJd)(20TxQx0,001Q)()(ttuKx对象的状态方程：1。系统是能控的。2。求解黎卡提方程：化简后，得到 0QPBPBRPAPAT1TuBAxx10,0010BA 0000001101100100001022121211221212112212121122121211pppppppppppppppp00000010

10、0002222212221221212111211pppppppppp0200122212221211212pppppp211222121211ppppP3。最优状态反馈控制律的增益矩阵：最优闭环系统：显然，它是渐近稳定的。 1T1112122212221 0112RppppppKB P212xxuKxxx2110系统：性能指标最优控制律MATLAB函数 K, P, E=lqr(A, B, Q, R)xAxBuKxuTT0()dJtx Qxu Ru7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制离散时间系统的线性二次型最优控制自治系统的离散时间模型假定系统渐近稳定，即矩阵A的所有特征值在单位圆内系统的

11、初始状态 是已知的。性能指标问题问题：如何计算系统的性能指标值？直接计算法，需要求无穷级数的和。)() 1(kkAxx)0(x0T)()(21kkkJQxx由于系统 是渐近稳定的，故对任意的对称正定矩阵Q，有对称正定解P，李雅普诺夫函数利用李雅普诺夫方程)() 1(kkAxxQPPAAT)()()(TkkkVPxxx( ( )( (1)( ( )VkVkVkxxxTT(1)(1)( )( )kkkkxPxxPxTT( )( )( )( )kkkkAxP AxxPxTT( )() ( )kkxA PAP x)1()()()(TkVkVkkxxQxx两边求和，并利用稳定性可得因此，其中的P是 的对称正定解矩阵。特点特点：通过求解一个代数方程来求得无穷级数的和！)0()0(21)1() 1()()(21)()(21T0TT0TPxxPxxPxxQxxkkkkkkkkJ)1()()()(TkVkVkkxxQxxTT0( )( )(0)(0)kkkxQxxPxQPPAAT系统的离散时间模型：二次型性能指标目的目的：设计一个状态反馈控制律使得性能指标 J 最小化。定理定理7.3.1 若（A, B）是能控的，则离散系统线性二次型最优控制问题有解，最优控制器是其中的矩阵P满足)