特殊三角形的存在性问题

1、特殊三角形的存在性问题特殊三角形的存在性问题一、考试说明一、考试说明： C层 考试说明指出考试说明指出：等腰三角形与直角三角形的考试要求是“C层”：会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题。 此要求属于灵活运用灵活运用，即：“能通过观察、实验、推理等活动，发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系；能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法，实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决” 。二、设计本课题的目的：二、设计本课题的目的： 特殊三角形的存在性问题主要是“已知两已知两个点，然后按要求求出第三个点，使这三个点，然后按要求求出第三个点，使这三个点所组成的三角形是某种

2、特殊三角形个点所组成的三角形是某种特殊三角形。” 此类问题属于等腰三角形与直角三角形的一个灵活应用，主要出现在综合题综合题和较难较难填空题填空题中。题目类型有：求符合要求的点点的坐标的坐标，或者符合要求的三角形个数问题个数问题。 解决此类问题不仅要掌握特殊三角形的有关性质，而且还需综合运用其他的知识，比如勾股定理、相似等内容，以及分类讨论、方程等思想方法来解决。 学生在处理“等腰三角形和直角三角形的存在性问题”时，经常出现“考虑不全面考虑不全面”、“不会分类讨论不会分类讨论”等现象，导致学生对于这类问题比较“提心吊胆”。 本课例主要针对这类问题，通过例题讲解，通过例题讲解，总结规律，得出一些学

3、生总结规律，得出一些学生“容易抓手容易抓手”的方的方法，法，使学生在紧张的考试环境下“临危不惧”，有条不紊的得出所有符合题意的答案，达到“化弱项为强项”的目的。三、与此相关的试题：三、与此相关的试题：（以近几年北京市各区模拟题为例） 1、等腰三角形等腰三角形的存在性（的存在性（菱形菱形的存在性与此类的存在性与此类似）：似）： 2010石景山二模25题、2010朝阳二模12题、 2010宣武二模23题、 2007石景山一模24题； 2、直角三角形直角三角形的存在性（的存在性（矩形矩形的存在性与此类的存在性与此类似）：似）： 2010崇文二模24题、 2010丰台一模25题、 2009崇文一模24

4、题、2007东城二模25题 、 2007石景山一模25题、2007崇文一模24题。类型一：探究等腰三角形的存在性类型一：探究等腰三角形的存在性?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-4?-2?2?4?6 B A O分析： 因为没有指明等腰三角形的哪两条边相等，因此此类问题要分三种情况进行分类讨论： （）以AB为底边：即CA=CB， （）以AB为腰，且A点是等腰三角形顶角的顶点，即AB=AC。 （）以AB为腰，且B点是等腰三角形顶角的顶点，即BA=BC。 ?4?3?2?1?-1?-2?-3?-2?2?4 C1 C2 B A O?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-2?2?4 C4

5、C3 B A O?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-2?2?4 C5 C6 B A O小结：小结：一线两圆一线两圆 已知线段AB，若ABC为等腰三角形，那么C点的位置如何确定？ 结论是：点C在一线两圆一线两圆上。 A B C1 C2 C3练习练习1： 平面直角坐标系中，已知A(-3,0)，B（2,5），点C是坐标轴上的点，并且ABC为等腰三角形等腰三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。?12?10?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8?-15?-10?-5?5?10?15 B A练习练习2： 等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。点P是BC的垂直平分线上的一个动点。

6、请找出所有的满足PAB、PCD都是等腰三角形的点P，并求出点P到BC的距离。 A B D C?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 B A分析：还是要分三种情况进行讨论?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C1 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C3 C2 B A?8

7、?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C5 C4 B A 此题中，符合要求的点容易找到，但求法稍复此题中，符合要求的点容易找到，但求法稍复杂，需要设未知数，利用勾股定理或者相似来求解杂，需要设未知数，利用勾股定理或者相似来求解?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C3 C2 B A综合综合1：（10石景山二模第25题） 类型二：探究直角三角形的存在性类型二：探究直角三角形的存在性?5?

8、4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-4?-2?2?4?6 B A O分析： 因为没有指明直角三角形的哪个角是直角，因此此类问题要分三种情况进行分类讨论： （）以C为直角顶点 （）以A为直角顶点 （）以B为直角顶点 ?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C1 B A O?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C2 B A O?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-6?-4?-2?2?4?6 C3 B A O小结：小结：一圆两线一圆两线 已知线段AB，若ABC为直角三角形，那么C点的位置如何确定？ 结论是：点C

9、在一圆两线一圆两线上。 A B C2 C3 C1练习练习3： 平面直角坐标系中，已知A(-3,0)，B（2,5），点C是坐标轴上的点，并且ABC为直角三角形直角三角形，请求出满足要求的所有点C的坐标。?12?10?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8?-15?-10?-5?5?10?15 B A练习练习4： 等腰梯形ABCD，AB=CD=5，AD=2，BC=8。点P是BC的垂直平分线上的一个动点。请找出所有的满足PAB、PCD都是直角三角形直角三角形的点P，并求出点P到BC的距离。 A B D C?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-

10、6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 B A分析：还是要分三种情况进行讨论?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C1 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C2 B A?8?7?6?5?4?3?2?1?-1?-2?-3?-4?-5?-6?-7?-8?-9?-8?-6?-4?-2?2?4?6?8?10?12?14 C4 C3 B A 此题中，符合要求的点容易找到，但求法稍复此题中，符