高中数学平面几何对称问题(共25张PPT)

1、 课题引入 教材P101 11对称问题对称问题中心对称问题中心对称问题点关于点的对称点关于点的对称线关于点的对称线关于点的对称轴对称问题轴对称问题点关于线的对称点关于线的对称线关于线的对称线关于线的对称例例1. 已知点已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求，试求A点点 关于关于B点的对称点点的对称点C的坐标。的坐标。（一）点关于点对称（一）点关于点对称一一.中心对称中心对称(关于点的对称关于点的对称)），（解得的中点为点和点由对称关系知，点）（解：设点63CB,C3641xyyx练习练习:求点求点P(2,5)关于原点的对称点关于原点的对称点.求点求点P(2,5)关于关于Q(-3,-7)的

2、对称点的对称点.点关于点的对称点关于点的对称),(),(AyxAnmO)2 ,2(ynxm注：注： )0, 0(),(yx),(yx 解题要点：解题要点：中点公式的运用中点公式的运用例例2、 求直线求直线y=3x4关于点关于点P(2,1)的对称直线方程的对称直线方程.( , )M x yP解：设对称直线上任一点，则其关于 的对称点P(2,1)xyOy=3x4分析一分析一: : 将直线的对称转化为直线上的点的对称将直线的对称转化为直线上的点的对称. .还可以有什么方法？还可以有什么方法？3100 xy化简得3100.xy所求直线方程是上在直线43)2,4(Nxyyx4)4(32xy(二）直线关于

3、点的对称二）直线关于点的对称直线关于点对称直线关于点对称 法一：法一： l 2上的任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在l 1上上 f (x,y)=0M(x,y)法二：法二： l 1 / l 2且且P到两直线等距。到两直线等距。对称关于点与若P21ll练习练习求直线求直线m:2x+3y-1=02x+3y-1=0关于点关于点P(1,4)P(1,4)对称的直线对称的直线n n的方程的方程. .二二.轴对称轴对称(即关于直线的对称即关于直线的对称)例例3.求点求点A(-7,1)关于直线关于直线l:2x-y-5=0的对称点的对称点B的坐标的坐标.解解(法一法一) 设设B(m,n）由点关于直线对称的定

4、义知）由点关于直线对称的定义知: 线段线段ABl 即; =-1 2)7(1mn线段线段AB被直线被直线l平分平分,即线段即线段AB的中点的中点21,27 nm在直线在直线l上上,故有故有 2 - -5=0 27m21n(一一)点关于直线的对称点关于直线的对称:联立联立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)（法二）（法二）直线直线ABl, 直线直线AB过点（过点（-7，1）直线直线AB的方程为的方程为y-1=- y-1=- （x+7x+7） 即即x+2y+5=0 x+2y+5=021052052yxyx由 解得 13xy即即AB的中点为（的中点为（1，-3） ，又，又A（-7，1）由中点坐标

5、公式得由中点坐标公式得B的坐标为（的坐标为（9，-7）.小结小结:求点求点P(x0,y0)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0By+C=0对称点对称点Q(x1,y1)的方法的方法:点关于一般直线的对称点关于一般直线的对称),(0:AbaAcByAxl上中点在直线平分：垂直：方法：lAAlAA练习：练习：求求A（3,-2）关于直线）关于直线2x-y-1=0 的对称点坐标。的对称点坐标。13 4(, )55A 点关于特殊直线的对称点关于特殊直线的对称),(00yxA轴y 轴x xy xy),(00yx ),(00 xy ),(00 xy),(00 xy bxy),(00bxby例例4. 试求直线

6、试求直线l1:x-y-2=0关于直线关于直线 l2:3x-y+3=0 对称的直线对称的直线l 的方程。的方程。解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称思考：思考：若若l1/l2, 如何求如何求l1 关于关于l2的对称直线方程？的对称直线方程？C1lC2l1l2l1（二）直线关于直线的对称（二）直线关于直线的对称直线关于特殊直线的对称直线关于特殊直线的对称轴xCByAx0轴yxy xy0)(CyBAx()( )0AxB yC0CBxAy0)()(CxByA点点P(x,y)关于下列点或线的对称点分别为：关于下列点或线的对称点分别为：关于原点关于原点:_;

7、 关于关于x轴轴:_;关于关于y轴轴: _; 关于直线关于直线y=x:_;关于直线关于直线y=-x:_; 关于直线关于直线x=a:_.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)设直线设直线则则 关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是l0:CByAxlxyxy xy 0)( CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA补：关于原点补：关于原点:_ ; 0CyBxA）（）（：一条光线经过点一条光线经过点P（2，3），射到直线），射到直线x+y+1

8、=0上，反射后，穿过点上，反射后，穿过点Q（1，1），求），求光线的入射线和反射线的方程。光线的入射线和反射线的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx应用一：解决物理光学方面的问题应用一：解决物理光学方面的问题练习：练习： 一条光线经过一条光线经过P（-1,2），经直线），经直线 l:x+y-1=0反射后经过点反射后经过点Q（1,1），）， （1）求入射光线所在的直线方程；）求入射光线所在的直线方程； （2）求这条光线从）求这条光线从P到到Q的长度。的长度。例例 ： 已知已知ABC的顶点的顶点A（4,

9、1）,B（4, 5）,角角B的内角平分线的内角平分线BE所在直线的方程为所在直线的方程为 ，求，求BC边所在直线方程。边所在直线方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE应用二：解决三角形中的角平分线问题应用二：解决三角形中的角平分线问题应用三：解决距离最值有关问题应用三：解决距离最值有关问题 例例.已知两点已知两点A(2,15),B(-3,5),在直线在直线l:3x-4y+4=0上找一点上找一点P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值.涉及定直线涉及定直线l上一点上一点

10、P与两定点与两定点A，B的距的距离和（或差）的最值问题离和（或差）的最值问题1.若若A，B两点在直线的同侧：两点在直线的同侧：（1）设点）设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的的交点交点P使得使得|PA|+|PB|最小；最小；（2）直线）直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B两点在直线的异侧两点在直线的异侧:(1)直线直线AB与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)设点设点B关于直线的对称点为点关于直线的对称点为点C,则直线则直线AC与直线与直线l的交点的交点P使得使得|PA|-|PB|最大最大.例：例：已知已知x,y满足满足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3( yxyxM(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP（1）已知点）已知点A(2,0),B(-2,-2),在直线在直线l:x+y-3=0上求一点上求一点P使使|PA|+|PB| 最小最小变形变形:在在l上求一点上求一点Q使得使得| |QA|-|QB| |最大最大.（2）已知点）已知点A(4,1),B(0,4),在直线在直线l:3x-y-1=0上求一点上求一点P使使|PA|+|PB| 最小最小.变