线性代数1.1,1.2

1、行列式1.1 二阶与三阶行列式一、一、二元线性方程组与二阶行列式二、二、三阶行列式三、三、小结一、二元线性方程组与二阶行列式线性方程组 指的是由数个一次方程所构成的方程组。 例n 元线性方程组未知数个数共有 n 个的线性方程组。 . 3624, 2253321321xxxxxx . 7235, 3623, 2352zyxzyxzyx消元法解二元线性方程组 例 .1665,2432121xxxx1 12 21 1 ( 6)2 2 412241821 xx64 242021 xx76 381 x2 1 x消元法解二元线性方程组 - - 续 .1665,2432121xxxx121 1 52 2 3

2、10201521 xx84 181521 xx83 382 x1 2 x消元法解二元线性方程组 - - 一般情形 .,22221211212111bxaxabxaxa消元法解二元线性方程组 - - 一般情形 .,22221211212111bxaxabxaxa121 1 a222 2 a122212221212211abxaaxaa 122221112212211 ababxaaaa 122122111222211 aaaaababx 1222122211221abxaaxaa ( ( 若 a11 a22 a21 a12不为零 ) )？消元法解二元线性方程组 - - 一般情形 续 .,2222

3、1211212111bxaxabxaxa121 1 a212 2 a112112211212111abxaaxaa 211112221121122 ababxaaaa 211211222111122 aaaaababx 1122112211121abxaaxaa ( ( 若 a11 a22 a21a12不为零 ) )整理 .,22221211212111bxaxabxaxa 若 a11 a22 a21a12不为零，方程组有唯一解 122122111222211 aaaaababx 211211222111122 aaaaababx 分母部分由原方程组的四个系数决定定义 由四个数排成二行二列（横

4、排称行、竖排 称列）的数表表达式 a11a22 a12a21 称为此数表所确定的二阶行列式，并记作22211211aaaa22211211aaaa即.2112221122211211aaaaaaaaD 例.2112221122211211aaaaaaaa 43213241 .2 72592579 .53 70530573 .21 11a12a22a21a主对角线副对角线二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组D 称为此线性方程组对应的系数行列式= a11a22 a12a21 .,22221211212111bxax

5、abxaxa,22211211aaaaD ,2221211ababD .2211112babaD 除了系数行列式，我们再考虑以下两个特别的行列式 D1 以及 D2 . 回顾 .,22221211212111bxaxabxaxa 若 a11 a22 a21a12不为零，方程组有唯一解 122122111222211 aaaaababx 211211222111122 aaaaababx , 22211211aaaaD , 2221211ababD . 2211112babaD 可得到: : 以下二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 若其系数行列式 D 不为零，方程

6、组有 唯一解 ,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 例 求解二元线性方程组二、三阶行列式定义 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 记记333231232221131211aaaaaaaaa(6) 式称为数表 (5) 所确定的三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa( 5 )( 6 )符号规则 333231232221131

7、211aaaaaaaaaD 列标行标 元素（元）符号规则这门课会出现的矩形数表，其中元素位置的标号均按照类似规则。 12n例 如以下 n 行 m 列的矩形数表。nmmmnnaaaaaaaaa212221212111行标 列标12m三阶行列式的计算：对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa说明注意对角线法则只适用于二阶与三阶行列式！红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32三阶行列式的计算：对角线法则333231232221131211

8、aaaaaaaaa说明红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号。=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32另一个记忆三阶行列式对角线法则的方式333231232221131211aaaaaaaaa相同数表复制一次例 2 计算三阶行列式2-43-122-4-21D 解 按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 例 3 求解方程. 094321112 xx解解方程左端由 x2 5x + 6 = 0 解得 x = 2 或 x =

9、3. D = 3x2 + 4x + 18 2x2 9x 12= x2 5x + 6三、小结对角线法则专属于二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1.2 全排列和对换全排列和对换一、全排列及其逆序数二、小结一、全排列及逆序数定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）。通常我们将 n 个不同的元素分别以 1, 2, , n 来命名，并将其依序列出来表示一个排列。例 以下是

10、 5 个元素的几个不同排列 (非全部)12345543213451234215412532135415324问题把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？练习试著写出 4 个元素的所有不同排列。 n 个不同的元素的所有排列的种类数，通常用 Pn 表示。解解= n !Pn = n (n 1) (n 2) 3 2 1排列的逆序例 排列 32514 中， 我们规定各元素之间有一个标准次序，n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序，即排列 12 n。3 2 5 1 4逆序逆序逆序定义在一个排列 i1i2itisin 中，若数 it is，则称这两个数构成了一个逆序。排列的逆序數定义一个中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数计算方法分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，再求加总。也可分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数，再求加总。例 4 求排列 32514 的逆序数。 3 2 5 1 4故此排列的逆序数为 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5。2 1 2 0 0每个数