高中数学导数及其应用专题

1、专题导数及其应用考点精要1 .了解导数概念得实际背景.2 .理解导数得几何意义.3 .了解函数得单调性与导数得关系;能利用导数研究函数得单调性,会求函数得单调区间（其中多项式函数不超过三次）.4 .了解函数在某点取得极值得必要条件与充分条件;会用导数求函数得极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）;会求闭区间上函数得最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.5 .会利用导数解决某些实际问题.热点解析导数得几何意义及其应用,基本初等函数得导数公式及导数运算得四则运算法则就是高考得重点与热点,要会利用导数求曲线得切线,注意区分在某点处得切线与过某点得曲线得切线.求函数在点（X0,）处得

2、切线方程或切线斜率；求函数得单调增区间或单调减区问;求函数在（a,b）上得极值，求在a,b上得最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现.知识梳理1 .一般地，函数丫=在X=X0处得瞬时变化率就是=我们称它为函数丫=在X=X0处得导数,记作或yx=Xo,gp=2 .函数在x=xo处得导数就就是切线PT得斜率k,即k=3 .导函数=''=4C=她'=X（1x25 .基本初等函数得导数公式:若=c，则=0;（2）若=乂«）,则=»“1;（3）若=$所乂,贝U=cosx;（4）?r=cosx,贝U=sinx;(5)若=ax,则=axlna;(6)若=e

3、x,则=ex;若=logax,则=；(8)若=lnx,则=;6 .导数运算法则:±'二±(2)口'=+(3)7、导数得应用体现在三个方面:(1)求曲线得切线:其方法就是,先求函数在某点处得导数得切线斜率,再用点斜式建立切线方程,后化为一般式.求曲线得切线时要注意两种不同得要求:一种就是求“函数在某点处得切线”,这个点就就是切点;一种就是求“函数过某点得切线”,则这个点可以就是切点,也可以不就是切点。这两种要求得切线得求法有区别.(2)求函数得极大(小)值与最大(小值)求可导函数得极值得步骤:求导数;这一步就是基础,要求利用导数公式及运算法则正确地求出导函数.

4、求方程=0得根;这一步用到方程知识，注意=0得根应在y=得定义域中.检验在方程=0得根(又叫函数驻点)得左、右侧得符号就是否发生变化:如果在根得左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数丫=在这个根处取得极大值；如果相反，在这个根得左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y二在这个根处取得极小值.如果求闭区间a,b上函数得最值，则应在、及开区间(a,b)内得极值中间作比较,最大得就就是最大值,最小得就就是最小值.(3)研究函数得单调性设函数尸在某个区间D内可导，且，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数.(注意:这里=0在D得任意一个子区间内不能恒.成立,否则,函数在这个子区间内为常函数,为

5、水平线段,不具有单调性)(4)不等式得恒成立问题与能成立(存在性)问题不等式得恒成立问题若在上恒成立,等价于在上得最小值成立,若在上恒成立,等价于在上得最大值成立对任意,都有成立得充要条件就是不等式得能成立(存在性)问题若在上能成立,等价于在上得最大值成立若在上能成立,等价于在上得最小值成立。例题精讲:例1、曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处得切线方程为例2、有下列命题:x=0就是函数y=x3得极值点三次函数=ax3+bx2+cx+d有极值点得充要条件就是b23ao0奇函数=mx3+(m1)x2+48(m2)x+n在区间(4,4)上就是单调函数其中假命题得序号就是例3、已知函数=x3+b

6、x2+cx+d得图像过点P(0,2),且在点M(1,f(1)处得切线方程为6xy+7=0(1)求函数丫=得解析式；(2)求函数y=得单调区间.例4.(没有图像)已知函数R)、(1)若曲线在点处得切线与直线平行,求a得值;(2)求函数得单调区间与极值;(3)当,且时,证明:解:(I)函数所以又曲线处得切线与直线平行所以(II)令当x变化时，得变化情况如下表+0一极大值、1由表可知:得单调递增区间就是，单调递减区间就是所以处取彳#极大值,9分(III)当由于只需证明令因为，所以上单调递增，当即成立。故当时，有13分例518、(本小题共14分)已知函数(I)若，求函数得极值与单调区问；(II)若在区

7、间上至少存在一点，使得成立，求实数得取值范围、解：(I)因为,2分当，令，得，3分又得定义域为，随得变化情况如下表：0极小值所以时,得极小值为1、-5分得单调递增区间为，单调递减区间为与分(II)解法一:因为，且,令，得到,在区间存在一点，使得成立，充要条件就是在区间上得最小值小于0即可、-7分当,即时,对成立，所以，在区间上单调递减,故在区间上得最小值为,由，得，即9分当,即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减,所以，在区间上得最小值为，显然，在区间上得最小值小于0不成立11分若，即时，则有极小值所以在区间上得最小值为，由，得，解得，即、13分综上，由(1)(2)可知:符合题意、14分解法

8、二:若在区间上存在一点，使得成立，即,因为，所以，只需7分令,只要在区间上得最小值小于0即可因为，令，得9分当时：极大值因为时,，而，只要，得，即11分(2)当时:极小值所以，当时，极小值即最小值为,由，得，即、13分综上，由(1)(2)可知，有74分2例6已知函数f(X-alnx2(a0)、x(I)若曲线yf(x)在点P(1,f)处得切线与直线yx2垂直，求函数yf(x)得单调区问；(H)若对于x(0,)都有f()x2(a1)成立，试求a得取值范围；解：(I)直线得斜率为1、函数得定义域为，因为所以,所以、所以、,由解得；由解得、所以得单调增区间就是，单调减区间就是、4分(II)，由解得；由

9、解得、所以在区间上单调递增，在区间上单调递减、所以当时，函数取得最小值，、因为对于都有成立，所以即可、则、由解得、所以得取值范围就是、8分例718、(本小题共14分)已知函数(I)若，求函数得解析式；(II)若，且在区间上单调递增，求实数得取值范围、解:(I)因为,2分由即得,4分所以得解析式为、5分(H)若，则，,6分(1)当，即时，包成立,那么在上单调递增,所以，当时，在区间上单调递增；8分(2)解法1:当,即或时，令解得，9分列表分析函数得单调性如下：10分要使函数在区间上单调递增，只需或，解得或、13分解法2:当，即或时，因为得对称轴方程为9分要使函数在区间上单调递增，需或解得或、13

10、分综上：当时，函数在区间上单调递增、14分例8(12北京东城期末)已知函数、(I)若，求曲线在点处得切线方程；(R)若函数在区间上单调递增，求实数得取值范围解析解:(1)当时,、,.3分所以所求切线方程为即.5分(H卜令，得、7分由于,，得变化情况如下表：+0一0+单调增极大值单调减极小值单调增所以函数得单调递增区间就是与、9分所以函数得单调递增区间就是与、9分要使在区间上单调递增，应有0或 >, 解得或学11分 又 且,12分要使在区间上单调递增，应有0或>,解得或学11分又且,12分所以<.即实数得取值范围13分例9.已知函数.求函数得导函数；当时，若函数就是上得增函数，

11、求得最小值；当时，函数在上存在单调递增区间，求得取值范围.【解析】(1).3分因为函数就是上得增函数，所以在上包成立，则有，即.设为参数,.则.当,且时,取得最小值.(可用圆面得几何意义解得得最小值)8分当时就是开口向上得抛物线，显然在上存在子区间使得，所以得取值范围就是当时，显然成立.当时，就是开口向下得抛物线，要使在上存在子区间使，应满足或解得，或,所以得取值范围就是.则得取值范围就是13分例1018.(本小题满分13分)已知函数，.若曲线在点处得切线与直线垂直，求得值;求函数得单调区问；当，且时，证明:.【解析】函数得定义域为,.又曲线在点处得切线与直线垂直，所以，即.由于.当时，对于，

12、有在定义域上包成立,即在上就是增函数.当时，由，得.当时,，单调递增；当时,，单调递减.当时,.令.当时,，在单调递减.又,所以在恒为负.所以当时，.即.故当，且时，成立.针对施栋1 .函数y=x2+2x+1在x=1处得导数等于A.2B.3C.4D.52 .函数得导数就是=A.B.C.D.3 .曲线y=x33x2+1在点(1,1)处得切线方程为A.y=3x 4B.y= 3x+2C.y= 4x+3D.y=4x+34 .=x33x2+1就是减函数得区间为A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)5 .函数=ax3+x+1有极值得充分必要条件就是A.a>0B.C.a<0D.6 .

13、设就是函数得导函数，y=得图像如下右图所示，则y=得图像最有可能就是7 .函数=x3+ax2+3x9,已知在x=3时取得极值，则a=A.2B.3C.4D.58 .函数=x33x+1，在闭区间3,0上得最大值、最小值分别就是A.1,1B.1,17C.3,17D.9,199 .函数y二在其定义域内可导，则"二则是函数y=在点x=x0处有极值得A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件10 .函数=(x3)ex得单调递增区间就是A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)11 .过原点作曲线y=ex得切线，则切点得坐标为;切线得斜率为12 .曲线y=x

14、33x2+1在点(1,1)处得切线方程为13 .若可导函数得导函数为，且满足=3x2+2xJM=14 .点P在曲线y=x3x+上移动,设以点P为切点得切线得倾斜角为，求得取值范围15 .就是=x3+2x+1得导函数，则得值就是16 .如图，函数得图像就是折线段ABC,其中A,B,C得坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则;函数在x=1处得导数=17 .若曲线=2乂2+如乂存在垂直于y轴得切线,则实数a得取值范围就是18 .设直线y=x+b就是曲线y=lnx(x>0)得一条切线，则实数b得值为19 .函数=lnx得图像在点(e,f(e)处得切线方程就是20 .函数十得单调减区间就

15、是21 .若函数=x33a2x+1得图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a得取值范围就是22 .若函数二在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+)上为增函数，试求实数a得取值范围.23 .已知函数=ax3+bx2+cx在点xo处取得极大值5,其导函数y=得图像经过点(1,0),(2,0),如右上图所示.求:(I)xo得值；(H)a,b,c得值；(田)得极小值.答案：例1、y=3x+1例2例3.(1)=x33x23x+2(2)(,1)上单调递增，(1,1+)上单调递减，在(1+,订单调递增针对训练1.C2.D3.B4.D5.C6.D7.D8.C9.B10.D11.(1,e),e12.3x+y

16、2=013.614.15.316.217.a<018.ln2119.y=20.(,0加(0,1)21.1<a<122.23.(I)x0=1(n)a=2,b=9,c=12(m)4高考链接1(09北京)设就是偶函数，若曲线在点处得切线得斜率为1,则该曲线在点处得切线得斜率为2(07北京文)就是得导函数，则得值就是.3(08北京文)如图，函数f(x)得图象就是折线段ABC其中A,B,C得坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)则f(f(0)=;函数f(x)在x=1处得导数f'(1)=4(11北京文)(本小题共13分)已知函数、(I)求得单调区问；(H)求在区间0,1上得最小值、5(10北京文)(本小题共14分)设定函数，且方程得两个根分别为1,4。(I)当a=3且曲线过原点时，求得解析式；(H)若在无极值点，求a得取值范围。6(08北京)(本小题共13分)已知函数就是奇函数、(I)求a,c得值；(H)求函数f(x)得单调区间、答案1略2(3)3224(共13分)解：(1)令，得.与得情况如下：x(0+/所以,得单调递减区间就是；单调递增区间就是(H)当,即时,函数在0,1上单调递增,所以(x心区间0,1上得最小值为当时,由(I)知上单调递减，在上单调递增，所以在区间0,1上得最小值为；当时,函数在0,1上单调递减,所以在区间0,1上得最小值为