第4章第二次课常俊林

1、中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理1 广义根轨迹是指根轨迹参数除了根轨迹增益之外的广义根轨迹是指根轨迹参数除了根轨迹增益之外的所有根轨迹。所有根轨迹。(1) 参数根轨迹，参数根轨迹，(2) 开环零点个数大于开环极点个数的开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，根轨迹，(3)具有正反馈内环的零度根轨迹，等等。具有正反馈内环的零度根轨迹，等等。1. 参数根轨迹参数根轨迹 以非根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹以非根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念引入等效开环传递函数的概念4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹0)()(10)()()()(1sQsPAsAPsQs

2、HsG1)()(sQsPAA为除为除K*外，系统任意变化的参数外，系统任意变化的参数注意：等效意义在于特征方程相同，而此时闭环零点是不同的。注意：等效意义在于特征方程相同，而此时闭环零点是不同的。等效开环传递函数等效开环传递函数中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理2课后习题课后习题4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为)(4)(asssG4)(4)(1)()(asssGsGs0)4(4)(2assass0412sas等效等效开环开环传递函数：传递函数：4)(21sassGassassGsGs4)(1)()(2111等效后的等效后的闭环闭环传递函数

3、：传递函数：绘制以绘制以a为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理3系统系统II和系统和系统III具有相同的开环传递函数具有相同的开环传递函数) 15()1 ( 5)()(sssTsHsGD) 15(1ss5R(s)CI(s) 15(1ss5(1+Tds)R(s)CII(s)1+Tds) 15(1ss5R(s)CIII(s)系统I系统II系统IIIII5 1( )(51) 5(1)DDT sss sT s（）III1( )(0.2) (1)Dss sT s4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹1(0.2)(1)DDT

4、 ss sT 中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理40)1 ()0.2(sTssD01)0.2(sTssD01)0.2(1sssTD1)0.2()()(sssTsHsGD 以等效的开环传递以等效的开环传递函数绘制根轨迹函数绘制根轨迹0,995. 01 . 0,995. 01 . 0121zjpjpMatlab命令：命令：num=1 0den=1 0.2 1rlocus(num,den)4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理5-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

5、0.20.40.60.81Root LocusReal AxisImaginary Axis-0.1-10j4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 System: sys Gain: 0.8 Pole: -0.499 + 0.865i Damping: 0.5 Overshoot (%): 16.3 Frequency (rad/sec): 0.999 Root LocusReal AxisImaginary Axis4-3

6、4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理7d0.50.87 T0.8j该闭环极点近似等于4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理8)87. 05 . 0)(87. 05 . 0(0.81)(IIjsjsss在根轨迹图上找出阻尼在根轨迹图上找出阻尼比等于比等于0.5的闭环极点为的闭环极点为87. 05 . 087. 05 . 0jj0.8dT 于是：于是：)87. 05 . 0)(87. 05 . 0(1)(IIIjsjss) 15(1ss5R(s)CI(s) 15(1ss5(1+Tds)R(s)CII(s)

7、1+Tds) 15(1ss5R(s)CIII(s)系统I系统II系统III4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理9)87. 05 . 0)(87. 05 . 0(0.81)(IIjsjsssIII1( )(0.50.87)(0.50.87)ssjsj用用Matlab绘制它们的单位阶跃响应，命令如下：绘制它们的单位阶跃响应，命令如下：系统系统IInum=0.8 1；den=conv(1 0.5+0.87i, 1 0.5-0.87i)；step(num,den)；系统系统IIInum=1；其他同系统其他同系统II4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹

8、中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理10 闭环零点的存在，将使得系统的峰值时间提前，这相当与闭环零点的存在，将使得系统的峰值时间提前，这相当与减少了闭环系统的阻尼，从而使得系统的超调量加大。减少了闭环系统的阻尼，从而使得系统的超调量加大。4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理112、附加开环零点的作用、附加开环零点的作用4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹(1) 附加适当的开环零点附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为设开环传递函数为)22()()()(21*ssszsKsHsG 是附加的开

9、环实数零点，其值可在是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择左半平面内任意选择，当，当 时，表明不存在有限零点时，表明不存在有限零点。1z1z令令 为不同的数值，对应的根轨迹见为不同的数值，对应的根轨迹见P.159 图图4-22所示：所示：（a）无开环零点；（）无开环零点；（b） ；（；（c） （d）中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理12P.159 图图4-224-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理13(2)(2)附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改

10、善系统的动态性能。善系统的动态性能。1z0j1p3p2p3s2s1s0j3s3p2p1p2s1s1znn结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能才有可能使系统的使系统的稳定性稳定性和和动态性能动态性能同时得到明显的改善同时得到明显的改善。4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理144-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析1. 主导极点 利用根轨迹求出系统的闭环极点、零点后，可以定性地分析或定量地估算系统的性能。设系统闭环传递函数)22)(10(20)(2ssss系

11、统的闭环极点系统的闭环极点12,310,1ppj 单位阶跃响应单位阶跃响应)129cos(55. 1024. 01)(10ottteeth)129cos(55. 11)(otteth近似结果近似结果jp13,2主导极点主导极点101p非主导极点非主导极点中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理152. 偶极极子4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析一对相距很近的闭环零点、极点。 如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点，则它们对如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点，则它们对动态性能的影响可以忽略不计。动态性能的影响可以忽略不计。)22)()(2)(2ssasasaas

12、闭环极点闭环极点12 ,3,1papj 闭环零点闭环零点az1一对偶极子一对偶极子0ap1az1)135sin(2)22)(21)(中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理164-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析如果偶极子十分接近原点，即如果偶极子十分接近原点，即0a)135sin(2)22)(21)(2otatteeaaath( )12sin(135 )toh teta因此，靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。因此，靠近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。偶极子的确定：偶极子的确定：闭环零、极点之间的距离比它们到闭环零、极点之间的距离比它们到其他极点的其他

13、极点的距离距离及其及其自身的模值自身的模值小一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极小一个数量级，这对闭环零、极点构成偶极子。子。0.50.01,0.010.010.01,中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理174-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析从闭环零、极点分布，系统性能的定量估算系统性能从闭环零、极点分布，系统性能的定量估算系统性能)22)()(2)(2ssasasaas1)0(简化后简化后)22(12)(2ssaas1)0(错误错误22()(22 )中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理18分离点分离点d=-0.423分离点处所对应的根轨迹增益为：分离

14、点处所对应的根轨迹增益为：*120.4230.42310.42320.38Kddd 3.系统性能的定性分析4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理19mjjniizspsK11*模值条件模值条件: :111*niimjjpszsK如果没有开环零点如果没有开环零点: :111*niipsKniipsK1*4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理20*( )(1)(2)KG ss ss*( )( )1( )(1)(2)G sKsG ss ssK 023*23Ksss38. 00* K4-4

15、4-4 系统性能的分析系统性能的分析( )1H s 中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理21)154. 2)(423. 0)(423. 0(0.380.38230.38)2)(1(23*ssssssKsssKMatlab命令：命令：num=0.38den=1 3 2 0.38step(num,den)0246810121416182000.511.5Step ResponseTime (sec)Amplitude0.38*K4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理22Matlab命令：命令：num=1den=1 3 2 0

16、r=rlocus(num,den，2)r = -2.5214 -0.2393 + 0.8579i -0.2393 - 0.8579i)0.8642 . 0)(0.86-42 . 0)(2.52(22232)2)(1(23*jsjsssssKsssK2*K4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理232232)2)(1(23*sssKsssKMatlab命令：命令：num=2den=1 3 2 2step(num,den)051015202500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitud

17、e4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理246*K)2-)(2)(3(66236) 2)(1(23*jsjsssssKsssKMatlab命令：命令：num=6den=1 3 2 6step(num,den)0510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.82Step ResponseTime (sec)Amplitude4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理256*KMatlab命令：命令：num=10den=1 3 2 10step(num,de

18、n)051015-8-6-4-202468Step ResponseTime (sec)Amplitude4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理2638. 00* K闭环系统具有闭环系统具有3 3个负实数根，系统没有振荡个负实数根，系统没有振荡的动态分量，阶跃响应呈现的动态分量，阶跃响应呈现过阻尼状态过阻尼状态。4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理2738. 0*K4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理2860* K闭环

19、系统具有闭环系统具有1 1个实数根和一对共轭复数根，个实数根和一对共轭复数根，它们均位于复平面左半部，系统有衰减振荡的它们均位于复平面左半部，系统有衰减振荡的动态分量，阶跃响应呈现动态分量，阶跃响应呈现欠阻尼状态欠阻尼状态。4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理296*K4-4 4-4 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理306*K闭环系统具有复平面右半部的根，系统有发散闭环系统具有复平面右半部的根，系统有发散的动态分量，此时的系统为的动态分量，此时的系统为不稳定系统不稳定系统。4-4 4-4

20、 系统性能的分析系统性能的分析中国矿业大学信电学院 常俊林自动控制原理自动控制原理31（4）调节时间：）调节时间：主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对主要取决于闭环复数主导极点的实部绝对值值 ，如果是实数极点距虚轴最近，附近没有实数零点，如果是实数极点距虚轴最近，附近没有实数零点，取决于该极点的模值。取决于该极点的模值。n1（1）稳定性：）稳定性：闭环极点全部位于左半闭环极点全部位于左半S平面平面 系统稳定性与闭环极点有关，与闭环零点无关。系统稳定性与闭环极点有关，与闭环零点无关。（2）运动形式：）运动形式：闭环系统无零点，且闭环极点均为实数，时间闭环系统无零点，且闭环极点均为实数，时间响应一定是单调的；若闭环极点均为复数，时间响应一般是振响应一定是单调的；若闭环极点均为复数，时间响应一般是振荡的。荡的。（3）超调量：）超调量：超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 并与其它闭环零、极点接近坐标的程度有关。并与其它闭环零、极点接近坐标的程度有关。211/d闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响，归纳为：闭环系统零、极点位置对时间响应性能指标的影响，归纳为：4-4