材料力学第十一章 弯曲问题的进一步分析

1、第十一章第十一章 弯曲问题弯曲问题 的进一步研究的进一步研究 非对称纯弯曲非对称纯弯曲梁的正应力梁的正应力 两种材料的组合两种材料的组合梁梁 开口薄壁开口薄壁截面梁的切应力截面梁的切应力 弯曲中心弯曲中心zIyxM)(zIMy 无无纵向对称面纵向对称面有有纵向对称面但外力不作用在纵向对称面内纵向对称面但外力不作用在纵向对称面内梁梁梁有梁有纵向对称面且外力作用在纵向对称面内纵向对称面且外力作用在纵向对称面内非对称截面等直梁非对称截面等直梁实验实验、仍然成立仍然成立EE 变形后梁中性层变形后梁中性层曲率半径为曲率半径为 任取一任取一坐标系坐标系Cxyz非对称截面等直梁非对称截面等直梁任取一任取一坐

2、标系坐标系Cxyzyzd A0dN FAA0d yAMAzzAMAy d0dN FAA0d AEA0S过截面形心过截面形心CEyzd A0)dcosd(sin 2AzAyzEAA0cossinyyzIIEd Ayz0d yAMAzcossinzyyzyIItan完全确定了完全确定了的位置的位置zyzzMIIE)cossin(Ed AyzzAMAy dcossinzy2)(yzzyyzyzIIIzIyIMyzyIItan非对称截面等直梁非对称截面等直梁2)(yzzyyzyzIIIzIyIM2)(yzzyyzzyIIIyIzIM作用在作用在内内2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyI

3、zIM 0)()(20000yzzyyzyzyzzyIIIIzIyMIyIzM2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyIzIMy0z0中性轴的方程中性轴的方程中性轴是一条中性轴是一条的直线的直线0)()(0000yzyzyzzyIzIyMIyIzMyzzzyyzyyzIMIMIMIMyz00tan设设 ( y0，z0) 为中性轴上的任一点为中性轴上的任一点 C D1D2最大应力最大应力发生在发生在上上横截面横截面横截面横截面用用确定确定产生最大应力的点产生最大应力的点D1D2非对称非对称2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyIzIM非对称非对称对称对称 梁有梁有纵向对

4、称面，且外力作用在纵向对称面，且外力作用在内内0yzI0yMMMzzIMy广义弯曲广义弯曲正应力公式正应力公式 梁无梁无纵向对称面，但外力作用在纵向对称面，但外力作用在内或与形心主惯性平面内或与形心主惯性平面的平面内的平面内非对称截面梁非对称截面梁y、z 为为 外力作用在外力作用在内或内或与形心主惯性平面与形心主惯性平面的平面内的平面内0yzI0yMMMzzIMy广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式yzzzyyzyyzIMIMIMIMtan 90中性轴与中性轴与 y 轴轴(即为即为z 轴轴)C 梁有梁有纵向对称面，但外力作用面与纵向对称面，但外力作用面与间有一夹角间有一夹角对称截面梁对称截面梁

5、0yzIcosMMysinMMzzzyyIyMIzM广义弯曲正应力公式广义弯曲正应力公式yzzzyyzyyzIMIMIMIMtan中性轴中性轴外力所在平面外力所在平面 tanzyII梁变形后挠曲线不在外力作用面内梁变形后挠曲线不在外力作用面内l / 2l / 2 例：例：Z Z形截面梁受力如图，已知形截面梁受力如图，已知F = 5 kN，l=4 m，Iy =1.9810-6 m4，Iz =10.9710-6 m4， Iyz =3.3810-6 m4。试求该梁的最大拉应力和最试求该梁的最大拉应力和最大压应力。大压应力。C70701111111607070111111160l / 2l / 2 C

6、ABD梁截面为非对称截面梁截面为非对称截面轴轴 y、z 为非形心主惯性轴为非形心主惯性轴梁发生梁发生yzzzyyzyyzIMIMIMIMtanyzyII5858. 036.30各截面上各截面上 My =0，只有，只有Mz 。危险截面在跨中，最大弯矩为危险截面在跨中，最大弯矩为mkN641maxFlMz7070111111160l / 2l / 2 CABDmm5 .64mm69AAzymm5 . 5mm80BBzymm5 .64mm69CCzymm5 . 5mm80DDzy2)(yzzyyzyzIIIzIyIM广义弯曲广义弯曲正应力公式正应力公式2max)(yzzyyzyzIIIzIyIM70

7、70111111160l / 2l / 2 CABD2max)(yzzyyzyzIIIzIyIMMPa4 .47AMPa103BMPa4 .47CMPa103D梁的最大拉应力、最大压应力发生在梁的最大拉应力、最大压应力发生在B、D两点上两点上bISFzzS对称弯曲对称弯曲非对称非对称弯曲弯曲外力作用在形心主惯性平面内外力作用在形心主惯性平面内外力作用在平行于形心主惯性平外力作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内面的某一特定平面内无纵向无纵向对称面对称面 外力作用在形心外力作用在形心主惯性平面主惯性平面Cxy 内内 外力作用在距形心主惯外力作用在距形心主惯性平面为性平面为 e 的平行平面内的

8、平行平面内截面梁实验截面梁实验这与横力弯曲时横截面上存在这与横力弯曲时横截面上存在或或有关有关开口薄壁截面梁的开口薄壁截面梁的dxabcd 外力外力F 作用在与形心主惯性作用在与形心主惯性平面平面Cxy 平行的某一特定平面内平行的某一特定平面内dxabd ddc左截面：左截面：FS、M右截面：右截面：FS、M dMzzASIMAF *d1NdzzISFSzzSIMMFd2N切应力沿厚度、切应力沿厚度、dx方向方向0d1N2N FxFd梁只发生梁只发生切应力流切应力流剪力剪力时时dzzISFSdxabcddzzISFSdA外力外力F 沿沿 作用作用剪力沿剪力沿 方向，用方向，用表示。表示。截面法

9、截面法微内力微内力 合成的结果是剪力合成的结果是剪力合力矩定理合力矩定理剪力剪力作用线的位置作用线的位置外力外力F 沿沿 作用作用剪力沿剪力沿 方向，用方向，用表示。表示。合力矩定理合力矩定理剪力剪力作用线的位置作用线的位置yzdxabcddA 横截面上剪力横截面上剪力和和的交点的交点 A剪切中心剪切中心弯心弯心弯曲中心弯曲中心A过弯曲中心过弯曲中心A且与形心主惯且与形心主惯性平面性平面Cxy 平行的平面平行的平面Axy 对于对于开口薄壁截面梁，只有当开口薄壁截面梁，只有当时，梁才只发生时，梁才只发生而无扭转。而无扭转。弯弯心心平平面面过弯曲中心过弯曲中心A且与形心主惯且与形心主惯性平面性平面

10、Cxz 平行的平面平行的平面Axz 过点过点A 取取 xx、yy、zz 若横截面有若横截面有，则两根对称轴的，则两根对称轴的即为弯曲中心，即弯曲中心与截面的形心重合。即为弯曲中心，即弯曲中心与截面的形心重合。 若横截面只有若横截面只有，则弯曲中心必在此，则弯曲中心必在此上。上。 若横截面若横截面，则按弯曲中心的，则按弯曲中心的来来确定。确定。 对于非对称截面的对于非对称截面的和和，截面的弯曲中心通常在截面的弯曲中心通常在，且杆件的扭转刚，且杆件的扭转刚度较大，当外力作用在形心主惯性平面内时，引起度较大，当外力作用在形心主惯性平面内时，引起的扭转变形可忽略不计。的扭转变形可忽略不计。 外力作用在

11、形心外力作用在形心主惯性平面主惯性平面Cxy 内内 外力作用在距形心主惯外力作用在距形心主惯性平面为性平面为 e 的平行平面内的平行平面内截面梁实验截面梁实验bhd dd dd d d1HAFA半个翼缘半个翼缘dzzISFS1 d2/0SuIhuFbzdddzIbhF4/2Sd2huSzd dduAdFF SSSeaeSS SeFhFSHzIbhe422dA 当梁在两个当梁在两个的形心主惯性的形心主惯性平面内分别产生平面内分别产生时，横截时，横截面上产生的相应两个剪力作用线的面上产生的相应两个剪力作用线的交点即为交点即为。 当外力的作用线当外力的作用线于形心主轴、并于形心主轴、并横截面的弯曲中

12、心时，梁只产生横截面的弯曲中心时，梁只产生。 外力如何作用在弯曲外力如何作用在弯曲中心上？中心上？梁产生平面弯曲的梁产生平面弯曲的 其它形状的薄壁截面其它形状的薄壁截面弯曲中心在何处？弯曲中心在何处？AS常用开口薄壁截面弯曲中心常用开口薄壁截面弯曲中心 A 的大致位置：的大致位置：弯曲中心的位置与截面的几何特征有关。弯曲中心的位置与截面的几何特征有关。由两种或两种以上材料组成的梁由两种或两种以上材料组成的梁 组组合梁合梁 复合梁复合梁 组合梁各组成部分紧密结合，弯曲变形时无相对组合梁各组成部分紧密结合，弯曲变形时无相对错动，可以看作是一个整体。错动，可以看作是一个整体。实验实验、仍然成立仍然成

13、立E1A1E2A2bh矩形截面梁矩形截面梁正应力正应力中性轴中性轴 对称轴对称轴 y中性轴中性轴 zE2 E1 E1A1E2A2bhyE1yE2 变形后梁中性层变形后梁中性层曲率半径为曲率半径为 y虎克定律虎克定律纵向线应变沿截面高度纵向线应变沿截面高度（变化）变化） 弯曲正应力沿截面高度弯曲正应力沿截面高度，但在两种材料交界，但在两种材料交界处正应力处正应力。 0ddN 2 1 FAAAA将横截面上的将横截面上的微内力进行合成微内力进行合成MMAyAyzAA 2 1dd021 zzSESE确定中性轴位置确定中性轴位置中性轴不是水平对称轴中性轴不是水平对称轴E1A1E2A2bhzSzS E1A

14、1E2A2bhzzIEIEM 211zzIEIEMyE 211zzIEIEMyE 212 将由多种材料组成的组合梁的横截面将由多种材料组成的组合梁的横截面为仅由为仅由一种材料组成的梁的横截面。一种材料组成的梁的横截面。 然后按然后按材料梁的公式计算。材料梁的公式计算。zIzI E1A1E2A2bhE1E1bbhbEEb12将组合梁变换为仅有将组合梁变换为仅有组成组成截面上截面上的宽度变换成的宽度变换成12EEn nb可以证明：可以证明：等效截面的等效截面的与两种材料的实际截面的中性轴与两种材料的实际截面的中性轴等效截面梁的等效截面梁的与两种材料的组合梁的弯曲刚度与两种材料的组合梁的弯曲刚度 E

15、1A1E2A2bhE1E1bbhztIEM11Izt 为为对对中性轴中性轴 z 的惯性矩的惯性矩zzztIEIEMIEM 2111zzztInII ztIMyztIMyn l / 2l / 2 例：例：图示一简支组合梁，图示一简支组合梁，l=3 m，F = 4 kN，该该梁由宽梁由宽为为100 mm、高为、高为150 mm的木梁及其底部加的木梁及其底部加10 mm厚的钢厚的钢板组成，横截面如图。已知板组成，横截面如图。已知E木木 =10 GPa，E钢钢 =200 GPa。试求这两部分的最大正应力。试求这两部分的最大正应力。1001501010015010以钢为基本材料，将木材以钢为基本材料，将木材部分横截面的宽度进行变换。部分横截面的宽度进行变换。20120010钢木EEn等效截面木材部分的宽度等效截面木材部分的宽度mm5100)20/1 (nbb等效截面形心坐标等效截面形心坐标mm7 .120212211AAyAyAyCyC10015010yC等效截面对中性轴