2017-2018学年高中数学考点23等差数列及其前n项和(含2013年高考试题)新

1、考点23等差数列及其前n项和Sm 1 - 2,Sm= 0,Sm j= 3，贝 Um=（A.3B.4C.5D.6【解题指南】 利用an =Sn- Sn，求出am及am 1的值，从而确定等差数列an的公差， 再利用前n项和公式求出m的值.【解析】选 C.由已知得，am二Sm- Sm=2,am 1二Sm 1- Sm= 3，因为数列a*为等差数列，所以d 二 ami-am=1，又因为Sm二山佝一鯨）“，所以m，2） = 0,因为m = 0，所以ai= -2，又am= a! （m - 1）d = 2，解得m = 5.2.（2013 安徽高考文科 7）设S为等差数列 an的前 n 项和，S8=4a3,a7

2、= -2，则 a9=（）A.-6B.-4 C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前 n 项和公式及通项公式求出首项及公差。T上【解析】 选 A。由S8=4a3?8ai87d=4?（ai2d）,由 a7=-2?ai6d =-2，联立2解得a1=10, d = -2，所以a9=a1+8d =10- 16 = -6。3.（2013 辽宁高考文科 4）与（2013 辽宁高考理科 4）相同z/戶下面是关于公差d 0的等差数列：anf的四个命题：5 :数列fan ?是递增数列；P2:数列aj1是递增数列；P3:数列 乞 是递增数列；P4:数列 订.，3ndl是递增数列；Ln J其中的真命题为（）A.PI

3、, P2B.P3, P4C.P2, P3D. P1, P4【解题指南】 借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列【解析】选 D.、选择题1.（2013 新课标I高考理科T7）设等差数列aj的前n项和为Sn，若2命题判断过程结论p1:数列an是递增数列由a.卑a.= d 0,知数列an是递增数列真命题P2：数列nan是递增数列由(n +1)an+- nan=(n +1)佝 +nd) -nlq +(n _1)d=4 +2nd，仅由d 0是无法判断a1+2nd的正负的，因而不能判定(n +1)an+, nan的大小关系O假命题fa1P3:数列t ，是lnJ递增数列aa/显然，当an= n时，巴=1

4、数列2已，是常数数列，不是递增lnF数列，假命题P4:数列an+3nd是递增数列数列的第n+1项减去数列的第n项an卅+3(n+1)dT(ant3nd) =(an*-an)+3(n + 1)d -3nd=d +3d 4d 0.所以an卅+3(n +1)d an+3nd即数列an+3nd是递增数列真命题4.（2013 重庆高考文科T12）若 2、a、b、c、9 成等差数列，则c-a二【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解9 _ 2 77【解析】因为 2、a、b、c、9 成等差数列，所以公差d =9=7,c-a =2d二7.442【答案】-25.（ 2013 上海高考文科 T2）在等差数列：an

5、中， 若 ai+ a2+ a3+ a4=30,贝Ua2+ a3=.【解析】a!a2a3a4= 2(a2a3) =30= a2a3=15【答案】1511136. （2013 广东高考理科T12）在等差数列an中，已知a3 a10，则3a a-=【解题指南】本题考查等差数列的基本运算，可利用通项公式和整体代换的思想求解4【解题指南】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求解【解析】【解析】设公差为d，则a3七8=国+3= 0 , 3a5+a7=4 +18d =2(2 +9d) = 20.【答案】20.7. (2013 新课标全国n高考理科T16)等差数列an的前 n 项和为 S,已知

6、Sio=O,S15=25,则nS 的最小值为_.【解题指南】 求得 S 的表达式，然后表示出 nS,将其看作关于 n 的函数，借助导数求得最小值.“100,得n 20,令f(n)0,得0：n：20,又因为 n 为正整333数,所以当 n=7 时，f n二32n -10 n取得最小值，即 nS1的最小值为-49.3【答案】-498. ( 2013 安徽高考理科14)如图，互不相同的点A,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角O 的两A.Bn相互平行，且所有梯形Anbb+1An+1的面积均相等。设OAn= an.若 a1=1,a2=2 则数列an的通项公式是 _15So+ S anS0+ S

7、= (an)2即So+2S = (an+1)2S0+2San+1SD+ Sanan+12 2两式相加得2 =答+竺？2an2anan2 2an-1an+1a?-a1= 3的等差数列.故an?= aj +3( n-1 ) =3n-2,2，所以数列an是公差为/*即an=n- 2【答案】an=；3n- 2三、解答题9.(2013 大纲版全国卷高考文科、17)等差数列 订中，a7=4,a19=2a9,(I )求的通项公式;(II )设bn=,求数列他的前 n 项和 Sn.nan疋Ik【解题指南】(I)根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式an二a(n -1)d求出

8、的通项公式.(II )将(I )中糾 J：的通项公式代入到1bn中,采用裂项相消法求和.nan【解析】(I)设等差数列an的公差为d，贝U an=印(n 1)d.因为丿a7= 47，所以旦9=2a96 +6d =4所以an的通项公式为1 +18d =2 +8d)，解得a1=1,d=?n +1aV(II )因为bnnann(n +1)2=2(丄-十)1627所以sn= 21 -11-1 223丄1）=2n.n n 1n 110. (2013 大纲版全国卷高考理科 T17)等差数列 laj 的前n项和为Sn已知 S3=a22,且 S,S2,S4成等比数列，求Gn?的通项式2 2【解析】设an的公差

9、为d，由S3=a2，得3a2= a2，故a2= 0或a2= 3.由，S2，S4成等差数列得Sf= SQ4.又S1= a2- d，S2= 2a2- d，S4= 4a22d.故(2a2-d)2二(a2-d) (4a22d).若a2=0，则d2= -2d2，解得d= 0，此时5=0，不符合题意.2若a2=3，则(6- d) = (3- d)(12+ 2d)，解得d = 0或d =2.因此an得通项公式为an=3或an=2n-1.11. (2013 安徽高考文科 19)设数列an满足a1=2,a2+a4=8,且对任意 n N*,函数f (x) = (an- an+1+ an+2)x + an+1cos

10、x - an+2sin x，满足f ( ) = 0。2(1)求数列an的通项公式；1(2)若bn= 2(an+厂)求数列 bn的前 n 项和Sn。2n【解题指南】(1)由f丐)=0证得an是等差数列；(2)求出bn的通项公式，利用等 差、等比数列的求和公式计算。【解析】(1)由题设可得，f (x)二an- an+1+an+2- an+1sinx-an+2cosx，对任意 nN,=an- an+1+ an+2- an+1=0，即an+1- an=an+2- an+1, 故 an为等差数列.由a1= 2,a2+ a4= 8解得an的公差 d=1，所以 an=2+1 （n-1）=n+1.81 1 1

11、（2）由bn=2（an+石）=2（ n+1+盯）=2n+莎+2知，1 1（n+1）尹（畀21Sn = b +b2+. + bn= 2n+ - 1 = n +3n +1-n。21-1 2912. （2013 湖北高考文科 T19）已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，S4, S2, Sa成等差 数列，且 a2a3 a4= -18 .（I）求数列an的通项公式；（H）是否存在正整数 n，使得 Sn_2013 ?若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存 在，说明理由.【解题指南】（I）由条件 S4, S2, Sa成等差数列和 a2aaa-18 列出方程组，解出首项和公比，运用等比数列通项公式

12、得出an的通项公式。（H）假设存在正整数 n，使得rvjSn-2013，解不等式，求 n 的解集。【解析】I 设数列0,上式不成立；当 n 为奇数时，（-2 $ = -2n令 2012,即 22012，则 n 11.综上，存在符合条件的正整数n,且所有这样的 n 的集合为n n =2k 1,k N,k_5?.13.（2013 新课标全国n高考文科 17）已知等差数列an的公差不为零, 且a1,a11,a13成等比数列。（1）求an的通项公式;(2)求a1 a4+a7亠 亠a3n;【解题指南】设出公差 d,利用a1,an,a!3成等比数列，求得 d，可得通项公式（2）发现fa3n构成新的等差数列，确定新数列的公差与项数，然后利用公式求和【解析】（1）设：a.的公差为d.由题意，a=厲印3，n由1有 & =1 _ _2若存在 n,使得 SnA2013，贝 V 1-