第三章轴向拉压变形

1、1上海工程技术大学基础教学学院工程力学部上海工程技术大学基础教学学院工程力学部231 31 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形32 32 桁架的节点位移桁架的节点位移拉压变形小结拉压变形小结33 33 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能34 34 简单拉压超静定简单拉压超静定第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形331 31 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形一、概念一、概念1 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。2 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。4（2 2）在弹性范围内：）在弹性范围内：LL1 1、轴向变形、轴向变形：（1

2、1）轴向线应变：）轴向线应变：EALFLN虎克定律虎克定律EE弹性模量，弹性模量，EA-EA-抗拉压刚度抗拉压刚度二、分析两种变形二、分析两种变形L1L2 2、横向变形：、横向变形：bbb1横向线应变：横向线应变：aa横向变形系数（泊松比）横向变形系数（泊松比）：,1aaabbLLl11aa1bbPPPNF5iiNiEALFLLLL321当轴力为当轴力为x x的函数时的函数时 N=N(x)N=N(x)当各段的当各段的轴力为常量轴力为常量时时LNEAdxxFLdLdLdL)(321（3 3）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。应力与应变的关系：应力与应

3、变的关系：（虎克定律的另一种表达方式）（虎克定律的另一种表达方式）EALFLNLLEAFN三、叠加原理三、叠加原理 几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作几个载荷同时作用所产生的变形，等于各载荷单独作用时产生的变形的总和用时产生的变形的总和 叠加原理叠加原理E6小结小结：变形变形构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺 寸的变化。寸的变化。弹性变形弹性变形外力撤除后，能消失的变形。外力撤除后，能消失的变形。塑性变形塑性变形外力撤除后，不能消失的变形。外力撤除后，不能消失的变形。位移位移构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。构件内的点或截面

4、，在变形前后位置的改变量。线应变线应变微小线段单位长度的变形。微小线段单位长度的变形。7F2FaaABCFNxF3F例：已知杆件的例：已知杆件的 E E、A A、F F、a a 。求：求：L LACAC、DB B（B B 截面位移），截面位移）， AB AB （AB AB 段的线应变）。段的线应变）。解：解：1 1、画、画 F FN N 图：图：2 2、计算：、计算：EALFLN).1 (EAFaLBCB3ABABABLL)3(BCABACLLLEAFaEAFaEAFa43(2)EAFaEAFa8怎样画小变形放大图？怎样画小变形放大图？3 3、变形图严格画法，图中弧线；、变形图严格画法，图中弧

5、线；2 2、求各杆的变形量、求各杆的变形量LiLi；4 4、变形图近似画法、变形图近似画法: : 以切线代替图中弧线。以切线代替图中弧线。 三角桁架节点位移的几何求法。三角桁架节点位移的几何求法。1 1、研究节点、研究节点 C C 的受力，确定的受力，确定 各杆的内力各杆的内力 F FNiNi； L2ABL1CF F32 32 桁架节点位移桁架节点位移分析：分析：F2F1FC (1) (1) 以以A A为圆心，为圆心，ACAC1 1为半径画弧线；为半径画弧线； (2) (2) 以以B B为圆心，为圆心，BCBC2 2为半径画弧线；为半径画弧线；1C1L2C2LC C交点交点CC就是就是C C点

6、实际位移。点实际位移。 C就是就是C C点近似位移。点近似位移。9写出图写出图 2 2 中中 B B 点位移与两杆变形间的关系点位移与两杆变形间的关系分析：分析：3BBBy22ByBxBF1l1B2B2lB一、受力分析：一、受力分析：二、画二、画B B点的变形图：点的变形图：1 1）画沿原杆伸长或缩短线）画沿原杆伸长或缩短线；2 2）作伸长或缩短线端点垂线；）作伸长或缩短线端点垂线；BB交点就是节点交点就是节点B B的位移点。的位移点。2BBBy11)3LBBBxB B点水平位移：点水平位移：B B点垂直位移：点垂直位移：1N2NFBL2aBL1CA3Basin2L23BBactg1L10例例

7、：杆杆1 1为钢管，为钢管，A A1 1= 100 mm= 100 mm，E E1 1 = 200 GPa,L= 200 GPa,L1 1= 1 m ;= 1 m ;杆杆2 2为铝为铝管，管，A A2 2= 250 mm= 250 mm，E E2 2 = 70 GPa,P = 10 kN= 70 GPa,P = 10 kN。试求：节点。试求：节点A A 点点的垂直位移。的垂直位移。1l45ABC解：解：1)1)求各杆内力求各杆内力PA1N2NP,14.1421kNPNkNPN1022)2)求各杆的伸长求各杆的伸长il11111AElNl mmAElNl404. 0222223)3)画画A A点

8、的位移图点的位移图1A2A3A1l45cos/14lAA2l45254ctglAA455445AAAAAA5A4A4545cos21ctgll,707. 05AAmmAA404. 15404. 09999. 011ABC0)30sin(221lNPlPC)(40kNNC例例 ：设横梁设横梁 ABCABC为刚梁，斜杆为刚梁，斜杆A=440mmA=440mm，E = 70GPaE = 70GPa，P P1 1= 5kN, = 5kN, P P2 2=10kN,L=1m;=10kN,L=1m;试求：试求：A A 点的垂直位移。点的垂直位移。 ( (不计横梁变形不计横梁变形) )解：解：1)1)、CD

9、CD杆内力：研究对象杆内力：研究对象 ABAB 2) CD2) CD杆的变形：杆的变形：60)(5 . 1cosmmEAlNEAlNLCCDC:0BmABCl1P2PDBXBYBAC1P2PCN30llCC21C2Csinsin21lCCCCCY3)3)杆杆A.CA.C点的变形图：点的变形图：1ABACYAY21C1AAY)(6sin2mmlCYCYAYCCAA22111233 33 拉压应变能拉压应变能一、应变能概念一、应变能概念2 2、应变能、应变能： 固体在外力作用下，固体在外力作用下，因变形而储存的能量。因变形而储存的能量。1 1、外力功、外力功：3 3、能量守恒：、能量守恒：4 4、

10、应变能密度：、应变能密度：固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。固体受外力作用而变形，在变形过程中外力所做的功。PlllPW21VWlNV21EANlN 21EAlN22VW VVv/单位体积内储存的能量。单位体积内储存的能量。PliPilo)( ld 13G G：剪切弹性模量：剪切弹性模量5 5、剪切应变能密度、剪切应变能密度：应变能密度：应变能密度：lAV,2EAlNV VVv应变能：应变能：体积：体积：AlEAlN122EAN12222122EEv2212VVv/Gv22单元体：单元体：dxdydzdV dxdydzdydzdx14P二、求结构节点位移的能量法二、求结构节点位移

11、的能量法：例例：杆杆1 1为钢管，为钢管，A A1 1= 100 mm= 100 mm，E E1 1 = 200 GPa,L= 200 GPa,L1 1= 1 m ;= 1 m ;杆杆2 2为硬为硬铝管，铝管，A A2 2= 250 mm= 250 mm，E E2 2 = 70 GPa,P = 10 kN= 70 GPa,P = 10 kN。试求：节点。试求：节点A A 点的垂直位移。点的垂直位移。1l45ABC解：解：1)1)求各杆内力求各杆内力PA1N2NP,14.1421kNPNkNPN1022)2)求外力功及各杆的变形能求外力功及各杆的变形能iV,2,111211AElNV222222

12、2AElNV3)3)能量守恒能量守恒PVVAY)(21121VVWmm404. 1AYPW212A1AAY3A15例例：各杆截面各杆截面A A，材料，材料E E相同。试求：节点相同。试求：节点 A A 点的垂直位移。点的垂直位移。l45ABC解：解：1)1)求各杆内力求各杆内力P,21PN PNN322)2)求外力功及各杆的变形能求外力功及各杆的变形能iV,2,111211AElNV22222322AElNVV3)3)能量守恒能量守恒EAPlAY) 12(2321VVVWAYPW21AY32222221112122221AElNAElNPAYEAlPEAlPPAY2)(222)2(2122AP

13、2N1N1BBX3N1N160)30sin(221lNPlPC)(40kNNC例例 ：设横梁设横梁 ABCD ABCD 为刚梁，斜杆为刚梁，斜杆A=440mmA=440mm，E = 70GPE = 70GP，P P1 1= 5kN, = 5kN, P P2 2=10kN,L=1m;=10kN,L=1m;试求：试求：A A 点的垂直位移。点的垂直位移。 ( (不计横梁变形不计横梁变形) )解：解：1)1)、CDCD杆内力：研究对象杆内力：研究对象 ABAB 2) 2) 求外力功与杆的变形能：求外力功与杆的变形能：60,21WWW:0BmABCl1P2PDBXBYBAC1P2PCN30lCyAy2

14、VW EAlNPPCDCDAY2)2(222211C1AAY)(6mm,2111AyPW,2122CyPW1A1CAYCYABC,V),2(221PPWAy,22EAlNVCD3) 3) 能量守恒：能量守恒：173 - 4 3 - 4 拉压超静定拉压超静定一、概念一、概念1 1、静定、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数，结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。2 2、超静定超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个 数，只利用静力方程不能

15、求出所有的未知力。数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。3 3、多余约束、多余约束：在超静定系统中多余维在超静定系统中多余维 持结构几何不变性的杆件或支座。持结构几何不变性的杆件或支座。4 4、多余约束力、多余约束力：多余约束对应的力。多余约束对应的力。a aABC12PD3A1N2NP. 0, 0YXA1N2NP3N18ABDC12aaP35 5、超静定的次数、超静定的次数（按超静定次数划分)：超静定次数超静定次数 = = 多余约束个数多余约束个数 = = 未知力个数未知力个数- -有效静力方程个数。有效静力方程个数。二、求解超静定二、求解超静定（关键（关键变形几何关系的确定）变形几何关系

16、的确定）2 2、根据变形协调条件列出变形几何方程、根据变形协调条件列出变形几何方程。3 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。EALFLN4 4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。三、注意的问题三、注意的问题拉力拉力伸长伸长变形相对应变形相对应；压力压力缩短缩短变形相对应。变形相对应。步骤：步骤：1 1、根据平衡条件列出平衡方程、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。19、几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：、物理物理方程变形与受力关系方程变形与受力关系解解：、平衡方程平

17、衡方程: :、联立求解联立求解:, 0X , 0Yacos321Lll; cos2cos3331121121AEAEFAEFFNNaa,11111AElFlNacos33331111AELFAELFNNABDC132aa例例：33221121,AEAEAEll，求：各杆的内力。求：各杆的内力。F FN1N1Aa aF FN2N2F FN3N3yxPP3A1A1l2A2l3l33333AElFlN0cos)(321FFFFNNNa0sinsin21aaNNFF33311333cos2AEAEFAEFNa20例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个 4040* *4040* *4 4 的等边

18、角钢加固，角钢和的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为木材的许用应力分别为 1 1 =160 MPa =160 MPa 和和 2 2 =12 MPa =12 MPa，弹弹性模量分别为性模量分别为 E E1 1=200 G=200 GPaPa 和和 E E2 2 =10 G =10 GPaPa；求许可载荷求许可载荷 F.F.04021FFFYNN21LL 、几何方程：、几何方程：、物理、物理方程方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :EALFLN22221111AELFAELFNNF1m250250FFFFNN72.0 ; 07.021F14NF2NF21 、求结构的许可载荷：求结构的许可载荷

19、： )(104272. 0/22max2kNAF角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: :A A 1 1=3.086 =3.086 c c )(4 .70507. 0/11max1kNAF AFN maxmax AFNmax,11max1AFNF Fmaxmax=705.4 kN=705.4 kN,22max2AFN)(4 .4910161 .33max1kNFN)(750122502max2kNFN22例例: : 图示结构图示结构, ,已知：已知： L L、A A、E E、a a、F F 。求：各杆轴力。求：各杆轴力。123FLaaAB解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :2 2、几何方

20、程：、几何方程：3 3、物理、物理方程方程：4 4、联立平衡方程和补充方程得、联立平衡方程和补充方程得: :0, 0321FFFFYNNN3122lll,332211EAlFlEAlFlEAlFlNNN.65;31;61321FFFFFFNNNF3NF2NF1NFABC1B1l1C2l1A3l3122NNNFFF02, 012aFaFMNNA232A3lEAlNliii2 2、几何方程、几何方程变形协调方程：变形协调方程：解解：1 1、平衡方程、平衡方程: :aatglll132cos3 3、物理方程、物理方程：045sin, 013NNXaatgEAlNEAlNEAlN113322cos)2

21、1 (23,)21 (2)221 (,)21 (2321FNFNFN例：各杆例：各杆EAEA相等，。求：各杆的轴力。相等，。求：各杆的轴力。lll211l2l3l45AF3N2N1NFA454A5A3A1A1l2l045cos, 032FNNY24三、温度应力、装配应力三、温度应力、装配应力1 1）温度应力温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。温度引起的变形量温度引起的变形量LtLa1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。2 2、超静定问题存在温度应力。、超静定问题存在温度应力。例例：阶梯钢杆的上下两端在阶梯钢杆的上下两端在T T1

22、 1=5=5时被固定时被固定, ,杆的上杆的上下两段的面积分别为下两段的面积分别为 = = c c、 = =c c，当温度升，当温度升至至 T T2 2 =25 =25时时, ,求各段的温度应力。求各段的温度应力。E=200GPaE=200GPaC1105.126aaay25、几何方程：几何方程：解：解：、平衡方程平衡方程: :0, 012NNY0NTlll 、物理物理方程：方程：、联立求解：联立求解：; 2aTalT22112EAaNEAaNTa )(3 .3321kNNN分析：分析：、解除约束；解除约束；杆随温度升高自由伸长杆随温度升高自由伸长aay、两端加约束力：两端加约束力：将杆压回到

23、原长。将杆压回到原长。1N2NNlTl1NNlTl、温度应力温度应力：),(7 .66111MPaAN)(3 .33222MPaAN2211NEAaNEAaNl26例例 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A A、L L、E E，求：当，求：当1 1杆杆温度升高温度升高 时，两杆的内力及时，两杆的内力及C C点的约束力。杆温度膨胀系数点的约束力。杆温度膨胀系数BC12a解解：、平衡方程平衡方程: :03, 021aNaNMc、几何方程几何方程：Taa3 AAT分析分析：1 1杆解除约束，使其自由伸长杆解除约束，使其自由伸长；AB AB 横梁的约束，横梁的约束，2

24、 2杆伸长受限杆伸长受限； AB2l2N1NABCCR1laBBaAA31lAAT,22EAlNlBB、物理、物理方程：方程：,1091TlEANa,1032TlEANa,56TlEARCa272 2）装配应力装配应力预应力、初应力：预应力、初应力：2 2、超静定问题存在装配应力。、超静定问题存在装配应力。1 1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应力。形而引起的应力。ABC12ABDC132aa A28解：解：、平衡方程平衡方程: :0sinsin021aaNNX0coscos0213aaNNNY例：例：已知：各杆长为：已知：各杆长为： 、 ； A A1 1=A=A2 2=A=A、A A3 3 ；E E1 1=E=E2 2=E=E、E E3 3。3 3杆的尺寸杆的尺寸误差为误差为 ，求，求: :各杆的装配内力。各杆的装配内力。lll213l3N2N1N AA3A A2A2l1A1lABDC132aa A3l、几何方程：几何方程：13cos)(lla、物理方程物理方程：333331