2018年数竞平面几何讲义教师版

1、平面几何（四点共圆）冲刺讲义班号姓名一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1. 欧拉线：厦此的垂心H，重心G，外心。三点共线.2. 此线称为欧拉线，且有关系：九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆SAHC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点2 九点圆的半径是wc的外接圆半径的成.3. 三角形内心与旁心的性质：的内心为/，而C,CAtAB边外的旁心分别为4，弓，匕；A。皿CF分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于M,M交8匚于N,则：三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；Z.5/C

2、=HZ-fi/xC=22,2；ABBDBNACDCNC（角平分线定理）；切岫材8（“鸡爪,，定理）二例题分析例1.点。是土相匚的外接圆。的直径，过。作圆。的切线交8C于尹，连接并延长尸分别交期、占C于M、N，求证：OM=ON.QfBQfNl证明：过8作MN的平行线分别交乂心、化于。、则WOV.取5C中点G，连接OG、OG、口G、D8.拿一口G。四点共圆.ODG=OPG而由MNWN,有匕WG=如FG.3ODGQg匹dF四点共圆.施，而8FJ3=，工098=J方，OGHAC而G是丹匚的中点，W是此的中点,OF=OW.OM=ON例2.等腰梯形ARCD中，4B/CT),E,F分别是A4CD,ABCD的

3、内心，P是直线AE的一点，PFCO,MCP的外接圆交CD的延长线于Q.证明地“1-LEAC+LECA-LPEC，故EFCP共圆，LECP-LEEP-90，因此PAQLBCQ-mCE如雷矿-E.g；tj：Y.e.f所以乙由此例3.在M8C中，+。=35，内心为/，内切圆在恤,BC边上的切点分别为。，E，设K是D关于点I的对称点，上是E关于点/的对称点.求证：CKH四点共圆.证明：设直线母交MBC的外接圆于点尸，易知尸是辰!的中点，记AC的中点为M，则R1.设点户在直线DI上的射影为N,a+b+cr*T.p=28由于S3队则半周长2,干阜RDBEpH=AC=2(又所以叫母sWCP，且相似比为2,熟

4、知：P/-PC-PA。又D田s心的,所以内2寐，即七是/K的中点进而PK=同PL5,所以山CK/乙都在以尸为圆心的同一个圆周上.整上选取两点C、D使得C、例4.设A、B为圆豹上两点，X为豹在A和B处切线的交点，在圆D、X依次位于同一直线上，且CAJBD,再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点.证明:X、F、G、H四点共圆.证明：设。为圆心，ABnXO=M.ZXOAs么AM,.OXXM=XA2=XCXD.O、M、C、D四点共圆.ZXMO=ZOCD=ZODC=zOMC.zCMG=ZGMD.在CM上选取一点E使MX/DE,贝UMD=ME.CGCMCMCX,商诙=标

5、=而.在GX上取点X使ZGFD=ZDFXZ在X?F上取W使CF/GW.X*DXfFXFXC/,=由DGFGFWCG得CGX?D=X2CGD.由上面两式得=，故X=X?.ZGFD=ZXFD.又.=1和ZXPB=XDF1.H和B在CX的同一侧.设H2为直线BF与俎FX外接圆的交点，贝UXZH次G=ZH2FG=zH2FX=ZH：GX.*H右=H次H2=H.x、f、g、h四点共圆，得证.Ayy二、上一rr汪：上迷证法比较麻烦，本题实质如下：易知X,玖为调和点列，又BFJ.FD,O可得FD为小FG的平分线，/设WG外接圆交战）于H点,/由“鸡爪”定理知=，从而K在GX的中垂线上，本题得证.例5.MBC中

6、，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P,O、H分别为三角形的外心与垂心.求证:AP1OH.A证明：由ZBMC=ZBNC=90知B、C、N、M四点共圆.AMAB=ANAC.又AE=AB,AF=AC,AMAE=ANAF,即E、F、N、M共圆.注意到由ZAMH=zANH=ZAEO=ZAFO=90件口AH、AO分别为ZAMN、MEF外接圆的直径.过AH中点H2与AO中点O窃别为ZAMN与ZAEF的外心，且易知O?H2/OH.只需证APJOH只需证A、O为ZAMN、MEF外接圆的等藉点即可.注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PMPN=PEPF.故P也为等藉点.综上所述，

7、原命题成立.例6.设AABC内接于圆O,过A作切线PD,D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU,U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S.证明：若QR=ST,贝UPQ=UT.证明：过O作OK_LPU=K,OF_LBU=F,连结AK延长交。于另一点E,过C作CH/PU交AE于G,交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE.由垂径定理知BF=FC,QK=KT,且QR=ST.一一一一.，一一PNRK=KS即K是RS的中点，且CH/PU.=:少=1：少HG=GC.；/由中位线定理知FGIIBH.i/./FGE=ZBAE=ZBCEF、G、C、E共圆.如、一ZEFC=ZEGC=z

8、AGH=AIKG.ZEFO+zOKE=ZOFC+ZCFE+ZOKE=90。+(&KG+zOKE)=90+90=180.K、O、F、E四点共圆又.ZOKU+ZOFU=290=180气K、O、F、U四点共圆结合知K、O、F、E、U五点共圆，ZKUO=ZKEO.又.PA为OO切线OAJPA,且OKJPUZKEO=ZKAO.ZKPO=ZKUOOP=OU.又.OK_LPU,.PK=UK.而QK=TU,.PQ=UT,得证.例7.AB、AC为OO切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、0、P三点共线，OP为以P点为圆心、PD为半径的圆.证明：C点在ABMP外接圆与OP的根轴上.S证明：作P

9、R1AC，其延长线交BC延长线于S.zOMA=ZOBA=ZOCA=90,A、C、O、M、B五点共圆./BMP=ZBMA+90=ZBCA+90=180ZRSC.B、M、P、S四点共圆.C对zBMP外接圆的藉为一CBCS=2CACR.而C对P的藉为CP2-PD2=CP2-(AP2-ADAE)=CP2-AP2+AC=CR2+RP2-PR2-AR2+AC2=CR2-(CR+CA)2+CA2=2RCCA.C点对OP的藉等于C点到zBMP外接圆的藉.C点在上述两圆根轴上，得证.例8.设H为丛BC的垂心，D、E、F为8BC的外接圆上三点，使AD/BE/CF,S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的

10、对称点.求证:S、T、U、H四点共圆.证明：先证引理：ABC外接圆OO与它的九点圆OV关于MBC的垂心H位似，且位似比为.引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F,交。O于D卫E?、F?易知HD=HD二HE=HE.：,HF=HF二.正方2与小EF关于H位似，位似比为.正方彩卜接圆与8EF外接圆关于H位似，即O与OV关于H位似，位似比为.AD回到原题：设BC、CA、AB中点分别为X、Y、乙过D作DPBC,交。O于P,设PH中点为W.易知SDJBC,设PS交BC于X2,则由SD关于BC对称知SX2=XR.X2为BC中点，即X与X2重合，即同理P与U、T分别关于Z、Y对称.

11、四边形USHT与四边形ZYWX对称.由引理知Z、X、Y、W四点共圆.U、T、H、S四点共圆，得证.例9.给定锐角ZABC，过A作BC的垂线，垂足为D,记ZABC的垂心为H,在MBC的外接圆上任取一动点P,延长PH交ZAPD的外接圆于Q.求Q点的轨迹.解：Q点轨迹为ZABC的九点圆.如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K,延长AD交MBC外接圆于G.则熟知HD=DG,连接KN、MN、KD、PB、PG.因为各取中点有ZNKD=ZBPG,ZNMD=ZBAG.K、N、M、D四点共圆.又Q在ZAPD的外接圆上,.PHHQ=AHHD,即2KHHQ=2MHHD.KHHQ=MHHD.于是有K、D、Q、M、N

12、五点共圆.又8MN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上.反之，在如上所述九点圆上任取一点Q2,设Q2H延长线交ZABC外接圆于P2，取P2H中点R,同上可证R在九点圆上.故2RHHQ2=2MHHD,即P2HHQ2=AHHD.因此Q弗ZAPQ外接圆上.得证.例10.在AABC中，D是BC边上的一点，设01、02分另U是MBD、MOD的外心，O?是经过A、O1、O2三点的圆的圆心.求证：O2D1BC0AD恰好经过MBC的九点圆心.证明：连AO1、BO1、AO2、CO2,作AB、AC垂直平分线交于点O.-/AO2C=2zADB=ZAO1B,AO1=BO1,AO2=CO2，OiBsAO2C.MO1O2SA

13、BC.ZAO1O=180zAOB=180。ZAO2C=180-ZAO2O.故O在。O2上，O是MBC的外心，故MO2Os公。诅.又zADB=Z1,ZO1AB=ZO2AO=ZO2OA.OJDJBCZBAO1=zADOg/ADO2=ZO2DA0A、O2O、D共圆均ZAO2O=180-ZADO=ZADB+zODC询ZADB=zODC(ZAO2O=2ZADB如图，设OH与AD交于点K,作BC中垂线OM,交AD延长线于点M,OM与BC交于点L.由ZADB=ZODC血DL=LM血OM=2OL=AH饥AAKH丝JMKO蚀OK=KH血K为九点圆心血AD经过ZABC的九点圆心.综上所述，命题得证.例ii.硕。内

14、接于HP,自刃作2P的切线L又以x为圆心，才c为半径作侄交直线力夕于耳-上，交直线，于E;则四边形EE2F2的四条边所在直线分别通过WC的内心及三个旁心.以下，我们仍按AC情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明：。）、如图,设匕醐C的平分线交|F|于，因AE=AC,h,则点C*|关于直线对称，又因E|，GK在上，则因此&5共圆,由于为回的切线，则=履BC,又由任产M,所以E八1新-乍M+CjLACI=Z-Acrr.=111222?因此/为阳时的内心.Q）、据条件知，为矩形，设角平分线交直线巴耳于由（I）知，点侃关于直线力对称，故心中则4为fCB的外角平分线，因此七为此边外的旁心.

15、、设乙砌C的外角平分线交直线W于时，由匕以匕泌-W&，则共圆.专业整理分享LFH2=LF.AI290-LIAF2-LAEJ-LABlLEJB2一+8=3)故B，L人共线，因此乌为X。边外的旁心.(4、设匕&1C?的外角平分线交直线E见于匕，连罹,因匕人勺=90，“匕必故顼中共圆.必吗-血奶口必.班&L&所以匕，B,七共线，即8匕是的外角平分线,因此匕为朋边外的旁心.例12.三角形中，血IG讨是BC的中点，分别是8GCM8边上的点,且AEF，nEF的外接圆交线段/。于R若点尸满足：P=PEPF证明：1证明：在圆匠ME中，由于弦/E刀尸.故圆周角LAPE=LAPF=1(180-J)=LABC=LA

16、CH因此，与尸,。,五分别共圆，于是*厂设点尸在边GEM上的射影分别为则尸户G,故由疔=程、”得，明啊PG园I设仙C的内心为人今证四点共圆:连MC，因分别共圆，.-3-5AS翌.叫PC,又由。1,页.瓦,所以因此工LPB.A.-匕心,而m乙PCA、匕PRQ,所以因为LPBC.=LPBI+LIBALICB=-=-=LiBA,22周二)故得LPCI-LPBI?因此EEC四点共圆，AABPC=-BIC=90+=180-/.于是-延长AM交MBC的外接圆于，则。为该外接圆的直径，于是dlACtOfi=OI-oc,因此，点。是W所在圆的圆心，从而刀及4C为巨P的切线.延长刀。交园于T,则MbsETC,所

17、以如-pt?,又由WPsMTB,ABBTBTCT得亦=而，因AC、故疝=花.延长PM到G,使GM-PM，则必。为平行四边形,匕时C180“-3PCPZ?G.BTPBPB由得CT=PC=BG.由、得APgGsAHTT.所以,1BPG=LTBC颂C，即LBPM乙CPD.三、巩固训练1.。为正三角形MC的边上的任意一点，设A48D与的内心分别为匕上，外心分别为。q；证明：+Q匕估AA/lD=90+-20fr/证明：如图，据内心性质，有2,所以仲，共圆，即点看在RHOC上，而。少28渺，得点0也在毋昼上，即A中&五点共圆.此圆的圆心即为田。的圆心0；A垂线，即共BDC线，因此30+LAixO-LD1.

18、ALACO120。+30。-150。.同理有绿时8五点共圆，圆心为。，因此四“OqQQ,且四。/150由于可以=时匕Q|D0=6O：则4四+华/30；又在皿M中，叫OQ四,30“；在少。中，华DQ+EOJ疽30“；所以.匕球于是MQ。，。.从而中=%处少，由于在直角三角形戮山中，爵+回，所以有2.ZABC内切圆与BC切于K,AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与MBC内切圆交于K、N.求证：zBNC外接圆与AABC内切圆切于N.证明：设ZABC关于ZBAC的旁切圆为OIA，半径为以，ABC内心为I,。1半径为r,。IA切BC于T,KI交。I于K、S,贝U.=,IaTMS（均垂直于BC）.A、S、T共线.I为SK中点，M为AD中点，SK/AD,.、I、M共线.-=,IK/IaT,.M、K、Ia三点共线.设OI关于点K、N切线交于Q,则QIJNK.设QI交NK于R,则IB平分ZABC,IaB平分ZABC外角,.ZI