金融时间序列分析 第2部分 时间序列分析基础2 非平稳时间序列

1、金融时间序列分析 陆贵斌2012年年10月月内容内容 第1部分 前言第2部分 时间序列分析基础第3部分 matlab时序分析第4部分 金融时间序列分析第第2部分部分 时间序列分析基础时间序列分析基础 非平稳时间序列分析非平稳时间序列分析 第一步第一步v 对任何一个时间序列进行建模，v 首先，要求对时间序列有一定的了解； 直观的序列图 理论、经验等v 目的：作出合理的、适度的假设；非平稳序列非平稳序列Wold分解分解1.确定性分析确定性分析2.随机性分析随机性分析3.ARIMA模型模型4.时间序列的分解时间序列的分解v Wold分解定理 Herman Wold ，(1908-1992),瑞典人

2、1938年提出Wold分解定理。 1960年提出 偏最小二乘估计方法(PLS)v Cramer分解定理 Harald Cremer (1893-1985)，瑞典人，斯德哥尔摩大学教授，Wold的指导教师。Wold分解定理（分解定理（1938）v 对于任何一个离散平稳过程平稳过程 ，都可以分解为两个不相关的平稳序列之和：一个为确定性的，另一个为随机性的， 其中： 为确定性序列， 为随机序列， 它们需要满足如下条件 （1） （2） （3）txtttVxtV t0jjtjt020, 1jj ), 0(2NtstVEst , 0),(确定性序列与随机序列的定义确定性序列与随机序列的定义v 对任意序列

3、而言，令 关于q 期之前的序列值作线性回归 其中 为回归残差序列， 。 确定性序列，若 随机序列，若 tytytqtqttyyy1210t2)(qtVar2lim0qq)(lim2tqqyVarARMA模型分解模型分解ttBBx)()(确定性序列随机序列Cramer分解定理（分解定理（1961）v 任何一个时间序列任何一个时间序列 都可以分解为两部分的叠加：1）由多项式决定的确定性趋势成分；2）平稳的零均值误差成分。txtttx确定性影响随机性影响taB)(djjjt0对两个分解定理的理解对两个分解定理的理解v Wold分解定理：任何平稳序列平稳序列都可以分解为确定性序列和随机序列之和。它是现

4、代时间序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。v Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广推广，它说明任何一个序列任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。 时间序列确定性分析时间序列确定性分析v 传统的因素分解因素分解 长期趋势 循环波动（现在用的少） 季节性变化 随机波动v 目的： 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性因素对序列的影响 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系及它们对序列的综合影响 趋势分析趋势分析v 目的 有些时间序列具有非常显著的趋势，要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测。

5、 v 常用方法 趋势拟合法 平滑法澳大利亚政府澳大利亚政府19811990年每季度的消费支出序列年每季度的消费支出序列趋势拟合法趋势拟合法v 趋势拟合法：时间作为自变量，相应的序列观察值为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型 v 分类 线性拟合 非线性拟合线性拟合线性拟合v 使用场合 长期趋势呈现出线形特征v 模型结构)(, 0)(ttttIVarIEIbtax非线性拟合非线性拟合v 使用场合 长期趋势呈现出非线形特征v 参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计常用非线性模型常用非线性模型模型变换变换后模型参数估计方法线性最小二乘估计线性最小二乘估计

6、迭代法迭代法迭代法2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTlnaalnbbln2ctbtaTttbaTt例：例： 对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟合对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟合 非线性拟合非线性拟合v 模型v 变换v 参数估计方法 线性最小二乘估计2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt拟合效果图拟合效果图平滑法平滑法v 进行趋势分析和预测时常用的一种方法。利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。 v 常用平滑方法 移动平均法 指数平滑法简单指数平

7、滑简单指数平滑v 基本公式v 等价公式221)1 ()1 (ttttxxxx1)1 (tttxxx季节效应分析季节效应分析【例】以北京市1995年2000年月平均气温序列为例，介绍季节效应分析的基本思想和具体操作步骤。 季节指数的理解季节指数的理解v 季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系v 1：该季度的值常常会高于总平均值v 1：就说明该季度的值常常低于总平均值v 1：那就说明该序列没有明显的季节效应 例例 季节指数的计算季节指数的计算例例 季节指数图季节指数图综合分析综合分析v 常用综合分析模型 加法模型 乘法模型 混合模型ttttISTxttttISTx)()tttttt

8、ttITSxbITSxa例例 v 对1993年2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性时序分析。(1)绘制时序图绘制时序图(2)选择拟合模型选择拟合模型v 长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型（b）拟合该序列的发展)(ttttITSx(3)计算季节指数计算季节指数月份季节指数月份季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季节指数图季节指数图(4)拟合长期趋势拟合长期趋势tTt93178.20522.1015季节调整后的序列图季节调整后

9、的序列图ttttITSx(5)残差检验残差检验ttttITSx(6)短期预测短期预测 ( )tt lt lx lST二、 非平稳序列v 常见的非平稳经济时间序列有以下几种。（一）趋势平稳过程（退势平稳过程）（一）趋势平稳过程（退势平稳过程）（二）单位根过程（二）单位根过程(差分平稳过程，单整过程差分平稳过程，单整过程) yt = yt-1 + ut （三）趋势非平稳过程（带漂移且有时间趋势的随（三）趋势非平稳过程（带漂移且有时间趋势的随机游走）机游走） yt = + t + yt-1 + ut ( )ttyf tu （一）趋势平稳过程（退势平稳过程）（一）趋势平稳过程（退势平稳过程）( )tt

10、yf tuCramer分分解定理解定理 是确定性趋势，通常是一个线性趋势， 是一个平稳序列。1）可用回归的方法确定趋势项 ， 2）对平稳序列 拟合一个ARMA模型：( )f ttu( )f ttu0( )dititiytB 趋势平稳过程趋势平稳过程也称为也称为退势平稳过程退势平稳过程，因为减去趋势后，其为平稳过程。 yt = 0 + 1 t + ut, ut = ut-1 + vt, ( 1%临界值 p 值0.01.ADF检验方程序列的序列的pp检验检验lntx结论：结论：接受零假设，接受零假设，序列不平稳。序列不平稳。p 0.01序列的序列的ADF检验（平稳性检验）检验（平稳性检验）lntx

11、-0.10.00.10.20.380859095000510D(LNX)D(LNY) 序列序列时序图时序图lntx若从序列时序图上不能确定使用哪一种检验模型，下面下面三种模型都尝试使用一下。结论：结论：序列不平稳。结论：结论：在5%的显著性水平下拒绝零假设，即在5%的显著性水平下认为序列平稳。结论：结论：在10%的显著性水平下拒绝零假设，即即在10%的显著性水平下认为序列平稳。序列的序列的pp检验（平稳性检验）检验（平稳性检验）lntx选择选择pp检检验验由于由于PP检验考虑到异检验考虑到异方差的影响，此时三方差的影响，此时三种类型模型均不平稳。种类型模型均不平稳。 序列的序列的pp检验（平稳

12、性检验）检验（平稳性检验）2lntx选择选择2阶差分阶差分 序列的序列的三种三种类型模型均平稳。类型模型均平稳。2lntx一、差分运算一、差分运算（一）差分运算的作用（一）差分运算的作用 差分方法是一种非常简便、有效的提取时间序列中确定性信息的方法。 由Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为1( )dktktkxtB a其中 是零均值白噪声序列。 Cramer分解定理在理论上保证： 适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。 ta第二节第二节 平稳化方法平稳化方法diitiditdtdxCxBx0) 1()1 (差分运算的实质实质： 使用自回归的方式提取序列中的确定性信息。 因为

13、所以11( 1)diidtdt itixC xx d 阶差分运算实质上就是 一个自回归过程。v 序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分一阶差分就可以实现趋势平稳。 v 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 。v 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算(季节差分季节差分)，通常可以较好地提取周期信息。 （二）差分方式的选择（二）差分方式的选择注意：虽然差分运算可以将一个非平稳序列转化为平稳序列，注意：虽然差分运算可以将一个非平稳序列转化为平稳序列，但并不意味能将一个非平稳序列转化为标准的但并不意味能将一个非平稳序列转化为标准的ARMA模型。

14、模型。如如01ttxt111tttttxxx1(1)ttttxxxB x【例【例 】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 差分前后时序图差分前后时序图原序列时序图原序列时序图差分后序列时序图差分后序列时序图【例【例 】尝试提取】尝试提取1950年年1999年北京市民用车辆拥有量年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息序列的确定性信息二阶差分二阶差分一阶差分一阶差分差分后序列时序图差分后序列时序图【例【例 】差分运算提取】差分运算提取1962年年1月月1975年年12月平均月平均每头奶牛的月产奶量序列

15、中的确定性信息每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 1tttxxx1212tttxxx 差分后序列时序图差分后序列时序图一阶差分一阶差分1 1阶阶1212步差分步差分过度差分过度差分 v 足够多次的差分运算 可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息v 但过度的差分会造成有用信息的浪费 例例 假设序列如下假设序列如下 v 考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差 ttatx10比较比较v 一阶差分 平稳 方差小v 二阶差分（过差分） 平稳 方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar2

16、2126)2()(ttttaaaVarxVarARIMA模型结构模型结构v 使用场合 差分平稳序列拟合v 模型结构tsExtsEVarEBxBtsstttttd, 0, 0)(,)(0)()()(2，ARIMA 模型族模型族v d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)v P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)v q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)v d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk modelARIMA模型的平稳性模型的平稳性v A R I M A ( p , d , q ) 模 型 共 有 p + d 个 特 征 根 ，p个

17、在单位圆内，d个在单位圆上。v 所以当 时，ARIMA(p,d,q) 模型非平稳。v 例. ARIMA(0,1,0)时序图0dARIMA模型的方差齐性模型的方差齐性v 时，原序列方差非齐性v d 阶差分后，差分后序列方差齐性0d2110)()()0 , 1 , 0(txVarxVarARIMAttt模型2)()(ttVarxVarARIMA模型建模步骤模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型例例 v 对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图

18、一阶差分序列自相关图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442建模建模v 定阶 ARIMA(0,1,1)v 参数估计v 模型检验 模型显著 参数显著ttBxB)70766. 01 (99661. 4)1 (48763.56)(tVarARIMA模型预测模型预测v 原则 最小均方误差预测原理 v Green函数递推公式jdpjdpjj1122112111预测值预测值)()(111111tltltlltltltx)(let)( lxt22121)1 ()(0)(lttleVa

19、rleE例例 v 已知 ARIMA(1,1,1) 模型为 且v 求 的95的置信区间 ttBxBB)6 . 01 ()1)(8 . 01 (5 . 41tx3 . 5tx8 . 0t123tx预测值预测值v 等价形式v 计算预测值69. 5) 1 (8 . 0)2(8 . 1)3(59. 58 . 0) 1 (8 . 1)2(46. 56 . 08 . 08 . 1) 1 (1ttttttttttxxxxxxxxx12126 . 08 . 08 . 1)6 . 01 ()8 . 08 . 11 (tttttttxxxBxBB计算置信区间计算置信区间v Green函数值v 方差v 95置信区间3

20、6. 18 . 08 . 12 . 16 . 08 . 11212896. 4)1 ()3(22221eVar)75. 9 ,63. 1 ()3(96. 1) 3(,)3(96. 1) 3(eVarxeVarxttHot TipvHow do I incorporate my logo to a slide that will apply to all the other slides? On the View menu, point to Master, and then click Slide Master or Notes Master. Change images to the one

21、 you like, then it will apply to all the other slides. You can briefly add outline of this slide page in this text box.DiagramThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc.TitleAdd your textYou can briefly add outline of this slide page in this text box.T

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23、ontents mall developed by Guild Design Inc.ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall developed by Guild Design Inc. Cycle DiagramTextTextTextTextTextCycle nameAdd Your TextYou can briefly add outline of this slide page in this text box.DiagramTextTextTextAdd YourTitle TextText 1Te

24、xt 2Text 3Text 4Text 5Add YourTitle TextText 1Text 2Text 3Text 4Text 5TextTextYou can briefly add outline of this slide page in this text box.DiagramConceptAdd Your TextTextTextTextTextTextTextYou can briefly add outline of this slide page in this text box.DiagramAdd Your TextAdd Your TextAdd Your T

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