线性代数数学建模案例

1、线性代数数学建模案例网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时中的流量问题时,线性方程组就自然产生了线性方程组就自然产生了,例如例如,城市城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量通流量,电气工程师计算电路中流经的电流电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生

2、产者到消费者分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程百甚至上千未知量和线性方程。 一一 一个网络由一个点集以及连接部分或全部一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。点的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点网络中的点称作联结点(或节点或节点)，网络中的连接线称作分支，网络中的连接线称作分支. 每一分支每一分支中的流量方向已经指定，并且流量中的流量方向已经指定，并且流量(或流速或流速)已已知或者已标为变量。知或者已标为变量。(a)601x2x803x4x5x

3、(b) 网络流的网络流的基本假设基本假设是（是（1）网络中流入与流）网络中流入与流出的总量相等；（出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出）每个节点上流入和流出的总量也相等。例如，上面两图（的总量也相等。例如，上面两图（a）、（）、（b）。）。 流量在每个节点守恒。流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中，在类似的网络模式中，每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。网络分析要解决的网络分析要解决的问题问题是：在部分信息是：在部分信息(如如网络的输入量网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中已知的情况下，确定每一分支中的流量。的流量。 城市道路网中每

4、条道路、每个交叉城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 案例案例1 1 下图为某城市的局部单行示意图下图为某城市的局部单行示意图 【问题描述问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 5001234400300100200300 x1x2x3X4图3 某城市单行线车流量

5、示意图现在需要解决的问题如下：（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组建立确定每条道路流量的线性方程组.（2） 为了唯一确定未知流量为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪还需要增添哪几条道路的流量统计几条道路的流量统计? （3） 当当x4 = 350时时, 确定确定x1, x2, x3的值的值.（4） 若若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合则单行线应该如何改动才合理理? 。【模型假设模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立模型建立】 根据图3和上述假设, 在, , , 四个路口进出车辆数目分别满足： 500 = x1 + x2

6、 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 n【模型求解模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组。12142334500100300300 xxxxxxxx 其增广矩阵1 1 0 0 5001 0 01 1000 1 1 0 3000 01 1300 初 等 行 变 换1 0 01 1000 1 0 16000 0 11 3000 0 0 00 (A, b) =由此可得142434100600300 xxxxxx 即：142434100600300 xxxxxx n为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可. 当x4 =

7、350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab执行后得 x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835n可见煤矿要生产199660元的煤, 电厂要生产184150元的电恰好满足需求. nMatlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙

8、企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元. (1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值. (2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求? 相关内容见相关内容见线性代数线性代数课件的第课件的第3.7节的节的“人人口迁移模型口迁移模型”，

9、以及，以及4.5节的节的“离散动态系统模离散动态系统模型型”。 除了上述例子，现实生活中还有很多，可以通除了上述例子，现实生活中还有很多，可以通过建立形如过建立形如 的差分方程的例子。的差分方程的例子。1nnxAx【模型准备模型准备】 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计， 然后将熟练工支援其他生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐。 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工. 假设第一年一月份统计的熟练工和非熟练工各占一半， 求以后每年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比。 案例四案例四 【模型准备模型准备】金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔总额5400万

10、的基金, 分开放置在位于A城和B城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A城公司有10%支付基金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金流动到A城公司. 起初A城公司基金为2600万, B城公司基金为2800万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万, 那么是否需要在必要时调动基金? 案例五案例五 n在Matlab命令窗口输入以下命令 syms k %定义符号变量 P*1,0;0,

11、0.78(k+1)*P(-1)*2600;2800 nMatlab执行后得 ans = 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1)【模型准备模型准备】设有A, B, C三个政党参加每次的选举, 每次参加投票的选民人数保持不变. 通常情况下, 由于社会、经济、各党的政治主张等多种因素的影响, 原来投某党票的选民可能改投其他政党 。案例六案例六 【模型假设模型假设】 （1）参与投票的选民不变, 而且没有弃权票 ；（2）每次投A党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C政党的票; 每次投B党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C各政党的票; 每次投C党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C各政党的票 。（3） 表示第k次选举时分别投A, B, C各党的选民人数 。,kkkxyz123,r r r123,s s s123,ttt【模型建立模型建立】 根据假设可得 , 11111