线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换

1、第二节第二节 全排列及其逆序数全排列及其逆序数第一章第一章 行列式行列式一、概念的引入一、概念的引入 引例引例 用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？解解种放法种放法.共有共有6123 3种放法种放法1 2 3123百位百位2种放法种放法十位十位1231个位个位12 31种放法种放法二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数 定义定义 把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的个元素的全排列（或排列）全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常用个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表

2、示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 问题问题 把把 个不同的元素排成一列，共有几种不个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？同的排法？ n例如例如 排列排列32514 中，中， 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不个不同的自然数，规定由小到大为同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序1 2tsni iiiistii 定义定义 在一个排列在一个排列 中，若中，若 ，则称这两个数组成一个逆序，则称这两个数组成一个逆序. 定义

3、定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列一个排列中所有逆序的总数称为此排列的的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 43110故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为0+1+0+3+1=5.逆序数为逆序数为0 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数些元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数.例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的

4、方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t.5 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;12321n nn解解1,2n n当

5、当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn12(2)1tnn 例例2 2 计算下列排列计算下列排列 的逆序数，并讨论它的奇偶性的逆序数，并讨论它的奇偶性.第三节第三节 n n 阶行列式的定义阶行列式的定义第一章第一章 行列式行列式一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3 （2）每项都是位于不同行不

6、同列的三个元素）每项都是位于不同行不同列的三个元素的的乘积乘积 （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211

7、212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 说明说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的

8、需要而定程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号混淆不要与绝对值记号混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 例例1 1计算对角行列式计算对角行列式0004003002001000分析分析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能

9、等于 , 1p4同理同理2343,2,1.ppp0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算计算上三角行列式上三角行列式11121222000nnnnaaaaaa分析分析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 例例3 计算计算12340421005

10、60008D 443322118000650012404321aaaaD .1608541 解解同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕第四节第四节 对对 换换第一章第一章 行列式行列式一、对换的定义一、对换的定义 定

11、义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的操作叫做素不动，这种作出新排列的操作叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系 定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆

12、序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形 .当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变 ;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变 ， 的逆序数减少的逆序数减少 1 .ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 .设排列为设排列为 ,nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b再证一般对换的情形再证一般对换的情形 .次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111

13、nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcacbbbaa 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性 .abnmlccbbbaaa111abab 推论推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. . nppptnaaaD21211 定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数. .tnppp21证明证明 由定理由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的

14、次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),推论成立推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有因此知因此知 nnppptaaaD21211 nppptnaaaD211211 记记对于对于 D 中任意一项中任意一项 ,12121nnppptaaa 总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项1D ,12121nqqqsnaaa 与之对应并相等与之对应并相等; 反之反之 , 对于对于 中任意一项中任意一项1D ,12121nppptnaaa 也总有且仅有也总有且仅有 D 中的某一项中的某一项12121nsqqnqa aa与之对应并相等与之对应

15、并相等 ,于是于是D与与1D中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而.1DD 定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 是两个是两个 级排列，级排列， 为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和. .nnqqq,ppp2121nt例例1 1 试判断试判断 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解655642312314aaaaaa列标的逆序数为列标的逆序数为 6102210431265 t所以所

16、以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa此时列标的逆序数为此时列标的逆序数为4523168,t所以，所以， 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa 324314512566a a a a a a142532435166,a a a a a a可改写为可改写为例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解431265的逆序数为的逆序数为012201 t, 6 所以，所以， 前边应带正号

17、前边应带正号.651456423123aaaaaa651456423123) 1 (aaaaaa1423 31 425665,a a a a a a可改写为可改写为行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为20003014 ,t所以，所以， 前边应带正号前边应带正号.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa10020046,t 1210,tt例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 12,2nn解解 nnnnntnaaaaD1 , 12,21, 11 nnt 1211 , !1 nt nnnt2121 0 1 2320nn 2 2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3. 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1. 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n小结小结 4. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的而定义的. 5. 阶行列式共有阶行