第7章--非线性系统分析

1、自动控制原理Principle of Automatic Control第第七七章章 非线性系统分析非线性系统分析 7.1 引言引言 7.2 典型非线性特性典型非线性特性 7.3 描述函数法描述函数法 7.4 相平面法相平面法 7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用在非线性系统分析中的应用l只要系统中含有一个以上的非线性元件，就是非线性系统l完全线性的系统是不存在的l线性系统线性系统：满足叠加性，通过基本信号表征系统性能；l非线性系统非线性系统：不满足叠加性，不能通过基本信号表征系统性能；l非线性系统的数学模型：n 阶非线性常微分方程；7.1 引言引言 23222010sin0 xxxx

2、xxxxtxxxAt 一、常见的几种典型非线性特性一、常见的几种典型非线性特性1、饱和、饱和l饱和的特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而是保持某一常值。7.2 典型非线性特性典型非线性特性输入信号输出信号21xK xl可将“饱和”非线性特性看做变增益的比例环节l随信号输入增大，开环增益减小，超调量下降，稳态精度降低。l“饱和”可使一切不稳定系统收敛于自振荡。l在设计控制系统时，应力求输入信号增大时使所有元器件都能同时进入饱和区域。2、不灵敏区（死区）、不灵敏区（死区）l存在不灵敏区的元件，在输入信号很小时系统没有输出l|x1|时， x20l死区会增大系统稳态误差l死区

3、能够过滤小幅振荡干扰信号3、间隙（回环）、间隙（回环）l传动机构受加工精度和装配精度限制，在转向时存在间隙特性。l间隙对系统影响较复杂，通常对系统性能有害。4、摩擦、摩擦l摩擦力阻挠系统运动：静摩擦力、动摩擦力、粘性摩擦力。l对小功率系统摩擦相当于在执行机构中引入死区。5、继电器、继电器l继电器：当输入量(激励量)的变化达到规定要求时，在电气输出电路中使被控量发生预定的阶跃变化的一种电器。l继电器特性包含了死区、间隙、饱和的特性l继电器特性使系统产生震荡现象二二、非线性系统的特征、非线性系统的特征1、稳定性稳定性l线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始状态无关l非线性系统的稳定性与起始

4、状态有直接关系非线性系统的稳定性与起始状态有直接关系【例】某一阶非线性系统微分方程： ，分析稳定性。解：设系统初始状态为 x0，时域响应为：系统输出取决于初始状态 x0 ：x0 1， 时，x(t) 10 xxx 0001ttx ex txx e00ln1xtx多个平衡点2、自激振荡、自激振荡l在没有外界周期变化信号的作用下，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，称为自激振荡，简称自振。【例】范德波尔方程： 。解：=0.707时， x0=1、2、3时响应曲线。2210 xxxxl任何起始条件都会产生自激振荡；l线性系统没有自激振荡的运动形式线性系统没有自激振荡的运动形式；l长期自激振荡造

5、成系统磨损；小幅高频自激振荡有利于消除间隙、死区、摩擦等不利因素。三三、非线性系统的分析方法、非线性系统的分析方法l描述函数法描述函数法：是基于频域的等效线性化的图解分析法，是线性理论中频域分析法的一种推广。l相平面法相平面法：是基于时域的一种图解分析法，只适用于一阶、二阶系统。l计算机求解法计算机求解法：利用计算机、数值分析等方法，直接求解非线性微分方程，分析系统的时域响应。l主要用来分析系统在无外作用无外作用的情况下，非线性系统的稳定性稳定性和自激振荡自激振荡的问题。lDaniel 在1940年首先提出。l描述函数是对系统的正弦信号响应进行谐波线性化处理，类似于线性系统的幅相频率特性。l描

6、述函数法不受系统阶次限制。7.3 描述函数法描述函数法l描述函数法需满足如下条件：1.系统能够简化为经典结构；2.非线性特性具有奇对称性；3.线性部分具有较好的低通滤波特性；4.非线性元件具有时不变特性；非线性部分线性部分一、描述函数的定义和求法一、描述函数的定义和求法l开环输入：l稳态输出：同周期非正弦信号l直流分量 A0=0、低通滤波特性：l谐波线性化谐波线性化：只用一次基波代替总体输出。l描述函数描述函数：稳态输出与正弦输入的复数比： sinx tXt 01cossinnnny tAAn tBn t01sinnnnAYn t 20012Ay td t 201cosnAy tn t d t

7、 201sinnBy tn t d t22nnnYABarctannnnAB 11siny tYt1111jYBjAN XeXX周期函数傅里叶级数展开【例7-2】设非线性放大器输入输出： ，计算描述函数。解：y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，1=0；描述函数：31124yxx2310111sin24Bxxt d t2330111sinsinsin24XtXtt d t313216XX11BjAN XX213216X描述函数不仅可以是是输入信号频率的函数，也可以是输入信号振幅的函数！二二、典型非线性特性的描述函数、典型非线性特性的描述函数1、理想继电器特性的描述函数、理想继电器特性的描述函数

8、ly(t)为奇函数，A0=0，A1=0，1=0l描述函数： 2101sinBy tt d t204sinMt d t4M11BjAN XX4MX2、死区特性的描述函数、死区特性的描述函数ly(t)为奇函数，A0=0，A1=0，1=0l描述函数： 2101sinBy tt d t201sinsinK Xtt d t22arcsin12KXXXX22arcsin12KN XXXX3、饱和特性的描述函数、饱和特性的描述函数l描述函数：4、间隙特性、间隙特性的描述函数的描述函数l描述函数：5、一般继电器特性、一般继电器特性的描述函数的描述函数l描述函数：22arcsin1KaaaN XXXX224ar

9、csin 12 1112KbbbbKbbN XjXXXXXX22222111MmhhMhN XjmXXXX三、非线性系统的稳定性分析三、非线性系统的稳定性分析l描述函数法只能用于分析非线性系统的稳定性、周期运动（自激振荡）的稳定性，不能分析非线性系统的时间响应。l线性系统的稳定性分析：奈奎斯特判据（N=P-Z）l最小相位系统（P=0）：稳定性取决于G(j)是否包围(-1 , j0)点。l非线性系统等效开环幅相特性：l非线性系统存在自激振荡的必要条件：G(j)与-1/N(X)相交1N X G j 1G jN X 负倒描述函数l非线性系统的稳定判据： G(j)没有包围-1/N(X)，则系统稳定；反

10、之，系统不稳定。四四、自激振荡的分析与计算、自激振荡的分析与计算l自激振荡的稳定性判据：在G(j)曲线和-1/N(X)曲线的交点处，若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，该交点对应的周期运动是稳定的。反之，若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由稳定区域进入不稳定区域，该交点对应的周期运动是不稳定的。l自激振荡频率：交点处；l自激振荡振幅：交点处X；l自激振荡： sinc tXtl相平面法仅可用于一阶、二阶线性和非线性系统的性能分析。l相平面法能够全面地表征系统的运动状态：稳定性、动态性能、平衡点、初始条件和参数的影响。lPoincare 在1885年首先提出

11、。7.4 相平面法相平面法一、相平面法的基本概念一、相平面法的基本概念l二阶时不变系统：l令 x1=x、x2=x，状态方程：,0 xf x x输入信号为零，x 表示某一物理量12212,xxxf x x l以 x 为横轴，以 x 为纵轴构成的直角坐标系，称为相平面相平面。l在相平面上表示系统运动状态的点(x, x)移动所形成的轨迹，称为相轨迹相轨迹。l相轨迹的起点为：(x0 , x0)，轨迹箭头表示随时间 t 增加，系统的运动方向。l所有可能的起点(x0 , x0)构成的相轨迹，称为相轨迹族相轨迹族。l相轨迹的斜率相轨迹的斜率：l相轨迹的对称相轨迹的对称：关于横轴、纵轴对称；关于原点对称l相平

12、面图的奇点相平面图的奇点：同时满足 x=0 和 x=0 的点称为奇点；通过奇点的根轨迹不止一条，且斜率不同；相轨迹曲线在奇点相交。l相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向：在上半平面（x0），相轨迹曲线向右运动；在下半平面（x0），相轨迹曲线向左运动。,f x xdxdx dtxdxdx dtxx 二二、相轨迹图的绘制、相轨迹图的绘制1、解析法：、解析法：通过求解微分方程找出 x 和 x 的解析关系。【例】无阻尼二阶系统： ，绘制相平面图。解：20nxx2222nxxA22002nxAx2、等倾线法：、等倾线法：用一系列不同斜率短线来近似光滑的相轨迹曲线。l等倾线：相平面上相轨迹斜率相等的各点的连线

13、：取不同 值，在相平面绘制出等倾线族；在等倾线上做斜率为 的短线段，构成相轨迹的“方向场”；从初始点出发，沿方向场做短线段，得到相轨迹。,xf x x 【例】二阶欠阻尼系统： ，绘制相轨迹。解：令：220nnxxxdx dx22nnxx 等倾线xx=-1.6=-1.8=-2.0=-2.2=-2.4绘制等倾线=0.707、n=1从起点B开始，作斜率=-1.6的短线段，交与C点；过C点，作斜率为-1.8的短线段，交与D点；BCDEF三三、奇点和奇线：、奇点和奇线：l可将常见二阶系统的相轨迹规律，将实际系统近似为一种或几种典型形式的组合。1、奇点、奇点l二阶系统微分方程：220nnxxxl线性二阶系

14、统只有一个平衡点，相轨迹只有一个奇点；l非线性二阶系统可能存在多个平衡点，相轨迹有多个奇点；【例】已知二阶非线性系统微分方程： ，确定极点 及其类别。解：根据奇点定义，解得系统只有一个极点在原点。在奇点处泰勒展开在奇点处泰勒展开，忽略二阶以上高阶项：奇点为中心点。220 xxx0.50 xxl每个奇点只能反映非线性系统在该点附近的相轨迹形状，不能确切得到整个系统的相平面图。2、奇线、奇线l在非线性系统的相轨迹中，存在特殊的相轨迹，将相平面分为具有不同运动特点的多个区域，这种特殊的相轨迹称为奇线。l极限环极限环是最常见的一种奇线。稳定极限环稳定极限环：起始于极限环附近的内部和外部的相轨迹，最终都趋近于极限环上。（尽量减小尽量减小）不稳定极限环不稳定极限环：起始于极限环附近内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环。（尽量增大尽量增大）四、用相平