线性代数的应用

1、线性代数的应用西安理工大学应用数学系内容提纲n本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用Matlab软件来求解这些具体问题的方法。药方配制问题交通流量分析人口迁徙问题一、药方配制问题n通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012

2、255336F255355355550G94172523925H651610103510I821202620一、药方配制问题n（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。n（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？1号新药2号新药3号新药A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230一、药方配制问题n解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性

3、。n若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；n若向量组线性相关，并且能找到不含 的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。36,u u一、药方配制问题n在Matlab窗口输入nu1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;nu2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;nu3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;nu4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;nu5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;nu6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;一、药方配制问题u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,

4、u4,u5,u6,u7U0,r=rref(U)计算结果为一、药方配制问题nU0= r= 1 2 4 5 7n1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看n0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性n0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组为n0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7，n0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2n四个零行 u6=3u2+u4+u5n 故可以配制新药一、药方配制问题n（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。n令U=u1,u2,u3

5、,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3nU0,r=rref(U)n由U0的最后三列可以看出结果一、药方配制问题n计算结果为 可以看出 v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被线性表示， 所以无法配制0101000013001200303400001010220000011000000000010100000000001000000000000000000000000000000U1,2,4,5,7,10r 二、交通流量的分析n通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解n问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车

6、流量。n针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。n请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）二、交通流量的分析4x1x2x260251DC3203573x360260AB220292单行道4节点交通图二、交通流量的分析n解：根据已知条件，得到各节点的流通方程A：B：C：D：12360260 xx23220292xx34320357xx41260251xx二、交通流量的分析n整理得方程组为n在Matlab窗口输入1223341410072379xxxxxxxx 1, 1,0,0;0,1, 1,0;0,0,1, 1; 1,0,0,1;A 10;72;37;9;b 二、

7、交通流量的分析n计算结果为( , )UrrefA b100100101 10900113700000U 二、交通流量的分析n由于U的最后一行全为零，方程组中只有三个有效方程，所以有无穷组解。以 为自由变量，其解为4x142434910937xxxxxx三、人口迁徙模型 n设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？三、人口迁徙模型n这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区

8、和郊区两个分量表示。n一年以后，市区人口为xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0n用矩阵乘法来描述，可写成：11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxxAxx 三、人口迁徙模型n从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为n 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0n得到：2120kkkkxAxA xA x1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,

9、 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492xxxx三、人口迁徙模型n本题特征值和特征向量的意义：n无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。n为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到 0.9200 0 -0.7071 -0.3162, 0 1.0000 0.7071 -0.9487lamdae三、人口迁徙模型n令nn它是特征向量的整数化，得到1211,13uu 0210.250.05(0.92)kkkxA xuu四、其他应用：情报检索模型情报检索模型：n

10、假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的关键词有m个。可以把数据库表示为mn的矩阵A。比如有7本书，6个关键词x（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是67的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素置1。 n搜索结果可以表示为乘积yATx，它是n1列向量。于是y的各个分量就表示各书与搜索向量匹配的程度。y值最大的元素对应于匹配最好的书籍，是读者可能最需要的。四、产品成本的计算：产品成本的计算：某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。成本矩阵为M，季度产量矩阵为P0.100.300.150.300.400.25 ,0.100.200.15

11、400045004500400020002800240022005800620060006000MP四、产品成本的计算 n将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行第一列元素为Q(1,1)0.140000.320000.1558001870不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度来看，Q矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。 1870 2220 2070 1960 3450 4020 3810 3580 1670 1940 1830 1740Q四、用逆阵进行保密编译码 n在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。

12、这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。n可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。n接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。四、网络和图 n图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：n经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。0 0111 00 010 10 01 010A00110011 1 1 1 0 10001000 0 0 1 1

13、 2110 1000 100 1 0 0 0 10101010 0 1 1 1 AAA 四、信号流图模型 n信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。n右图方程如下：n写成矩阵方程nx=QxPun移项整理，可以得到求信号向量x的公式。ux1x2-G2G11212120100 xGxuxGx 12221 1xuG xxG x，四、信号流图模型( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pun定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得：W=x/u = inv( I Q )*P221110010101GGIQGG2111211()11GIQGG

14、G1121121/1/1xux uIQPxuGG G四、平板稳态温度的计算四、平板稳态温度的计算(1020)/4(2040)/4(1030)/4(4030)/4abcbadcaddbcxxxxxxxxxxxx10.250.2507.50.25100.25150.25010.251000.250.25117.5abcdxxxx四、化学方程的配平化学方程的配平n确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程为n写成矩阵方程138223242()()()()x C Hx Ox COxH O1234301080020221xxxx 12343010080020002210 xxAxxx-四、现代飞行器外形设计例四、现代飞行器外形设计例n把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，