2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案(含解析)

1、2. 3.1抛物线及其标准方程提出问题如图，我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下 拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题 1: |DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是.AB是直角三角形的一条直角边.问题 2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：IDA=|DC问题 3:画出的曲线是什么形状？提示：抛物线.导入新知抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线I叫做抛

2、物线的准线. 化解疑难知识点二提出问题OSS抛物线的定义层析教材.新知无师自逋对抛物线定义的认识(1) 定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为J Ff Jr焦点；一条定直线I，叫做抛物线的准线；一个定值，即点 距离之比等于 1.N /丿(2) 注意定点I的一条直线.M一个定点F叫做抛物线的M与点F的距离和它到直线I的F不在直线I上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线52平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0),耳一 2,0) ;Ii：x=- 1,I2：x= 2.问题 1:至庞点A和定直线I1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2= 4x.53问

3、题 2:至庞点B和定直线12距离相等的点的轨迹方程是什么? 提示：y2=- 8x.导入新知抛物线标准方程的几种形式1标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项.2标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零.3.四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时,向.锁走考向，考题千娈不离其宗例 1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:2(1)y= 14x；5x2 2y= 0;2y=ax(a 0).开口向坐标轴的负方题型一求抛物线的焦点及准线化解疑难54因为p= 解(1)因为p= 7,

4、所以焦点坐标是7, o ,准线方程是X=2.(2)抛物线方程化为标准形式为5所以焦点坐标是 0,1，准线方程是y-1-0.(3)由a 0 知p=专，所以焦点坐标是a, 0，准线方程是x= a.2炸丿4类题通法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程.需注意p0,焦点所在轴由标准方程定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴.活学活用求抛物线y=ax2(a* 0)的焦点坐标和准线方程.1解：把抛物线方程y=ax2化成标准方程x2=y.a当a0 时，焦点坐标是 0, 4a，准线方程是y=右；f 1当av0 时，焦点坐标是 0

5、, 4a，准线方程是y=石.f 1、1综上知，所求抛物线的焦点坐标为0, 4a，准线方程为y=亦.求抛物线的标准方程例 2求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1) 过点M 6,6);(2) 焦点F在直线l: 3x 2y 6= 0 上.解(1)由于点M 6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左，焦点在x轴上，2设其方程为y= 2px(p 0),将点M 6,6)代入，可得 36= 2px( 6),p= 3. 抛物线的方程为y2= 6x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2= 2py(p 0),将点M 6,6)代入可得，36 = 2px6,二p= 3,抛物线的方

6、程为x2= 6y.综上所述，抛物线的标准方程为y2= 6x或x2= 6y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0),由标准方6抛物线的焦点是F(2,0),7p2= 2，二 p= 4,抛物线的标准方程是y2= 8x.直线l与y轴的交点为(0，- 3), 即抛物线的焦点是F(0 ,- 3), 2= 3,.p= 6,抛物线的标准方程是x2=- 12y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y2= 8x或x2=- 12y.类题通法求抛物线的标准方程的关键与方法关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出 对应方程，化简方程；2直

7、接根据定义求p,最后写标准方程；3利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.A .活学活用根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y= - 1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y=- 1 知抛物线焦点在y轴正半轴上，且2= 1,则p= 2.故抛物线的标准方程为x= 4y.?(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为则焦点到准线的距离是一p-2=p= 3,因此所求的抛物线的标准方程是y2= 6x.|EBI利用抛物线定义求轨迹方程|例 3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大 1，求动点P的轨迹方2y= 2px(p 0),则

8、焦点坐标为(2，0j,准线为 x=-p,8程.9解法一：设点P的坐标为(X,y),则有x_2+y2= |x| + 1.两边平方并化简，得y2= 2x+ 2|x|.24x,2 y = 点P的轨迹方程为y= 4x(x0)或y= 0(xv0).xv ,法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大 1,由于点F(1,0)到y轴的距离为 1,故当xv0 时，直线y= 0 上的点符合条件；当x0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x=1 的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x= 1 为准 线的抛物线，方程为y2= 4x.2故所求动点P的轨迹方程为y= 4x(x0)或y= 0

9、(xv0).类题通法求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程.活学活用已知圆A: (x+ 2)2+y2= 1 与定直线I:x= 1，且动圆P和圆A外切并与直线I相切， 求动圆的圆心P的轨迹方程.解：法一：设点P的坐标为(x,y),由条件知|AP=r+ 1(r为圆P的半径)， 即，x+?2+y2= |x 1| + 1,化简，整理得y2= 8x.点P的轨迹方程为y2= 8x.法二：如图所示，作PK垂直于直线x= 1,垂足为K,作PQ垂直于直线x= 2,垂足为Q则 |KQ=1,二 |P

10、Q=r+ 1.又 |AP=r+ 1 , |AP=|PQ,故点P到圆心A 2,0)的距离和定直线x= 2 的距离相等，点P的轨迹为抛物线，A( 2,0)为焦点，直线x= 2 为准线.P2- 2= 2,.p= 4. 点P的轨迹方程为y= 8x.10修补掘板，拉分題分不垂11IPF= IPN=XP+2(焦点在x轴正半轴上时).(2)上例中，求 IPA+ IPF的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断IPA+1PF=|PA+1PN1AB.体现了数形结合的思想.1.若点P是抛物线y2=2X上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准 线的距离之和的最小值.解：由抛物线的定义可知，抛物线上的

11、点到准线的距离等于它到 焦点的距离.离之和最小,2若点P是抛物线y2=2X上的一个动点，求点P到直线3X 4y+ 7= 0 的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.雷系列3.研析抛物线定义的应用已知抛物线y2= 2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2),求|PA+1PFI的最小值，并求出取最小值时的P点坐标.如图，作PNL I于N I为准线)，作A吐I于B,则 |PA+ IPF=丨PA+ IPN丨AB,当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取坐口二(IPA+ IPF|)min此时yp= 2,二P点坐标为(2,2).多维探究(1)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关)，

12、往往转化为点P到准线的距离, 其步骤是：过P作PN垂直于准线I，垂足N;连接PF;由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点典例2, o 三点共线时距212r zZ2|AB= 2X3=夕31则x31= 1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以Xmin= 1 ,即M点至Uy轴的最短距离为 1.类题通法解：如图.13解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、M点到过A,三角形14中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易.随堂即时演练1.焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )A.y2= 20 xB.x2= 2

13、0yC.21D.21y=x20 x= 20y当解析：选 B 由 5=耳得p= 10,且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2= 2py,所以x2= 20y.2设抛物线y2= 8x上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A. 4B. 6C. 8D. 12解析：选 B 由抛物线的方程得 2=舟=2,再根据抛物线的定义，可知所求距离为4 + 2=6.2 23._若双曲线x 3 = 1 的右焦点与抛物线y2= 12X的焦点重合，贝 y m=_ .m3解析：抛物线焦点为(3,0),_r m 3= 3 且 m 0，贝 U m= 6.答案：64._ 焦点为F的抛物线y2= 2px(p 0)

14、上一点M在准线上的射影为N,若|MN=P,则|FN| =_ .AVVtv解析：由条件知 IMF= |MN=p,MFL MN在厶MNF中，/FMN=90，得 |FN= ,2p.答案：,2p5.若抛物线y2= 2px(p0)上有一点M其横坐标为一 9，它到焦点的距离为 10,求 点M的坐标.解：由抛物线方程y2= 2px(p 0),得其焦点坐标为F p, 0,准线方程为x= 2,自主演练、百炼方成钢15设点M到准线的距离为d,则d= |MF= 10,p即 2-（- 9） = 10,因此p= 2.故抛物线的方程为y2=- 4x.将M 9,y）代入抛物线方程，得y= 6.故点M的坐标为（一 9,6）或

15、（一 9，- 6）.课时达标检测一、选择题1顶点在原点，且过点（一 4,4）的抛物线的标准方程是（）A. y= 4x2B. x= 4yC. y2= 4x或x2= 4yD. y2= 4x或x2= 4y解析：选 C 设抛物线方程为y2=- 2piX或x2= 2p2y，把（4,4）代入得 16= 8pi或 16=8p2,即卩p1= 2 或p2= 2.故抛物线的标准方程为y2= 4x或x2= 4y.2.已知点P（8 ,a）在抛物线y2= 4px上，且点P到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为（）A. 2B. 4C. 8 D . 16解析：选 B 准线方程为x=-p, 8+p= 10,p= 2.焦点

16、到准线的距离为 2p= 4.2. .223.已知抛物线y= 2px（p0）的准线与圆（x 3） +y= 16 相切，则p的值为（）1A.2 B . 1C. 2 D . 4解析：选 C 抛物线y2= 2px的准线x=-号与圆（x 3）2+y2= 16 相切，- 2=- 1, 即卩p= 2. . . . 2 2 . .4. 设圆C与圆x+ （y 3） = 1 外切，与直线y= 0 相切，则C的圆心轨迹为（）A.抛物线 B .双曲线16C.椭圆 D 圆解析：选 A 由题意知，圆C的圆心到点（0,3）的距离比到直线y= 0 的距离大 1 即圆C的圆心到点（0,3）的距离与到直线y=- 1 的距离相等，

17、根据抛物线的定义可知，所求轨迹 是一条抛物线.5.已知点P在抛物线y2= 4x上，那么点P到点Q2 , - 1）的距离与点P到抛物线焦点 距离之和取最小值时，点P的坐标为（）A. 4,-1B. 4,1C. （1,2） D . （1 , - 2）* 解析：选 A 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF+1PQ= IPS+ |PQ，故最小值在S,P, Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是1，点P坐标 为 1,-1.rz二、填空题12一6. 抛物线x=imy的焦点坐标是解析：方程改写成y2= 4mx得 2p= 4m, p= 2m即焦点（m,0）.答案：（m,0）22y27.已

18、知抛物线L y= 2px（p 0）上一点M1 ,m到其焦点的距离为 5，双曲线x-= 1a的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=_.解析：解析：根据抛物线的定义得1 + 2= 5,p= 8.不妨取M1,4），则AM的斜率为 2,1 由已知得一.ax2= 1,故a= 4.答案：14&对标准形式的抛物线，给出下列条件：1焦点在y轴上；2焦点在x轴上；3抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；174由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2= 10 x的是_ .(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y2= I0 x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1 ,yo)是y= 10 x上一点，p57则 |MF= 1 + 2 = 1 + 2 = 2 工 6,所以不满足；由于抛物线y2= 10 x的焦点为 i|, 0，过该焦点的直线方程为y=k x-2 ,若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k=-2，此时存在，所以满足.答案：三、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点