函数改变量的变化情况

1、1函数改变量的变化情况.xyxyyxxy则其面积为S=xy，是x和y的二S=(x+x)(y+y)xy =yx+xy+xy一一. .全微分的概念全微分的概念8.4 8.4 全微分及其应用全微分及其应用本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时，如图所示的矩形长和宽为x和y,函数.若边长x和y分别取得微小改变量x和y，则面积S也相应有一个改变量而xy22()()xy 较高阶的无穷小量,故可将它略去,(当x0, y0时)是比而用x 、 y的线性2定义定义8 8 若函数z=(x,y)在点(x,y)处的全增量 z=(x+x,y+y)(x,y)可表示为z=Ax+By+o()其中A 、 B与x 、 y无关,

2、o()是比22()()xy 较高阶的无穷小量，则称z的线性主部Ax+By是函数z=(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz,即dz=Ax+By此时又称函数z=(x,y)在(x,y)处可微.部分yx+xy近似表示S，类似于一元函数的微分，也称它为S的全微分.3定理定理2 若函数z=(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=(x,y)在z=Ax+By+o() 0.22()()0 xy 00limxyz 00lim (,)( , )0 xyf xx yyf x y 00lim(,)( , ).xyf xx yyf x y 则函数z=(x,y)在(x,y)处连续.若z=(x,y)在区域D上每一点都

3、可微,则此时又称在区域D上可微.(x,y)处必连续.证 因z=(x,y)在点(x,y)处可微，则当时,也有从而可得4定理定理3 3 若函数z=(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z=(x,y)( , )( , )xydzfx yxfx yy 则对点(x,y)的某个邻域内的任意一点(x+ x,y+y),均有特别地，当y=0时即为0(, )( , )limxf xx yf x yAx ( , )xfx yA,0,( , ).yxfx yB 同理 令可得( , )( , ).xydzfx yxfx yy 在(x,y)处的偏导数必存在，且其全微分为证 因z=(x,y)在点(x,y)处可微，z=Ax+

4、By+o()(x+x,y+y)(x,y)=Ax+o( x )5也不一定是(x,y)的全微分.( , )( , )xyfx yxfx yy ( , )( , )xyzfx yxfx yy 是的高重要结论：重要结论：函数z=(x,y)的各偏导数存在,仅是全微分22222220()00 xyxyxyf x,yxy( , )(0,0).f x y但可验证在点处不可微(0,0)0(0,0)0();xyff的偏导数，都存在注注3 3 对于二元函数z=(x,y),若它的偏导数都存在,但 因此时并不能保证阶无穷小.存在的必要条件,而非充分条件.如例14已证明60(0,0)(0,0) limxyzfxfy 实际

5、上0(,)(0,0)(0,0)(0,0)limxyfxyffxfy 2202limx yxy 222 362 330022limlim(1)(1)xxy kxy kxk xk xkxkx 022 302lim()xyx yxy 0.( , )( , )xyzfx yxfx yy 不是的高阶无穷小.7则函数z=(x,y) zzxy与以下定理为全微分存在的充分条件：定理定理4 若函数z=(x,y)的偏导数在点(x,y)的某个邻域内存在且在点(x,y)处连，在(x,y)处可微，且( , )( , )xydzfx y dxfx y dy .zzdzdxdyxy或证 因 z=(x+x,y+y)(x,y)

6、=(x+x,y+y)(x,y+y)+(x,y+y)(x,y)注意两个括号中,前者y+y未变;后者x未变;因而皆可视为一元函数之差.而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内存在,故可由Lagrange中值定理，得812(,)( ,)xyzfxx yyxfx yyy 1201,01.其中而两个偏导数在 (x,y)的某个邻域内连续，则10(,)( , ),lim0 xxfxx yyfx y其中；20( ,)( , )lim0.yyfx yyfx y，其中( , )( , ).xyzfx yxfx yyxy 10lim(,)( , ),xxfxx yyfx y20lim( ,)( , ).yyfx yy

7、fx y0 xyxy 而，9( ).xyo 故函数z=(x,y)在(x,y)处可微，且( , )( , )xydzfx yxfx yy ，而x=dx, y=dy,则函数z=(x,y)的全微分为0lim0 xy ( , )( , )xydzfx y dxfx y dy.zzdxdyxy的全微分等于它的两个偏微分之和，即( , )xfx y dx;xd z( , )yfx y dy.yd z.xydzd zd z注注4 在上式中称为z对x的偏微分,并记为称为z对y的偏微分,并记为从而二元函数10注注5 5 此定理并未说明“函数z=(x,y)的偏导数在点(x,y)(0,0)在处可微，.但偏导数却不连

8、续处不连续,就一定有函数z=(x,y)在(x,y)处不可微”.同学们课后可自行验证222222221()sin,0 ()0,0 xyxyf x,yxyxy函数 (0,0)xf 解0( ,0)(0,0)lim00 xf xfx； (0,0)0.yf 同理110(0,0)(0,0) limxyffxfy 而22222201()sin()lim()xyxyxy01limsin0.则函数(x,y)在(0,0)处可微.22222211 ()2 sincosxxfx,yxxyxyxy220 (0 0)0;xxyf,而当时，00lim ();xxyfx,y不存在 ()0(0,0);xfx,y则在点处不连续2

9、20 xy但当时，()0(0,0).yfx,y同理在点处不连续12 2,yzxex解 因22 ,yzx eyy22(2 ).yyzzdzdxdyxe dxx ey dyxy二二. .全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用由定义8知：改变量 x 和 y 都很小时，( , )( , )xyfx yxfx yy z-dz=o();则z和接近的，即可以用全微分dz作为全增量dz的近似值，之值是十分故有近似公式2217 .yzx ey例求函数的全微分zdz( , )( , )xyfx yxfx yy 13或(x+x,y+y)(x,y)( , )( , )xyfx yxfx yy 或(x+x,y

10、+y)( , )( , )( , )xyf x yfx yxfx yy 2.0218 (1.01).例计算的近似值 ().yf x,yx解 设函数2 0.02 (1.01,2.02)(1 0.01).f即的近似值则可取x=1, x=0.01,y=2,y=0.02.1.01,2.02xy此题问题就变为此函数在的函数值1( , )yxfx yyx而( , )lnyyfx yxx(1,2)2,xf (1,2)0,yf 且(1,2)=12.02(1.01)(1,2)(1,2)(1,2)1.02.xyffxfy 14例19 某厂生产甲、乙两种产品，当甲的产量为x公斤，( , )4106100()C x yxxyy元假设现在月产量为甲900公斤，乙400公斤，试求此时当解 此题是求全增量C下面用微分求其近似值.2553,xyyxCCxxyxyy而乙的产量为y公斤时，总成本为甲的产量增加1%，乙的产量减少2%，总成本将如何变化？可取x=900, x=9001%=9,y=400,y=4002%=8.CdC则(400,900)(400,900)30.