度量空间和线性赋范空间

1、第七章 度量空间和线性赋范空间7.4 柯西（Cauchy)点列和完备度量空间 教学目标：教学目标： 1、掌握柯西点列及完备度量空间的定义；、掌握柯西点列及完备度量空间的定义； 2、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识 迁移能力迁移能力； 3、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的 不完备性不完备性教学重点：完备度量空间的定义，定理教学重点：完备度量空间的定义，定理1.教学难点：教学难点：定理定理1的应用，空间完备性的证明的应用，空间完备性的证明 存在正整数 当 时有 则称是中的柯西点列.类

2、似地可以定义度量空间中的柯西点列.1Rnx1R 首先回忆一下 中柯西点列的定义.设是中的点列，如果对任意给定的整数0, ,NN, n m N,nmnmdx xx x 定义1 设 是度量空间， 是 中的点列,如果对任何事先给定的整数 存在正整数 是当 时，必有 则称 是 中的柯西点列或基本点列.如果度量空间 中每个柯西点列都在 中收敛，那么称 是完备的度量空间. 注意：这里要求在 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点. 由度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 维欧氏空间 则是完备的度量空间.在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯

3、西点列.实际上，如果 那么对任何正数存在 使当 时，有因此，当 时，由三点不等式，得到 即 是柯西点列. ,XX dnxX0, ,NN, n m N,nmdx xnxX,X d,X d,X dXnnR,nx nx 0, ,NN,2.ndxxnN, n m N,22,nmnmddxdxx xxxnx 例例1 是完备度量空间. 证明 设 是 中的柯西点列，其中于是对于任意 存在正整数 当 时， (1)因此，对每一个固定的 当 时，成立 (2)这就是说，数列 是柯西点列，因此，存在数 使得令 下面证明 且 在(2)式中,令 我们得到，对一切 成立 (3)又因 因此存在实数 使得对所有 成立 因此，这

4、就证明了 由(3)式，可知对一切 成立所以 因此 是完备度量空间.证毕.lmxl12,mmmx0,N, n m N,su p.mnmnjjjdxx, j, n m N.mnjj,1, 2,kjk,j ,njjn 12,.x ,xl.mx mx ,n ,mN12,mmmmjxl,mK, j.mmjK.mmmjjjjK.xl,mjj,mN,su p.mmjjjdxx.mx mx l 令 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对 中任意两点令易证 是一度量空间，实际上它是 的一个子空间. 定理定理1 1 完备度量空间完备度量空间X X的子空间的子空间M M，是完备空间的充要条件为，是完备空间的充要条件为

5、M M是是X X中的闭子空间中的闭子空间. . 证明证明 设M是完备子空间，对每个 存在M中的点列 ,使 由前述， 是M中柯西点列，所以在M中收敛，由极限的唯一性可知 ,即所以 因此M是闭子空间. 反之，如果 是M中柯西点列，因X是完备度量空间，所以存在 使由于M是X中闭子空间，所以 ,即 在M中收敛.这就证明了M是完备度量空间.证毕. 例例2 2 是完备的度量空间. 证明 有定理1，只要证 是 中的闭子空间即可.对任何 存在 因此对任何正数 存在正整数 当 时，对所有自然数 成立特别取 那么对所有 有但因 即 当 时收敛，因此存在 使对当 时，有于是当 时，成立这说明 是柯西数列，因而收敛，

6、即 所以 是 中的闭子空间.证毕.,xMnx,nx nxnxxM,MM,MMnx,xX,nx nxxMnxCC12,x 12,y ,su p.jjjdxyClCCl12,xC 12,1,2,nnnnC nx nxx 0,N,nN, j3.Njj ,3,nnjjdxx,nN, j,NCx3 .NNjk1, j kN1, j kN.NNNNjkjjjkkkNjj 1,N,1,2,jj12,xC ClC 例例3 是完备的度量空间. 设 是 中的柯西点列.于是对任何正数 存在正整数 使对一切 有 (4)因此对任何 有 这说明当 固定时， 是柯西数列，所以存在 使下面证明 是 上连续函数，且事实上，在（

7、4）中令 那么可以得到当 时，成立 (5)这说明 在 上一致收敛于 ，由数学分析知， 是 上连续函数，因此 且由（5）知，当 时，即 这说明了 是完备度量空间.证毕. 下面举一个不完备空间的例子. 例例4 设 表示闭空间 上连续函数全体，对任何 令那么 成为度量空间. 上面定义的度量空间 不完备. 证明 令,C a b,1,2,mmx,C a b0,N,n mN max,.mnmna t bttdxxx x ,ta b .mnttxxt ,1, 2,ntnx ,x t .mtxtx x t,a b.mxmx,nmNm a x.matbtxtx mtx,a b x t x t,a b,xC a bmN,mdxxm a x.matbtxtx.mx mx ,C a bX0,1,x yX10,ttdxyd tyx,X d,X d 1,1 2 111 21 2 10,01 2mmtttmtx 线性， 那么， 是 中的柯西点列.事实上，对任何正数 当 时, 但对每一个 如果 必有但由于 在 上连续，所以 在 上恒为0，在 上恒为1，所以 这与 在 连续矛盾，因此 不完备.证毕. ix,X d0,1nm 10,nmnmdtt dtx xxx 1 2 11 21,mnmtt dtmxx,xX 10,mmtdxtdtxxx 1 21 2 101 2m