人教版八年级上册数学期末复习7专题七 辅助线作法

1、人教版八年级上册数学期末专题七辅助线作法 一、构造全等 1如图，已知ABAD，CBCD.求证：ADCABC.证明：连接AC.在ADC和ABC中ADCABC.ADCABC.ADABCDCBACAC2如图，AC、BD相交于点O，ACBD，ABCD.求证：AD.证明：连接BC.在ABC和DCB中，ABCDCB.AD.ABDCBCCBACDB3如图，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD相交于O点，ABAC，BOCO.求证：BC.证明：连接AO.在AOB和AOC中，AOBAOC.BC.ABACBOCOAOAO4如图，已知ABAE，BCED，BE，F为CD的中点求证：AFCD. 证明：连接AC，AD.在

2、ABC和AED中， ABCAED.ACAD.又F为CD中点，AFCD.ABAEBEBCED 5如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于点D.试说明：BF2CD.证明：延长BA，CD交于ECDBD，BDEBDC90又BF平分ABC，BDBDBDCBDE，BCBE，DCDEBACBDC90，AFBDFCABFDCF又ABACBAFCAE，ABFACEBFCE2CD二、倍长中线构造全等 6如图，AD为ABC的中线，延长AD至E，使DEAD， 连CE.求证：ABCE，且ABCE. 证明：AD为ABC的中线，BDCD.在ABD和ECD中，ABDEC

3、DABEC，BADE.ABCE.ADEDADBEDCBDCD 7如图，ABC中，D为BC的中点 (1)求证：ABAC2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范围(1)证明：延长AD至E，使DEAD，连接BE. D为BC的中点，DBCD. 在ADC和EDB中， ADCEDB(SAS)， BEAC， 在ABE中，ABBEAE， ABAC2AD; ADDEADCBDEDBCD (2)解：AB5，AC3，532AD53，1ADMP，BMCNMN.三、截长法构造全等 9如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在 AD上求证：BCABCD.证明：在BC上取点F，使BFBA，连接EF.BE

4、、CE分別是ABC和BCD的平分线，12，34.在ABE和FBE中，ABEFBE(SAS)，A5.ABCD，12ABFBBEBE AD180，5D180.56180，6D.在CDE和CFE中，CDECFE(AAS)CFCD.BCBFCF，BCABCD.634DCECE 10如图，在ABC中，ABC60，AD、CE分别平分 BAC、ACB，AD、CE相交于点O. (1)求AOC的度数； (2)求证：OEOD.(1)解：AD、CE分别平分BAC、ACB，12 BAC，34 ACB.23 (BACACB)又ABC60BACACB180ABC1806012023 12060AOC180(23)1806

5、012012121212(2)证明：如图，在AC上截取AFAE，连接OF.AEAF ，12 ，AOAOAEOAFOOEOF，AOEAOFAOC120，AOE60，AOFCOD60COF，在COF和COD中，COFCOD(ASA)OFOD.OEOD.34FOCDOCCOCO 四、构造30的直角三角形 11如图，ABC中，ABAC，BAC120，AC的垂直 平分线交BC于D，交AC于E，DE2，求BC的长解：连接AD，如图所示：ABAC，BAC120，BC30，AC的垂直平分线交BC于D，DADC，DEC90，CD2DE4，AD4，BAD1203090，BD2AD8，BCBDCD8412.12如图

6、，ABC中，ABAC，BAC120，D为BC的 中点，DEAC于E，AE2，求CE的长解：连接AD.ABAC，BAC120，D为BC的中点，ADBC，AD平分BAC，BC30DAC BAC60，DEAC于E，AED90，ADE30，12在RtADE中，AE2，ADE30，AD2AE4，在RtADC中，AD4，C30，AC2AD8，则CEACAE826.13已知，四边形ABCD中，B90，A30， ADC120，AD3，BC1，求CD的长解：延长AD、BC交于点E，A30，B90AEB60ADC120，A、D、E在一条直线上CDE60，三角形CDE为等边三角形CDDECE，设CDx，在RtABE

7、中，BEBCCE1x ，即22x3x，解得x1，CD1.3222AEADDEx14如图，ABC中，BD是AC边上的中线，BDBC于点B， ABD30.求证：AB2BC.证明：延长BD到E，使得DEBD，连接AED是AC的中点ADCD又ADECDB，DEBDADECDB ，AEBC，EEBCBDBCEBC90E90在RtAEB中，ABE30AB2AE2BC15如图，点P是ABC的边BC上一点，PC2PB，ABC 45，APC60，求ACB的度数解：过C作CDAP，垂足为D连接BD.APC60，PC2PD又PC2PBPBPDBDPPBD30又PCD30PBD BDCDABDABPDBP15BAPA

8、PCABP15ADBDADCDACD45ACB453075五、利用“三线合一”作辅助线16如图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，E、F分别是 AB、AC上的点，且AEAF.求证：DEDF.证明：ABAC，AEAF，BC，BECF，点D是BC的中点，BDCD，在BED与CFD中，BEDCFD(SAS)DEDF.BECFBCBDCD 17如图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A点的直 线EFBC，且AEAF.求证：DEDF.证明：连接AD.ABAC，BDCD.AD垂直BC.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)又EFBC，AD垂直EF.又AEAF，DEDF.(线段垂直平分线上的点到线段两个

9、端点距离相等)18如图，ABC中，ABAC，点D、E、F分别在BC、AB、 AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中点 求证：DGEF.证明：连接DE、DF.ABAC，BC，在EBD和DCF中，EBDDCF.DEDF.又G是EF的中点，DGEF.BDCFBCBECD 19已知等边ABC，D是AC的中点，点E在BC的延长线上， 且CECD.DMBC于M. 求证：BMEM.证明：连接BD.ABC是等边三角形，且D是AC的中点DBC ABC 6030，ACB60，CECD，CDEE，ACBCDEE，E30，DBCE30，BDED，BDE为等腰三角形，又DMBC，M是BE的中点BMEM121220已

10、知ABC中，BAC90，ABAC，D为BC的中点 (1)如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，试判断 DEF的形状，并说明理由 (2)如图，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有 BEAF.请判断DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理由解：(1)DEF为等腰直角三角形，证明如下：连接AD.BAC90，D为BC的中点，ABACADBC，BDAD. BDAC45又BEAFBDEADF(SAS)EDFD，BDEADFEDFEDAADFEDABDEBDA90DEF为等腰直角三角形(2)DEF仍为等腰直角三角形证明如下：连接AD.ABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBD，ADBC

11、.DACABD45.DAFDBE135.又AFBE，DAFDBE(SAS)FDED，FDAEDB.EDFEDBFDBFDAFDBADB90.DEF仍为等腰直角三角形六、构造等腰三角形 21如图，ABC中，BAC120，ADBC于D，且AB BDDC，求C的度数(用两种方法)解：方法一：在DC上截取DEBD，连接AE，如图所示ADBC，ADBADE90，在ABD和AED中，ABDAED(SAS)，ADADADBADEDBDE ABAE，BAEB，又ABBDCD，DEBD，ABDECD，而CDDEEC，ABEC，AEEC，EACC.设EACCx，AEB为AEC的外角，AEBEACC2x，B2x，B

12、AE1802x2x1804x，BAC120，BAEEAC120，即1804xx120，解得：x20，即C20.方法二：延长DB至F，使BFBA，连接AFABBDDC DFDC在ADF和ADC中，ADFADC，CF又ABBFFFABC BACFABFC180又BAC120FABFC60，即3C60.C20.ADADADFADCDFDC 22如图，ABC中，C2A，BD平分ABC交AC于D. 求证：ABCDBC.(用两种方法)证明：方法一：在AB上取BEBCBD平分ABC，交AC于D，CBDEBD，在CBD和EBD中，CBDEBD(SAS)，BEBCCBDEBDBDBD CDED，CBED，C2A

13、，BED2A，BEDAADE，AADE，AEDE，AECD，ABBEAE，ABCDBC；方法二：延长BC至F，使CFCD，则FCDF，ACBFCDF，ACB2F，ACB2A，AF，在ABD和FBD中，ABDFBD(AAS)，ABBF，BFBCCF，BFBCCD，ABBCCD.ABDFBDAFBDBD 23如图，ABC中，ABAC，点D在AB上，点E在AC的延 长线上，且BDCE，DE交BC于点F.求证：DFEF.证明：作EGAB，交BC延长线于G.则BGABAC，BACBACBGCEGCEG，CEEGBDCE，BDEG又BG，DFBEFGBDFGEF(AAS)，DFEF七、构造等边三角形24(

14、1)已知：ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段 AB上，E是直线BC上一点，且DECDCE，若A 60(如图)求证：EBAD； (2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的 延长线上”，其他条件不变(如图)，(1)的结论是否成 立，并说明理由(1)证明：作DFBC交AC于F，如图1所示：则ADFABC，AFDACB，FDCDCE，ABC是等腰三角形，A60，ABC是等边三角形，ABCACB60，DBE120， ADFAFD60A，ADF是等边三角形，DFC120，ADDF，DECDCE，FDCDEC，EDCD，在DBE和CFD中，DBECFD(AAS)，EBDF，EB

15、AD.120DECFDCDBEDFCEDCD (2)EBAD成立理由如下：作DFBC交AC的延长线于F，如图2所示：同(1)得：ADDF，FDCECD，FDCDEC，EDCD，又DBEDFC60， 在DBE和CFD中，DBECFD(AAS)，EBDF，EBAD.DECFDCDBEDFCEDCD 25ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，ADE60， DE与ACB的外角平分线交于点E. (1)如图1，点D在BC上，求证：CACDCE； (2)如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之 间的数量关系(1)证明：在AC上截取CMCD，ABC是等边三角形，ACB60，CDM是等边三角形，MDCDCM，CMDCDM60，AMD120，ADE60，ADEMDC，ADMEDC，DE与ACB的外角平分线交于点E，ACE60，DCE120AMD，