第2章动量守恒定律

1、实际问题中有时往往需要研究实际问题中有时往往需要研究一个过程的一个过程的积累效果。积累效果。牛顿定律是瞬时规律。牛顿定律是瞬时规律。若对过程的细节不感兴趣，只关心始末两个若对过程的细节不感兴趣，只关心始末两个状态的情况，于是从牛顿定律发展出新的研状态的情况，于是从牛顿定律发展出新的研究课题（牛顿定律的推论）。究课题（牛顿定律的推论）。有些过程的细节非常复杂，有些过程的细节非常复杂，如：碰撞问题（宏观），如：碰撞问题（宏观）， 散射问题（微观）。散射问题（微观）。力对时间的积累效应力对时间的积累效应力对空间的积累效应力对空间的积累效应对质点（质点系）对质点（质点系）- 动量（守恒）定理动量（守恒

2、）定理- 动能定理动能定理tF d sFd 平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变功功动能的改变动能的改变- 角动量（守恒）定理角动量（守恒）定理转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质点的质量与速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量： in1iin1iivmpp2-2-1 动量2-2-2 动量定理1质点的动量定理质点的动量定理 运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。 冲量是反映力对时间的累积效应。冲量：冲量：作用力与作用时间的作用力

3、与作用时间的乘积。乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI单位：单位：Ns牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFdtpdtmFd)(dv动量定理的微分式：动量定理的微分式：tFpdd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ttppootFpdd动量定理的积分式：动量定理的积分式：质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。等于质点动量的增量。00dvvmmpptFItto说明：说明：（1 1） 冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量

4、的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。分量形式进行计算。（2 2）ttzozzzttyoyyyxoxttxxooommtFImmtFImmtFIvvvvvvddd平均冲力：平均冲力：ttotFttFd10 tFttFI结论：结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。物体受到的平均冲力

5、越小；反之则越大。 海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。 2质点系的动量定理质点系的动量定理设设 有有n n个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第i个质点：个质点：外力外力iF内力内力if初速度初速度iov末速度末速度iv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：ioiiittiimmtfFovvdiFifF1f12m1m2f21F2 ioiiittiimmtfFovvd 0if其中：其中：系统总末动量：系统总末动量：iimPv系统总初动量：系统总初动量：ioimPv0合外力的冲量：合外力的冲量： ttitF0dPPPtFtti 00d微分式：微分式：

6、tPFidd质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。 例例1、质量质量m = 1kg的质点从的质点从o点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以圆周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 m。试求从。试求从 s到到 s这段这段时间内质点所受合外力的冲量。时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：o21221s211Rs222122sRs22ttsddv)(211smv)(212sm

7、v)smkg(211vm)smkg(212vm)(12vvvmmmI)(642(1222221smkgvv)vmmm)(69. 761smkgI22tan12vvmm44541vm2vm)( vm例例2. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I。（。（3）子弹的质

8、量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003. 010440035t（2）sN6 . 032104400d3104400d003. 0025003. 005tttttFI（3）0vmIg2kg002. 03006 . 0vIm00dPPtFtti 0iF0PP系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimPv条件：条件： 0iF说明：（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时

9、，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）动量守恒的分量式：动量守恒的分量式：常量常量常量iziziyiyixixmPmPmPvvv 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。例例3、火箭以火箭以2.5 103m/s的速率水平飞行，由控制器的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均，相对于火箭的平均速率为速率为103 m/s 。火箭容器仓质量。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器。求容器仓和头部仓相对于地面的速

10、率。仓和头部仓相对于地面的速率。解：解：v= 2.5103 m/svr= 103 m/s 头部仓速率为头部仓速率为v1 1，容器仓速率为，容器仓速率为v2 2 21vvvr2221221121)()(vvvvvvmmmmmmr132112sm1017. 2mmmrvvv1321sm1017. 3rvvv例例4. 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如。如果质量为果质量为mo的飞船以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘在由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系

11、。（设飞船为横截面面积在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：vvmm00质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmvttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd003vvvtSmmddd200vvvv1质心质心imO1m2mxyzCCr1rir2rnnncmmmrmrmrmr212211Mrmiicr设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系 质量：质量：m1、 m2、 mn，位矢：位矢： 、 、

12、 1r2rnriiicmxmxiiicmymyiiicmzmzmmxxcddmmyycddmmzzcdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。心都在它的几何中心。2质心运动定理质心运动定理iicrmrM质心位置公式：trmtrMiicddddiicmMvv质点系的总动量等于总质量与其质心运质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。动速度的乘积。 由质点系动量定理的微分式可得：由质点系动量定理的微分式可得：tMtmmttPFciiiiiddddddddvvvciaMF 作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量作用于质点系上的合外力等于质点系

13、的总质量与质心加速度的乘积。与质心加速度的乘积。系统在外力作用下，质心的加速度等于外系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。力的矢量和除以系统的总质量。（2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量, ,也也就不能改变质心的运动状态就不能改变质心的运动状态 。（1 1）扔出的一把搬子扔出的一把搬子（或一团乱麻）（或一团乱麻）运动员运动员（或爆炸的焰火）（或爆炸的焰火）例例5. 一段均匀铁丝弯成半径为一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求的半圆形，求此半圆形铁丝的质心

14、。此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长解：选如图坐标系，取长为为dl的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以以表示线密度，表示线密度，dm= dl.分析得质心应在分析得质心应在y轴上。轴上。RddlRymydlyc sin 注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。 2021sin1 RmRdRmyc RyRmc2 mxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参考原运动质点相对于参考原点点O O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：Kg m2s-12-3-1 质点的角动量sinsinvmrrpL 矢径矢径 和动量和动量 的

15、矢积方向的矢积方向vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动rpormprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。 质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点投影，称为质点对轴线的角动量对轴线的角动量。 LOALAcosLLA设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(质点系的角动量质点系的角动量L例例6、一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运的质点沿着一条空间曲线

16、运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：动，该曲线在直角坐标下的矢径为：jtbi tarsincos其中其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。皆为常数，求该质点对原点的角动量。jtbi tarsincosjtbi tadtrdvcossin vmrL解：已知解：已知ktmabktmab22sincos kmab 质点的角动量质点的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd0ddpptrv式中式中FtpddFrtLdd1力对参考点的力矩力对参考点的力矩 质点角动量的改变不仅与所受的作用力质点角动量的改变不仅与所受的作用力 有有关，而且与参考点关，而且与

17、参考点O到质点的位矢到质点的位矢 有关。有关。 rF定义：定义：外力 对参考点O的力矩：FxyzrOMF力矩的大小：力矩的大小：sin0rFM FrM0mN力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rF方向：右手法则方向：右手法则大小：大小： sinrFM 图中图中 r0称为力臂。称为力臂。 sin0rr 0rFM FrMrMFm0 0r称为力矩（对固定点）称为力矩（对固定点）设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为： nrrr,21相对

18、于参考点相对于参考点O的合力的合力矩为：矩为：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF2力对轴的力矩力对轴的力矩OAAMOM力力 对轴的力矩：对轴的力矩： F力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。FOMcosOAMMAOrFF/FMFrFrM/FrM力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： FtLMdd0120d21LLtMtt质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：角动量定理的积分

19、式：21d0tttM称为称为“冲量矩冲量矩”质点系的角动量：质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptr上式中上式中iiiiifFrtprdd0iifr上式中上式中iiiifrFrtLdd合内力矩为零合内力矩为零tLFrMiidd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理：质点系角动量定理： 质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tLMzzdd质点

20、系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量间内的角动量的增量 。如果如果0M则则恒矢量L质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对系统所受外力对z z轴力矩的代数和等于零，轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量

21、守恒。则质点系对该轴的角动量守恒。 恒量zL0zM 角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。 证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证证1v2v2r1rLFmr所以地球人造卫星所以地球人造卫星在近地点速度大，在近地点速度大，在远地点速度小。在远地点速度小。1970年年 ，我国发射，我国发射了第一颗地球人造了第一颗地球人造卫星。卫

22、星。近地点高度为近地点高度为 266 km, 速度为速度为 8.13 km/s;远地点高度为远地点高度为 1826 km, 速度为速度为 6.56 km/s;计算出椭圆的面积计算出椭圆的面积,根据根据“扫面速度扫面速度”,就可以得到绕行周期为就可以得到绕行周期为 106分钟。分钟。例例7.7. 两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后 右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。 问：哪一个小孩先到达滑轮？问：哪一个小孩先到达滑轮？设滑轮半径为设滑轮半径为R R，两小孩，两小孩的质量分别为的质