相似矩阵 学习-文档资料

1、1第二节第二节2一、相似矩阵的概念和性质一、相似矩阵的概念和性质定义定义 对于对于n阶方阵阶方阵A和和B，若存在若存在n阶阶可逆可逆方阵方阵P，使得使得 1,P APB则称则称A与与B 相似相似, ,记为记为. BA矩阵的矩阵的“相似相似”关系具有以下特性：关系具有以下特性：(1)(1)反身性：反身性：对对任任何何方方阵阵A，总总有有AA( (令令EP 即即可可) )； (2)(2)对称性：对称性：若若BA，则则有有AB ； 证证BAPP 1.)(111 BPP1 PBPA(3)(3)传递性：传递性：若若BA, ,且且CB , ,则则有有CA. . 证证CBQQBAPP 11,.)()(1CP

2、QAPQ QAPPQ)( 11 3相似矩阵的性质：相似矩阵的性质：定理定理 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式, ,从而特征值相同从而特征值相同. .证证BAPP 1APPEBE1 PAEP)(1 PAEP 1 .AE 推论推论1 相似矩阵的行列式相等；相似矩阵的行列式相等；推论推论2 相似矩阵的迹相等；相似矩阵的迹相等；推论推论3 若矩阵若矩阵A与一个对角阵与一个对角阵 n 21相似相似, ,则则n ,21即即为为A的的全全部部特特征征值值。 4注意注意: : 特征值相同的矩阵不一定相似特征值相同的矩阵不一定相似.例例如如, , 1011A与与 1001E的的特特征征值值相

3、相同同， 但它们不相似但它们不相似, , 因为对任意可逆阵因为对任意可逆阵P, ,1EEPP 即与即与 E 相似的矩阵只有它自己。相似的矩阵只有它自己。相似矩阵的其它性质：相似矩阵的其它性质： 相似矩阵的秩相等；相似矩阵的秩相等；,1BAPP 若若P, ,Q为可逆矩阵为可逆矩阵, ,则有则有. )()()(ArAQrPAr 5若若BA , ,则则 kBkA, ,其其中中k为为任任意意常常数数； TTBA ； mmBA , ,其其中中m为为任任意意正正整整数数； )()(BpAp, ,其其中中)(xp为为任任一一多多项项式式； A , ,B 同为可逆或不可逆同为可逆或不可逆, ,可逆时它们的逆矩

4、阵可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。及伴随矩阵也分别相似。它它们们的的特特征征矩矩阵阵AE 和和BE 也也相相似似； 只证只证(3)，其余证明留作练习，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6),1BAPP mmAPPB)(1 )()(111APPAPPAPP .1PAPm 6例例1解解设设 32020002aA, , bB00020001, ,且且BA, ,求求 ba,。 BA ba 43 )(tr)(trBA ba 35 .53 ba另解另解相似矩阵有相同的特征多项式，由相似矩阵有相同的特征多项式，由detdetEAEB得得200200010340102ab7计算上面两个

5、行列式，得到计算上面两个行列式，得到22212338ab比较等式两边比较等式两边 同次幂的系数，得同次幂的系数，得3138abb 3 .5ab解得8 n阶矩阵阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件与一个对角阵相似的充分必要条件是是A有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 二、矩阵可相似对角化的条件二、矩阵可相似对角化的条件 定理定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似如果一个矩阵能与一个对角阵相似, ,称该矩阵称该矩阵可以可以( (相似相似) )对角化对角化。 证证 必要性：必要性：设设A与一个对角阵相似与一个对角阵相似, ,即存在一个可逆即存在一个可逆阵阵P, ,使使,211 nAP

6、P 9即即, PAP,1 APP将将矩矩阵阵P按按列列分分块块, ,),(21nP , ,则则有有 ),(),(2121nnA , ),(),(221121nnnAAA 即即即得即得, 2 , 1 ,niAiii 说说明明n ,21是是A的的分分别别对对应应于于特特征征值值n ,21的的特特征征向向量量, , 由由于于P可可逆逆，所所以以n ,21线线性性无无关关。 ,21 n 必要性得证。必要性得证。上述步骤倒过来写上述步骤倒过来写, ,即得充分性证明。即得充分性证明。 10推论推论1 如果矩阵如果矩阵A的特征值互不相同的特征值互不相同, ,则则A必可对角化必可对角化. .因为属于不同特征值

7、的特征向量是线性无关的因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的. .注意注意: 这个这个条件是充分的而不是必要的条件是充分的而不是必要的. . 如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此时不一定有，此时不一定有n个线性个线性无关的特征向量，从而矩阵无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如不一定能对角化；但如果能找到果能找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量, A还是能对角化还是能对角化推推论论 2 2 n阶阶方方阵阵 A可可对对角角化化的的充充分分必必要要条条件件是是对对每每一一个个in重重的的特特征征值值i , ,矩矩阵阵AEi 的的秩秩为为inn . . （证证略略） 即

8、齐次线性方程组即齐次线性方程组 的基础解系所含的的基础解系所含的向量个数等于特征根向量个数等于特征根 的重数的重数 。0iEA Xiin11解解633312321 AE, )9)(1( 633312011 633312011)1( 663332001)1( 6633)1( 21rr 例例2设设,633312321 A求可逆阵求可逆阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵. . 12，对对01 特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 6333123210AE,000110321 ，对对12 特征向量特征向量,)0,1,1(2T 733322322AE,0001

9、00322 13特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 特征向量特征向量,)0,1,1(2T ，对对93 特征向量特征向量,)2,1,1(3T 3333823289AE,0001206111 14,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( ,)0,1,1(2T ,)2,1,1(3T , ),(321 P令令111 011 211则则.9101 APP15解解1630310104 AE, )2()1(2 例例3判断矩阵判断矩阵 1630310104A能否对角化，若能，能否对角化，若能，对对11 0630210105AE,00000002

10、1 特征向量特征向量,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 求可逆阵求可逆阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵. . 161630310104 AE, )2()1(2 ，对对22 36305101022AE,000130051 特征向量特征向量,)3,1,5(3T ，对对11 ,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 可对角化可对角化,310101502 P.2111 APP17解解 1112124 AE,)2(2 ，对对21 2111221222AE,000100122 只有一个线性无关的特征向量只有一个线性无关的特征向量, ,例例4判断矩阵判断矩阵 能否对角化，若能，能否对角化，若能

11、， 011102124A所以不能对角化所以不能对角化.21cc 求可逆阵求可逆阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵. . 18设设 0011100yxA有有三三个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量，求求x和和y应应满满足足的的条条件件。 例例5解解,0)1()1(011102 yxAE得得A的特征值为的特征值为 12,1 ，13 ， 只只要要12, 1 有有两两个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量即即可可， 即即矩矩阵阵AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , 19 01110 yxAE即即矩矩阵阵AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , AE 1 1010101yx,00000101 x

12、y只只要要满满足足0 yx即即可可. . 20设设矩矩阵阵 51341321aA的的特特征征方方程程有有一一个个二二重重根根, 求求 a 的的值值, 并并讨讨论论 A 是是否否可可相相似似对对角角化化. 例例6解解51341321 aAE513410)2(2 a51341011)2( a, )3188)(2(2a 21当当2 是是特特征征方方程程的的二二重重根根， 则则有有,03181622 a 解得解得2 a. 故故2 对对应应的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有两两个个, 从而从而A可相似对角化可相似对角化. . 3213213212AE,000000321 秩为秩为1，)3188

13、)(2(2aAE 22)3188)(2(2aAE 若若2 不不是是特特征征方方程程的的二二重重根根, 则则a31882 为为完完全全平平方方, 从从而而16318 a, 解解得得 ,32 aE,000110301 故故4 对对应应的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量只只有有一一个个, 从而从而A不可相似对角化不可相似对角化. . 秩为秩为2，特特征征值值为为 2,4,4, 23 一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵能对角化，即存在可逆阵P，使得使得 ,1 APP则则,1 PPA)()(111 PPPPPPAn于是于是,1 PPn1111)()()( PPPPPPPP转化为对角阵求幂转化为对角阵求