华东理工大学《通信原理》第三章(随机信号b)

1、1第二章第二章 随机信号分析随机信号分析2.1 引言引言2.2 随机过程的一般表述随机过程的一般表述2.3 平稳随机过程平稳随机过程2.4 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5 高斯过程高斯过程2.6 窄带随机过程窄带随机过程2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统22.1 引言引言随机信号随机信号如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种就称为随机信号。全预知，这种就称为随机信号。随机噪声随机噪声通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声，简通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声，简称噪声。称噪声

2、。随机噪声和随机信号统称为随机过程。随机噪声和随机信号统称为随机过程。3v几个术语几个术语p试验试验：在力所能及的条件下，尽量保持相同条件：在力所能及的条件下，尽量保持相同条件下的一系列测试（测量）。下的一系列测试（测量）。p随机试验随机试验：在相同的条件下可以重复进行；试验：在相同的条件下可以重复进行；试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；在一次试验结束之前，不能确定哪一个能结果；在一次试验结束之前，不能确定哪一个结果会出现。结果会出现。p样本点样本点：随机试验的每一个试验结果，成为样本：随机试验的每一个试验结果，成为样本点；样本点通

3、常可用一个自变量为时间点；样本点通常可用一个自变量为时间t的函数的函数xk(t)来表示，即来表示，即样本函数样本函数。 p样本空间样本空间：一个随机试验全体样本点构成的集合：一个随机试验全体样本点构成的集合，成为随机试验的样本空间。成为随机试验的样本空间。4例：热噪声电压例：热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒子的随机热骚动电子元件或器件由于内部微观粒子的随机热骚动所引起的端电压就是热噪声电压。所引起的端电压就是热噪声电压。通过某种装置对电阻两端的热噪声进行长时间的通过某种装置对电阻两端的热噪声进行长时间的测量测量做一次实验，就可以得到一个电压做一次实验，就可以得到一个电压时间函数时间函数V

4、1(t)如果再相同条件下再做一次测量，则得到的如果再相同条件下再做一次测量，则得到的V2(t)(可以设想为在相同条件下同时对无限多个可以设想为在相同条件下同时对无限多个相同的电阻做测量的结果）相同的电阻做测量的结果）可以用电阻所可能产生的一族（不可列个）电可以用电阻所可能产生的一族（不可列个）电压压时间即时间即Ve(t)来描述热噪声电压的变化过程来描述热噪声电压的变化过程5V1(t)tV2(t)tVk(t)t6定义一个函数定义一个函数V(e,t)，如果，如果e表示的是第一次表示的是第一次试验，试验， V(e,t)= V1(t)；如果如果e表示的是第二次表示的是第二次试验，试验， V(e,t)=

5、 V2(t)。当。当e取遍所有的试取遍所有的试验的时候，就得到了一族关于时间的函数。验的时候，就得到了一族关于时间的函数。这一族函数的集合就称为样本空间。这一族函数的集合就称为样本空间。 V(e,t)就称为随机过程；而族中的每一个函数就称就称为随机过程；而族中的每一个函数就称为该随机过程的样本函数。为该随机过程的样本函数。7随机过程随机过程随机试验随机试验E的可能结果为的可能结果为 (s,t)，试验的样本空间，试验的样本空间S为为x1(t)、 x2(t) xi(t), xi(t)为第为第i个样本函数，每次实验个样本函数，每次实验之后，之后， (s,t)为样本空间为样本空间S中的某一个样本函数。

6、我们将中的某一个样本函数。我们将时间和样本空间时间和样本空间上的二元函数上的二元函数 (s,t)称之为随机过程，简称之为随机过程，简记为记为 (t) 。当。当t固定时，固定时， (s,t)是定义在样本空间上的随机是定义在样本空间上的随机变量；样本空间中的任一样本为时间域上随机过程的样变量；样本空间中的任一样本为时间域上随机过程的样本函数。本函数。几个基本概念几个基本概念随机过程随机过程：所有样本函数的集合，：所有样本函数的集合，t与与s均可变；均可变；样本函数样本函数：确定的时间函数，：确定的时间函数，t是变量，是变量，s是固定的；是固定的；样本随机变量样本随机变量：t固定时，随机试验结果在样

7、本空间上固定时，随机试验结果在样本空间上随机取值随机取值;样本值样本值：样本函数在：样本函数在t固定时取某一个确定的数值。固定时取某一个确定的数值。8 (si,t)= xi(t),样样本函数本函数 (s,tk)= (tk),随机变量，取随机变量，取值取决于哪个值取决于哪个事件发生事件发生 (si,tk)= 一个一个实数实数x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)随机试验结果随机试验结果样本函数样本函数tkt (si,tk)92.2 随机过程的表述随机过程的表述随机过程的两种基本表述方法随机过程的两种基本表述方法样本函数集合样本函数集合随机变量集合随机变量集合,.2 , 1),(),(itsts

8、i确定样本函数集合随机过程,.2 , 1),(),(itstsi随机变量集合随机信号10随机过程的一般表述（随机过程的一般表述（3）随机过程的概率密度函数随机过程的概率密度函数设设 (t)表示一个随机过程，则在任意一个时表示一个随机过程，则在任意一个时刻刻ti上上 (ti)是一个随机变量，其一维分布函是一个随机变量，其一维分布函数可以表示为：数可以表示为：一维概率密度函数一维概率密度函数 11111,xtPtxF 1111111,txfxtxF 11n维分布函数和概率密度维分布函数和概率密度 nnnnnxtxtxtPtttxxxF 22112121,;, nnnnnnntttxxxfxxxtt

9、txxxF2121212121,;,;, 12随机过程的一般表述（随机过程的一般表述（4）随机过程的数字特征随机过程的数字特征数学期望数学期望方差方差 tadxtxxftE,1 ttadxtxfxtEtEtEtEtD2212222, 13（自）协方差函数（自）协方差函数（自）相关函数（自）相关函数 21212122211221121,;,dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 2121212212121,;,dxdxttxxfxxttEttR 212121,tEtEttRttB 14互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数自相关函数和自协方差函数衡量同一过程的相自相关函数和自协

10、方差函数衡量同一过程的相关程度；互相关函数和互协方差函数衡量不同关程度；互相关函数和互协方差函数衡量不同过程的相关程度。过程的相关程度。相关程度与选择时刻相关程度与选择时刻t1和和t2有关。有关。 221121,tattatEttB 2121,ttEttR 152.3 平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程若随机过程若随机过程 (t)的的任何任何n维分布函数或概率密度函维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，也就是说，如果对于任意的数与时间起点无关，也就是说，如果对于任意的正整数正整数n和任意实数和任意实数t1、 t2 tn、 ,随机过程随机过程 (t)的的n维概率密度函数满足维概率

11、密度函数满足则则 (t)为平稳随机过程（严平稳）为平稳随机过程（严平稳） nnnnnntttxxxftttxxxf,.,;,.,.,;,.,2121212116特点特点平稳随机过程的数学期望与时间平稳随机过程的数学期望与时间t无关，为常数无关，为常数自相关函数只与时间间隔有关自相关函数只与时间间隔有关若一个随机过程的数学期望与时间若一个随机过程的数学期望与时间t无关，而自相关函数无关，而自相关函数只与时间间隔有关，则称宽平稳或广义平稳随机过程；只与时间间隔有关，则称宽平稳或广义平稳随机过程；统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有不随时间统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有不随时间的推移而

12、改变（即与时间的起点无关）的平稳性的随机的推移而改变（即与时间的起点无关）的平稳性的随机过程。过程。 RttR11,17平稳随机过程（平稳随机过程（2）各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）平稳随机过程平稳随机过程 (t)在任何一时间点在任何一时间点t的集合统计数值与其任的集合统计数值与其任何样本函数在全时域上的时间均值是相同的，则称其具何样本函数在全时域上的时间均值是相同的，则称其具有各态历经性。有各态历经性。统计（集合）平均统计（集合）平均等于任一样本函数的等于任一样本函数的时间时间平均。平均。具有各态遍历性的平稳随机过程，其具有各态遍历性的平稳随机过程，其数字特征，完全可数字特征，完全

13、可以由随机过程中的任一实现的数字特征来决定：随机过以由随机过程中的任一实现的数字特征来决定：随机过程的数学期望（统计平均），可以由任一实现的时间平程的数学期望（统计平均），可以由任一实现的时间平均来代替；随机过程的相关函数，可以由时间平均来代均来代替；随机过程的相关函数，可以由时间平均来代替统计平均替统计平均各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一定是各态历经的。定是各态历经的。182.4 平稳随机过程的相关函数与功平稳随机过程的相关函数与功率谱密度率谱密度相关函数相关函数 的的平平均均功功率率tStER 20 为为偶偶函函数数 RRR

14、的的上上界界 RRR0 的的直直流流功功率率ttER 2 的的交交流流功功率率方方差差，tRR 20 19平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度功率谱密度确定信号确定信号f(t)的功率谱的功率谱功率型随机过程功率型随机过程 (t)的功率谱密度的功率谱密度 TFPTTs2lim Pt TTTFtt且且,20平均功率平均功率功率谱密度和相关函数的关系功率谱密度和相关函数的关系 RP TFEPEPTTs2lim dTFEdPSTT2lim2121 dePRj 2121平稳随机过程的自相关时间和谱带宽度平稳随机过程的自相关时间和谱带宽度R(0)一定时，如果一定时，如果 较大，则随机

15、过程的谱较大，则随机过程的谱带宽度较窄；反之则较大。带宽度较窄；反之则较大。R(0)一定时，如果一定时，如果 下的面积较大，则随机下的面积较大，则随机过程的谱带宽度较窄；反之则较大。过程的谱带宽度较窄；反之则较大。结论：随机过程的相关性越强，随机过程所占结论：随机过程的相关性越强，随机过程所占的带宽越窄；反之，相关性越弱，所占的带宽的带宽越窄；反之，相关性越弱，所占的带宽越宽。越宽。 20dPR 0 P dRP 0 R222.5 高斯过程高斯过程若随机变量的概率密度函数可表示成若随机变量的概率密度函数可表示成则称则称x为服从正态分布的随机变量。为服从正态分布的随机变量。a及及 是是两个常量（均

16、值及方差）两个常量（均值及方差） 222exp21 axxf23概率密度函数图概率密度函数图a210 xf (x) f(x)f(x)关于关于x=ax=a对称对称 f(x)f(x)在（在（- - ，a a）内单）内单调上升，在（调上升，在（a a， ）内单）内单调下降，且在调下降，且在a a点最大点最大 对不同的对不同的a a，表现为，表现为f(x)f(x)的左右平移，对不同的的左右平移，对不同的 ， f(x)f(x)图形随图形随 的减小而变高的减小而变高变窄变窄 xafxaf 0, xfxx或或 211 dxxfdxxfdxxfaa24标准正态分布标准正态分布概率积分函数概率积分函数误差函数误

17、差函数 2exp211, 02xxfa dzzxx2exp212 dzexerfxz 022 25补误差函数补误差函数误差函数和概率积分函数的关系误差函数和概率积分函数的关系 dzexerfxerfcxz 221 xxerfc222262.6 窄带随机过程窄带随机过程窄带信号窄带信号频谱均被限制在频谱均被限制在“载波载波”或某中心频率附近一个或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频又相当远。窄的频带上，而这个中心频率离开零频又相当远。若窄带信号为随机过程，则为窄带随机过程若窄带信号为随机过程，则为窄带随机过程SNi ( ) c0- c c+ m- c- m- c+ m c- m2

18、7窄带随机过程（窄带随机过程（2）一般表达式一般表达式窄带随机过程可以表示成两个相互正交的分量之窄带随机过程可以表示成两个相互正交的分量之和和 0cos tatttatc 正交分量正交分量同相分量同相分量ttatttattttttsccscc sincossincos 28性质性质一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同为零，方差也相同在同一时刻得到的同相分量在同一时刻得到的同相分量 c和正交分量和正交分量 s是不是不相关的或统计独立的。相关的或统计独

19、立的。一个均值为零、方差为一个均值为零、方差为 2的平稳高斯窄带过程，的平稳高斯窄带过程，其包络其包络a （t）的一维分布是瑞利分布，而相位的的一维分布是瑞利分布，而相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，相一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，相位和包络是统计独立的。位和包络是统计独立的。窄带随机过程（窄带随机过程（3）29白噪声白噪声若噪声的功率谱密度若噪声的功率谱密度P ( )在所有频率上为一常数在所有频率上为一常数,则称为白噪声则称为白噪声.即即白噪声只有在白噪声只有在0点是相关的，点是相关的，而在任何两个时刻上的随机而在任何两个时刻上的随机变量都是不相关的。变量都是不相关的。 2)(0nP 20