2010高考知识点——函数的奇偶性和单调性

1、高1 第2讲 函数的奇偶性和单调性高1 第2讲 函数的奇偶性和单调性一、 要点 疑点 考点1. 函数的奇偶性（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。2. 具有奇偶性的函数图象特点一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函

2、数。3. 函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)。有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1。(2)利用定理 借助函数的图象判定。(3)性质法判定 在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)。 偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)

3、与(-b，-a)上的增减性相同。4. 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2，当x0，+时是增函数，当x(-，0)时是减函数.5. 单调区间如果函数y=f(x

4、)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.6. 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：(1)取值：对任意x1,x2M，且x1x2；(2)作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正负；(4)根据判定的结果作出相应的结论.7. 复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数 单调性 u=g(x) 增增减 减 y=f(u) 增减增减y=fg(x)增减减增注意：

5、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 二、 课前热身1. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函数，则a_，b_，c_。2. 设f(x)(xR)是以3为周期的奇函数，且f(1)1，f(2)=a，则( )。(A)a2 (B)a-2 (C)a1 (D)a-13. 已知奇函数f(x)在x0时的表达式为f(x)=2x-1/2，则当x-1/4时，有( )。(A)f(x)0 (B)f(x)0 (C) f(x)+f(-x)0 (D) f(x)+f(-x)04. 函数的奇偶性是( )。(A)奇函数 (B)偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶5. 已知y=f(x-1)是偶函数，

6、则y=f(x)的图象关于( ) 。A.直线x+1=0对称 B.直线x-1=0对称 C.直线x-1/2=0对称 D.y轴对称6. 下列函数中，在区间(-，0)上是增函数的是( )。(A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a0) (C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x)7. 定义在区间(-，+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合，设ab0，给出下列不等式：f(b)-f(-a)g(a)-g(-b); f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)g(b)-g(-a); f(a)-f(-b

7、)g(b)-g(-a) 其中成立的是( )。 (A)与 (B)与 (C)与 (D)与 8. 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-，4上是减函数，那么实数a的取值范围是( )。(A)(-，-3) (B)(-，-3) (C)(-3，+) (D)(-，3)9. 函数的减区间是_；函数的减区间是_。10. 函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( )。A.(-，1) B.(2，+) C.（1，32） D.32，2 三、 能力 思维 方法（典型例题分析）1. 判断下列函数的奇偶性，并说明.（1）（2）（3）（4）（5）（6）2. 对于函数，是否存在这样的实数a，使f(x)是偶函数或奇函数？3. 讨论函数f(x)=2x+1/x在x>0上的单调性。4. 求函数的单调递减区间。四、 延伸 拓展（课堂同步测试）1. 已知偶函数f(x)的定义域为R，它在上是减函数，且f(1-a)-f(a2-2a)<0，求实数a的取值范围。2. 设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，y有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求证