当自变量在点x取得增量

1、曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率二、曲率三、曲率圆三、曲率圆一、弧微分当自变量在点x取得增量 时，设 对应于曲线弧上点N，则在点M取得弧长增量为xxx.00MNMMNMs; 00sx时，当xyxMNMN22)()(|xMNMNMNxMNxs|, 00MNsx时，当) 1 ( ,)(1|2xyMNMN其中|MN|为弦MN的长 (弦长|MN|与弧长MN有相同的正负号) .设函数y=f(x)具有一阶连续导数，注意到当 时，N沿曲线趋于M.可以证明 .于是,对(1)式两端取 时的极限，即得0 x1|lim0MNMNx0 x从而.d1d2xys我们称ds为弧长s的微分，简称弧微分.,1)dd(122

2、yxy200)(1|limlimddxyMNMNxsxsxx.22的弧微分求曲线xayxysd1d2.d22xxaa例1.22xaxyax时，有当解xxaxd)(1222二、曲率1.曲线弯曲程度的二个要素(1) 与转角有关 弧段 比较平直，当动点沿这段弧从M1移动到M2时，切线转过的角度 不大.弧段 弯曲得比较厉害，转角 就比较大.132MM221MM(2) 与弧长有关 两段曲线弧 及 ，尽管切线转过的角度都是 ，但弯曲的程度并不一样，短弧段比长弧段弯曲得厉害.21MM21NN,arctan ,tanyy因此.d11d2xyy xysd1d2而弧长的微分 ，因此，曲线y=f(x)在点M(x,f

3、(x)处的曲率为.)1 (|dd|232yysK 曲线y=f(x)在点M(x,f(x)处切线的倾角 满足求直线L上任意一点处的曲率.由曲率公式可知，直线上任意一点处的曲率K=0.例2. 0 y不妨认为直线L的方程为y=ax+b.解, ay 可得求圆周 上任意一点处的曲率.222)()(Rbyax因此.11lim|lim00RRsKxs即圆周上各点处的曲率相同，皆等于该圆半径的倒数.例3设M(x,y)为圆周的任意一点，则由平面几何知识可知.Rs解232)1 (yyK .),()0(2处的曲率在点求曲线aaaaxy ,22xay因此在点(a,a)处.21)(2|234432),(aaaaaKaa例

4、4.22xayaxy可得由解,232xay ,)(|2)(1 |2|2344322322232xxxaxaxa三、曲率圆如果曲线y=f(x)上点M(x,y)处的曲率 ，则称曲率K 的倒数 为曲线在点M处的曲率半径.记为R，即, 0KK1.|)1 (1232yyKR 设 过曲线y=f(x)上点M(x,y)作曲线的法线.在法线上沿曲线凹向的一侧取点D，使 . 以D为圆心，以 为半径作圆，则称此圆为曲线y=f(x)在点M处的曲率圆，称曲率圆的半径为曲线y=f(x)在此点的曲率半径，称曲率圆的圆心D为曲线y=f(x)在点M处的曲率中心., 0KRKMD1|KR1由上述定义可知曲率圆有如下性质：(1)

5、它与曲线y=f(x)在点M处相切.(2) 在点M处，曲率圆与曲线y=f(x)有相同的曲率.(3) 在点M处，曲率圆与曲线y=f(x)的凹向相同.cbxaxy2试判定曲线(抛物线) 上哪一点处的曲率半径最小？因此.|2|)2(1 |)1 (232232abaxyyR 分母为常数，知当2ax+b=0，即 时，R最小.abx2此时 ，曲线上相应点为 .|21aR )44,2(2abacab例5由cbxaxy2.2,2,aybaxy 可得解此乃抛物线的顶点，直观上也容易知顶点处的曲率最大.如果有一个工件，内表面的截线为抛物线 欲用砂轮磨削其内表面，试判定砂轮直径最大为多少才合适？，24 . 0 xy 例6. 004 . 04 . 052cbaxy，可知由例解.)0 , 0()44,2(2处最小因此其曲率半径在ab