微积分-函数的求导法则

1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvx

2、vxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例题分析例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数

3、的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和 例例5: 求曲线求曲线 上与上

4、与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x解：解：二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理11( )( )0,( ),11( ).( )yxxfyIyyf xIdyfxdxfydxdy -1如果函数在某区间 内单调、可导且(f那末它的反函数在对应区间内也可导 且有或即即 反函数反函数的导数等于的导数等于直接函数直接函数导数的导数的倒数倒数.例例6 6.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x

5、 .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy

6、 )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 例例7 7.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例8 8.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xxP98 EX6(5、10)推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydx

7、dyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx P98 EX8(8)、11（7）例例1010.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxxP98 EX8(9)例例1111.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )

8、0( a例例1212().nyf x求函数的导数22(sin)(cos).yfxfx求函数的导数四、小结四、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.思考题思考题1: 若若)(uf在在0u不不可可导导，)(xgu 在在0 x可可导导，且且)(00 xgu ，则则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必必可可导导；（2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgu

9、sin)( 在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2(思考题思考题2:幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(复习复习: 基本求导法则与导数公式基本求导法则与导

10、数公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.反函数的求导法则反函数的求导法则11( )( )0,( ),11( ).( )yxxfyIyyf xIdyfxdxfydxdy -1如果函数在某区间 内单调、可导且(f那末它的反函数在对应区间内也可导 且有或即即 反函数反函数的导数等于的导数等于直接函数直接函数导数的导数的倒数倒数.四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(00000