2022年《复变函数》考试试题与答案各种总结(1203164540)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结一、判定题 20 分:复变函数考试试题 一1、如 fz在 z 0 的某个邻域内可导, 就函数 fz在 z 0 解析、2、有界整函数必在整个复平面为常数、3、如zn Re收敛 , 就zn Im与zn 都收敛、4、如 fz在区域 D内解析 , 且f ' z0 , 就f zC 常数 、5、如函数fz在 z0 处解析 , 就它在该点的某个邻域内可以绽开为幂级数、6、如 z 0 就是f z 的 m阶零点 , 就 z 0 就是 1/f z 的 m阶极点、lim f z7、如 zz0存在且有限 ,

2、 就 z0 就是函数fz的可去奇点、8、如函数fz在就是区域D 内的单叶函数 , 就f ' z0zD 、9、如 f z在区域 D 内解析 , 就对 D 内任一简洁闭曲线Cf zdz0 、C10、如函数fz在区域 D 内的某个圆内恒等于常数, 就 fz在区域 D 内恒等于常数、二、填空题 20 分0dz1、|zz0 |1 zz n 、 n 为自然数 22、 sinzcos2z 、3、函数sin z 的周期为 、4、设f z1z21 , 就f z 的孤立奇点有 、5、幂级数nz n 的收敛半径为 、n 06、如函数fz在整个平面上到处解析, 就称它就是 、lim zlim z1z2.znn

3、7、如 n, 就 nn 、Re s8、ezn ,0z , 其中 n 为自然数、sin z9、z的孤立奇点为 、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结limf z 10、如z0 就是f z的极点 , 就 zz0、三、运算题 40 分:1 、 设f z1 zdz.11 z2 , 求f z 在 D z : 0| z |1 内的罗朗展式、|z|2、1 cosz2f z371 d3、设Cz, 其中 C z :| z |

4、3 , 试求f ' 1i.w4、 求复数z1z1 的实部与虚部、四、证明题、 20 分1、 函数f z 在区域 D 内解析、证明 :假如 |f z|在 D 内为常数 ,那么它在D 内为常数、2、 试证 :f zz1z 在割去线段0Rez1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re z1 上岸取正值的那支在z1的值、一判定题复变函数考试试题一参考答案1. × 2. . . . 6. . × . × . × 10. ×二. 填空题2in1、0n1;2、 1;3、2k, kz ;4、zi ;5、116、整函数 ;7、;8、1

5、n1.;9、0;10、三.运算题、1、 解由于 0z1,所以 0z1111zn1z n 、f z z1z21z21zn 022 n 022、 解由于精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结z21Re s f zlimlim1,zzcoszzsin z222z21Re s f zlimlim1 、zzcos zzsin z222所以1dz2iRe s f zRe s fz0 、z 2 cos zzz223 、 解

6、 令3271 , 就它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在z3内,f zdzcz2iz 、所 以 f 1i 2iz z 1 i2i 136i 2613i 、4 、 解 令 zabi , 就wz11212 a1bi 12a12b、z1z1 a12b 2 a12b 2a12b2故Re z112a1,Im z12b、z1 a12b 2z1a12b2四、证明题、1、 证明 设在 D 内f zC 、令 f zuiv ,2就 f zu 2v2c2 、两边分别对x, y 求偏导数 , 得uux uuyvvx vvy0102由于函数在D 内解析 , 所以 u xvy ,u yvx 、 代入2 就上述方程组变为

7、uux vuxvvx uvx0、消去0u x 得,u 2v2 vx0 、1) 如 u 2v20 , 就f z0为常数、2) 如 vx0 , 由方程1 2及C.R.方程有 u x0,u y0 ,vy0 、所以 uc1, vc2 、 c1, c2 为常数 、所以 f zc1ic 2 为常数、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结2、 证明f zz1z 的支点为z0,1、 于就是割去线段0Re z1 的 z 平面内

8、变点就不行能单绕0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支、由于当 z 从支割线上岸一点动身,连续变动到z0,1时 , 只有 z 的幅角增加、 所以f zz1z 的幅角共增加、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为2该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z1 的幅角为, 故 f2i12e 22i 、复变函数考试试题 二一.判定题、 20分1、如函数f zu x, yiv x, y 在 D 内连续 ,就 ux,y与 vx,y都在 D 内连续、2、cos z 与 sin z 在复平面内有界、3、如函数 fz在 z0 解析,就 fz在 z0 连续、4、有界整函数必为常数、5、 如

9、z0 就是函数 fz的本性奇点 ,就limf z 肯定不存在、zz06、如函数 fz在 z0 可导,就 fz在 z0 解析、7、 如 fz在区域 D 内解析 , 就对 D 内任一简洁闭曲线Cf z dz0 、C8、如数列 zn收敛,就Rezn 与Imzn都收敛、9、如 f z在区域 D 内解析 ,就|fz|也在 D 内解析、10、 存在一个在零点解析的函数fz 使 f 10 且 f 1 1 ,n1,2,.、二、填空题、20 分n12n2n221 、 设 zi ,就| z | ,arg z , z 22、设 f z x2xyi 1sin xy ,zxiyC ,就limf z 、3、|zz0 |1

10、 zdz0z n 、 n 为自然数 z1 i4、幂级数nnz n 的收敛半径为 、05、如 z0 就是 fz的 m 阶零点且 m>0,就 z0 就是 f ' z 的 零点、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结6、函数 ez 的周期为 、7、方程 2 z5z33z80 在单位圆内的零点个数为 、8、设f z1,就1 z2f z 的孤立奇点有 、9、函数f zz| z | 的不解析点之集为 、11

11、0、Res4z,1 、三、 运算题、40 分1、求函数sin 2z3 的幂级数绽开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 zi 处的值、3、运算积分 : Ii| z | dz,积分路径为 1单位圆 | z |i1 的右半圆、sin zdz4 、 求z 2 z22 、四、 证明题、20 分1、设函数 fz在区域 D 内解析 ,试证:fz在 D 内为常数的充要条件就是D 内解析、2、试用儒歇定理证明代数基本定理、复变函数考试试题二参考答案f z 在一.判定题、1. . × . . . ×

12、 6. × . × . . × 10. ×、二、填空题1、1,i ;2、31sin 2i ;3、22in0n1;4、 1;5、m1 、 16、 2ki , kz 、7、 0;8、i ;9 、 R ;10 、 0、三、运算题精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结1 、 解sin2 z3 1n 2 z3 2 n 11n 22 n1 z6n 3、n 02 n1.n 02 n1

13、.2 、 解 令zrei、就 f zizre2 k2,k0,1 、又由于在正实轴去正实值,所以 k0 、所以 f i ie 4 、3、 单位圆的右半圆周为zei ,、22i2ii2、所以z dzdee2ii224 、 解sin zdzz 22 i sin z2 i cos z z22四、证明题、zz22 =0 、1、 证明 必要性 令f zc1ic 2 ,就f zc1ic2 、 c1 ,c2 为实常数 、令 u x, yc1, v x, yc2 、 就 uxvyu yvx0 、即 u, v 满意 C.R., 且 ux , vy , uy ,vx 连续 , 故f z 在 D 内解析、 充分性 令

14、f zuiv , 就f zuiv ,由于 f z 与 f z 在 D 内解析 , 所以uxvy ,u yvx ,且 uxv yvy ,u yvx vx 、比较等式两边得数、u xvyu yvx0 、从而在 D 内 u,v 均为常数 ,故f z 在 D 内为常2、 即要证 “任一n次方程a zna zn 1aza0a0有且只有n 个根”、01n 1n0证明令f za zna zn 1aza0 , 取 Ra1maxn ,1, 当 z01n 1naa0在 C :zR 上时 , 有zaRn 1aRa aaRn 1aRn 、1f z 、n 1n1n0由儒歇定理知在圆zR内, 方程a zna zn 1az

15、a0与a zn0有相n01n 1n0同个数的根、而内有 n个根、a0 z0在zR 内有一个n重根z0 、 因此 n 次方程在zR复变函数考试试题 三一、 判定题、 20分 、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结1、 cosz 与 sinz 的周期均为 2k、2、如 f z 在 z0 处满意柯西 - 黎曼条件 ,就 f z 在 z0 解析、3、如函数 f z 在 z0 处解析 , 就 f z 在 z0 连续、

16、4、如数列 zn 收敛, 就Rezn 与 Imzn 都收敛、5、如函数 f z 就是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数 , 就数 f z 在区域D内为常数、6、如函数 f z 在 z0 解析, 就 f z 在 z0 的某个邻域内可导、7、假如函数 f z 在 D z :| z |1 上解析 , 且|f z |1| z |1 , 就| f z |1| z |1 、8、如函数f z 在 z0 处解析 , 就它在该点的某个邻域内可以绽开为幂级数、9 、如z0 就 是f z的m 阶 零 点 ,就z0 就 是1/f z的m 阶 极 点 、10 、如z0就 是f z的 可 去 奇 点 ,就Re

17、s f z, z0 0 、二、 填空题、 20分1、设f z1z21, 就 f z 的定义域为 、2、函数 ez 的周期为 、3、如 zn2i 11 n , 就 lim z 、nn1nnn4、sin2 zcos2 z 、0dz5、| zz0 |1 zz n 、 n 为自然数 6、幂级数nnx n 的收敛半径为 、07f z1,f z 、设z21就的孤立奇点有、8、设ez1,就z 、9、如 z0 就是f z的极点 , 就limf z 、zz0精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - -

18、 - - - - - - - - - -10、Res ezzn复变函数考试试题与答案各种总结,0 、三、 运算题、 40分11、将函数f zz2e z 在圆环域 0z内展为 Laurent级数、n.n2、试求幂级数nnn z的收敛半径、3、算以下积分 :C z2ezdz z2, 其中 C 就是| z |1、94、求 z92z6z28z20 在| z|<1 内根的个数、四、证明题、 20分1、函数f z在区域 D 内解析、 证明: 假如|f z|在 D 内为常数 , 那么它在 D 内为常数、2、设f z 就是一整函数 , 并且假定存在着一个正整数n, 以及两个正数R 及M, 使得当 | z

19、 |R时| f z |M| z |n ,证明 f z 就是一个至多 n 次的多项式或一常数；复变函数考试试题三参考答案一.判定题1. × . × . . . 6. . . . 10. 、二、填空题、2in11 、 z zi, 且zC;2、 2ki kz ;3、1ei ;4、1;5、;0n16、 1;7、i ;8、z2 k1i ;9、;10、1、n1.三、运算题、1n 21 、 解z2e zz2 111z、2z2. zn 0n.n1cn. n1n112 、 解limnlimlimnlim1ne 、ncn 1nnnn1.nnnn所以收敛半径为e 、精选名师 优秀名师 - - -

20、 - - - - - - -第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结zz3 、 解 令f ze, 就Re s f ze1 、222故原式z2i Re s f z z9z 02i、z9 z 094 、 解 令z 0f zz92 z69z22 , z8z 、就在 C :z1上 f z与z 均解析 , 且f z6 z8 , 故由儒歇定理有N f, C N f,C 1 、 即在z1 内, 方程只有一个根、四、证明题、1 、 证明证明设在 D 内f zC 、令 f zuiv ,

21、2就 f zu 2v2c2 、两边分别对x, y 求偏导数 , 得uux uuyvvx vvy0102由于函数在D 内解析 , 所以 u xvy ,u yvx 、 代入2 就上述方程组变为uux vuxvvx uvx0、消去0u x 得,u 2v2 vx0 、1) u 2v20 , 就f z0为常数、2) 如 vx0 , 由方程1 2及 C.R. 方程有 ux0,u y0 ,vy0 、所以 uc1, vc2 、 c1, c2 为常数 、所以 f zc1ic 2 为常数、k .f zk . Mr n2、 证明 取rR , 就对一切正整数kn 时 ,f k 02z rzk 1dzr k、于就是由

22、r 的任意性知对一切kn 均有nk f00 、故 f zcn zn , 即k 0f z 就是一个至多n 次多项式或常数、一、判定题 24 分复变函数考试试题四1. 如函数f z 在z0 解析 ,就f z 在 z0 的某个领域内可导、2. 如函数f z 在z0 处解析 ,就f z 在z0 满意 Cauchy-Riemann 条件、 3. 假如z0 就是f z 的可去奇点 ,就limzz0f z 肯定存在且等于零、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - -

23、- - -复变函数考试试题与答案各种总结4. 如函数f z 就是区域D 内的单叶函数, 就 f z0zD 、5. 如函数f z 就是区域D 内的解析函数,就它在 D 内有任意阶导数、6. 如函数f z 在区域 D 内的解析 ,且在 D 内某个圆内恒为常数,就在区域D 内恒等于常数、 7. 如z0 就是f z 的 m 阶零点 ,就z 就是1的 m 阶极点、 0f z二、填空题 20 分11 n1. 如 znsin1i 1nn, 就 limzn 、2. 设f zz,就z21f z 的定义域为 、3. 函数ez 的周期为 、4. sin 2 zcos2 z 、5. 幂级数n 2 zn2n 0的收敛半

24、径为 、6. 如z0 就是f z 的 m 阶零点且 m1,就 z0 就是f z 的 零点、7. 如函数f z 在整个复平面到处解析,就称它就是 、8. 函数f zz 的不解析点之集为 、9. 方程3z8z33z80 在单位圆内的零点个数为 、z10. Re s ezn,0 、三、运算题 30 分221i1 、 求1i、222 、 设f z3271dCz,其中Cz: z3 ,试求f 1i 、3、设f zze,求 Re s fz,0 、z2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - -

25、- - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结4、求函数 zz在1z1z12 内的罗朗展式、5、求复数wz1 的实部与虚部、 z126、利用留数定理运算积分:0a四、证明题 20 分dx cosx, a1 、1、方程24 z79 z66 z3z310 在单位圆内的根的个数为7、2、如函数f zu x, yiv x, y在区域 D 内解析 ,f z等于常数 ,就f z 在 D 恒等于常数、3 、 如z0 就是f z 的 m 阶零点 ,就z 就是1的 m 阶极点、0f z五、运算题 10 分求一个单叶函数,去将 z 平面上的上半单位圆盘z : z1,Im z0保形映射为w 平

26、面的单位圆盘w : w1复变函数考试试题四参考答案一、判定题 :1、2、 3、 ×4、5、6、7、 8、 ×二、填空题 :1 、ei2、z13、2i4、15、116、m1 阶 7、 整函数8、9、010、n1.三、运算题 :1i21i21、 解: 22ii0.2、 解:Q 1i23,f z12iC32Cf d z71 d.z因此f 2i 3271故 f z2i 3z27 z1f 1i 2i 6 z7 1 i2i 136i 2613i 、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名

27、师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结ez3、 解:zn n 0 n .111L,z2z2z2z2因此 Re szf z,01.12114、 解: z1z2z1z2z111zz2由于 1z2 ,从而 11,zz1、 2因此在 1z2 内有z11 nz n1 n 1z n . z1 z2z n 0zn 02n 0z25.解: 设 zxiy , 就 wz1x1iyx2y 212 yi22、z1z1iy x1yx2y212 yRe wx12y2 ,Im w x12y2 .6、解 :设zei,就 ddz ,cos iz1 z21 ,z2ddz22idz

28、0acosz 1 iz2az1 zz 1 z22az10Q a1,故奇点为za21a2d0acos4Re sfz z z41222、02a1a1632961117,即有f zg z、四、证明题 :1、证明 :设f z24z7 ,g z9z6zz1,就 在 z1上,f z24,g z依据儒歇定理知在z1 内f z 与f zg z 在单位圆内有相同个数的零点,而在z1内 f z 的零点个数为7,故 24z79 z66 z3z210 在单位圆内的根的个数为7、2、证明 :设f zu 2v2c ,就精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 23 页 - - - - -

29、 - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结2u ux2u u y2v vx0,2v vy0.已知 f z 在区域 D 内解析 ,从而有 uxvy ,u yvx将此代入上上述两式得uuxuuyvuy0,vux0.因此有ux0, u y0, 于就是有 vx0, vy0 、即有uc1 ,vc2 ,f zc1ic 2故 f z 在区域 D 恒为常数、3、证明 :由于z0 就是f z 的 m 阶零点 ,从而可设f z zz0m g z ,其中 g z 在z0 的某邻域内解析且g z0 0 ,于就是111mf z zz0 g

30、 z由 g z0 可知存在z 的某邻域D , 在 D 内恒有1g z0 ,因此在内 D 解析 ,故 z0011g z10为1的 m 阶极点、f z五、运算题解:依据线性变换的保对称点性知i 关于实轴的对称点i 应当变到w0 关于圆周的对称点 w,故可设一、判定题 20 分wk zizi复变函数考试试题五1、如函数f z 在z0 解析 ,就f z 在z0 连续、 2、如函数f z 在z0 满意 Cauchy-Riemann 条件 ,就f z 在z0 处解析、 3、假如z0 就是f z 的本性奇点 ,就limzz0f z 肯定不存在、4、如函数f z 就是区域D 内解析 ,并且f z0zD ,就f

31、 z就是区域D 的单叶函精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结数、 5、如函数f z 就是区域 D 内的解析函数 ,就它在 D 内有任意阶导数、6、如函数f z 就是单连通区域D 内的每一点均可导,就它在 D 内有任意阶导数、7、如函数f z 在区域 D 内解析且f z0 ,就f z 在 D 内恒为常数、 1. 存在一个在零点解析的函数f z 使f 1 n0 且 1f 1 2n1 , n 2n1,2,L、2

32、. 假如函数f z 在 Dz : z1 上解析 ,且f z1 z1 ,就f z1 z1 、3. sin z就是一个有界函数、二、填空题 20 分1、如 znn2i 11 n ,就 limzn 、1nn2、设f zlnz ,就f z 的定义域为 、3、函数 sin z 的周期为 、4、如 lim znn, 就 lim z1nz2Lzn 、n5、幂级数nzn5n 0的收敛半径为 、6、函数f z11z2的幂级数绽开式为 、7、如 C 就是单位圆周, n 就是自然数 ,就1nC zz0 dz 、8、函数f zz 的不解析点之集为 、5329、方程15 zz4 z180 在单位圆内的零点个数为 、10

33、、如f z,就1 z2f z 的孤立奇点有 、三、运算题 30 分1、求ez 1z 1sinzdz12 iz3 zdz1z42、设f z3271dCz,其中Cz : z3 ,试求 f1i 、3、设f zez2,求 Re s z1f z, 、精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -复变函数考试试题与答案各种总结4、求函数z10在2z内的罗朗展式、 z1z225、求复数wz1 的实部与虚部、 z1四、证明题 20 分1、方程15 z75 z66 z310 在单位圆内的根的个数为7、2、如函数f zu x, yiv x, y在区域 D 内连续 ,就二元函数u x,y 与 vx, y都在 D 内连续、1 、 如z0 就是f z 的 m 阶零点 ,就z 就是1的 m 阶极点、0f z一、运算题 10 分求一个单叶函数,去将 z 平面上的区域z : 0arg z45保形映射为w 平面的单位圆盘w : w1 、复变函数考试试题五参考答案一、判定题 :1、 2 、 × 3 、 4 、 × 5 、 6 、 7 、 8 、 × 9 、 10、×二、填空题